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【名师推荐】浙教版数学九年级上册重难点总结：第2章二次函数的应用二次函数的应用重点难点重点是认识一元二次方程的解和二次函数的图像与x轴交点横坐标之间的关系，能够利用二次函数解决实际问题难点是实际问题的数学化，也就是如何建立二次函数模型解决实际问题知识要点：1. 二次函数与一元二次方程的关系二次函数yx22x3的图像如图所示，抛物线与x轴的两个交点分别为（3，0）和（1，0）解方程x22x30得x13，x21二次函数yax2bxc（a0）的图像与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点当二次函数yax2bxc的图像与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y0时自变量x的值，即一元二次方程ax2bxc0的根2. 一元二次方程的近似解当二次函数yax2bxc（a0）的图像与x轴有交点时，根据图像与x轴的交点，就可以确定一元二次方程ax2bxc0的根在哪两个连续整数之间为了得到更精确的近似解，对在这两个连续整数之间的x值进行细分，并求出相应的y值，列出表格，这样就可以得到一元二次方程ax2bxc0所要求的精确度的近似解3. 利用二次函数求实际问题中的最值问题在利用二次函数的图像和性质解决实际问题时，常常需要根据条件建立二次函数的表达式，在求最大（或最小）值时，可以采取如下的方法：（1）画出函数的图像，观察图像的最高（或最低）点，就可以得到函数的最大（或最小）值（2）依照二次函数的性质，判断该二次函数的开口方向，进而确定它有最大值还是最小值；再利用顶点坐标公式，直接计算出函数的最大（或最小）值【典型例题】例1. 已知二次函数ykx27x7的图像和x轴有交点，则k的取值范围是（ ）分析：二次函数ykx27x7的图像和x轴有交点，b24ac0且k0故选da、b、c都错在考虑问题不全面解：d评析：二次函数与一元二次方程关系密切，当抛物线的图像和x轴有交点时，应该满足以下两种情况：一是有两个不相同的交点，即b24ac0，二是有两个相同的交点，即b24ac0，所以应考虑为b24ac0，且作为二次函数，必须满足k0考虑问题一定要全面例2. 利用二次函数的图像求一元二次方程x22x38的近似解分析：由于yx22x3的函数值为8时，对应点的横坐标即为一元二次方程x22x38的近似解，故可通过作出函数图像来估算方程的近似解解：在平面直角坐标系内作出函数yx22x3的图像，如图所示由图像可知方程x22x38的根是抛物线yx22x3与直线y8的交点左边的交点的横坐标在1与2之间，右边的交点的横坐标在3与4之间（1）先求交点横坐标在1和2之间的根，利用计算器进行探索x1.11.21.31.41.5y6.416.847.297.768.25因此，x1.4是方程x22x38的一个近似解（2）另一解也可类似地求出x3.13.23.33.43.5y6.416.847.297.768.25因此，x3.4是方程x22x38的另一个近似解故一元二次方程x22x38的解为x11.4，x23.4现在我们用求根公式来验证一下对于方程x22x38，整理得x22x50x13.4493.4，x21.4491.4因而利用图像法求得方程x22x38的近似解x11.4，x23.4是完全正确的评析：利用二次函数图像来求一元二次方程的近似解的步骤是：作出函数的图像，并由图像确定方程的解的个数；由图像与yh的交点的位置确定交点横坐标的范围；利用计算器估算方程的近似解（通常保留一位小数）例3. 已知函数yx24x3（1）该函数图像与x轴有几个交点？请作图予以验证；（2）试说明一元二次方程x24x32的根与函数yx24x3的图像的关系，并将方程的根在图像上表示出来；（3）试问当x为何值时，函数y的值为15？分析：（1）可通过解方程，求出方程的解，即可知道图像与x轴有几个交点；（2）方程x24x32的根可看作是函数yx24x3的值为2时x的值，此时可依据图像来确定方程的解；（3）要使函数y的值为15，即是确定x24x315的解这时既可观察图像估算出x的值，也可直接解方程确定相应x的值解：（1）x24x30，x13，x21，即方程有两个实数解函数yx24x3与x轴必交于两点，且两点的横坐标为1和3，如图所示（2）由上图可知，一元二次方程x24x32的解恰是函数yx24x3的函数值y2时对应图像上点的横坐标，此时方程的解为xa和xb，a、b在x轴上的对应点如图所示（3）利用x24x315得x24x120，解得，x12，x26即当x2或x6时，函数yx24x3的值为15评析：（1）抛物线与x轴交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解；（2）抛物线yax2bxc与直线yh的交点横坐标即为一元二次方程ax2bxch的实数解例4. 有一块三角形铁片abc，面积为4000cm2，其中bc长为100cm现在三角形上剪出一个矩形，使其有一条边在bc边上，另两个顶点分别在ab、ac边上，设矩形中在bc边上的那条边长为x cm，问当x为多长时矩形的面积最大，其最大值是多少？分析：根据三角形的有关性质设法将矩形的另一条边也用x表示出来，再把面积写成关于x的二次函数形式，再求出这个二次函数的最大值解：如图所示，abc中，bc100cm，四边形dgfe为矩形，gfx，设dgy，面积为s作anbc于n，交de于m，则有amde，mny，那么am80y因为debc，所以adeabc，而am、an分别为它们的高，所以有 所以矩形dgfe的面积所以当x50cm时，矩形面积最大，最大面积为2000cm2评析：解决此类问题首先应根据题意画出正确的图形，据几何图形的特点寻求关系式，然后再利用函数的相关性质解答，尤其要注意函数关系式中自变量的取值范围必须使实际问题有意义例5. 某旅社有客房120间，每间房间的日租金为50元，每天都客满，装修后提高租金，经市场调查，如果一间客房的日租金每增加5元，则客房每天出租会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入增加多少元？分析：因条件每增加5元，客房每天出租会减少6间，若设提高5x元（也就是x个5元），则会减少6x间，现在提高后的日租金为（505x）元，出租房间为（1206x）间，于是得到y与x之间的函数关系；如果直接设提高到x元则提高了（x50）元，里面含有 个5元，于是房间少租6个房间，实际租了（1206）个房间，每间x元，可得y与x之间的函数关系解法一：设每间客房的日租金提高x个5元（即5x元），客房日租金总收入为y元由题意，得y（505x）（1206x）30（x5）26750当x5时，y有最大值，这时每间客房日租金为505575（元）故客房总收入最高为6750元，比原来增加675012050750（元）解法二：设旅社将每间客房的日租金提高到x元，总收入为y元根据题意，得当y有最大值为 比原来增加675012050750（元）评析：此题利用总收入每间房间的利润租出的房间数【方法总结】1. 在学习二次函数与一元二次方程的关系时注意联系、转化的思想通过联系和转化的数学思想把二次函数转化为一元二次方程求解，抛物线与x轴交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解；抛物线yax2bxc与直线yh的交点横坐标即为一元二次方程ax2bxch的实数解2. 学习二次函数应用问题时，注意构建函数模型的思想首先要注意对实际问题进行观察分析，并抽象出相关的数量关系，建立二次函数的表达式，进而利用二次函数的图像及性质解决实际问题【模拟试题】一. 选择题1. 一位篮球运动员站在罚球线后投篮，球入篮得分下列图象中，可以大致反映篮球出手后到入篮框这一时间段内，篮球的高度h（米）与时间t（秒）之间变化关系的是（ ）2. 二次函数yx2x6的图象与x轴交点的横坐标是（ ）a. 2和3b. 2和3c. 2和3d. 2和33. 二次函数yx22x1与x轴的交点个数是（ ）a. 0b. 1c. 2d. 34. 若二次函数ykx22x1的图像与x轴没有交点，则k的取值范围是（ ）a. x1b. k1，且k0c. k1 d. k15. 如图所示，已知二次函数yax2bxc（a0）图像的顶点p的横坐标是4，图像交x轴于点a（m，0）和点b，且m4，那么ab的长是（ ）a. 4mb. mc. 2m8d. 82m*6. 某幢建筑物，从10m高的窗口a用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点m离墙1m，离地面则水流落地点b离墙的距离ob是（ ）a. 2mb. 3mc. 4md. 5m*7. 抛物线yx2xp（p0）的图象与x轴一个交点的横坐标是p，那么该抛物线的顶点坐标是（ ）*8. 已知函数yax2bxc的图象如图所示，下列结论中正确的有（ ）个abc0；acb；abc0；b24ac0a. 1b. 2c. 3d. 4二. 填空题1. 如图所示，a、b、c是二次函数yax2bxc（a0）的图像上的三点根据图中给出的三点位置情况，可得a、c、b24ac与0的大小关系：a_0，c_，b24ac_02. 二次函数y2（x3）（x1）与x轴的交点个数有_个，交点坐标为_*3. 炮弹从炮口射出后，飞行的高度h（m）与飞行时间t（s）之间的函数关系是hv0tsin5t2，其中v0是炮弹发射的初速度，是炮弹的发射角，当v0300m/s，30时，炮弹飞行的最大高度是_m*4. 已知二次函数y4x22mxm2与反比例函数的图像在第二象限内的一个交点的横坐标是2，则m的值是_三. 解答题 1. 求下列抛物线与x轴交点的坐标（1）yx210x21（2）y4x22x122. 某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品（1）如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请你写出y与x之间的函数关系式；（2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？*3. 如图所示，已知正方形abcd的边长为4，e为ab边上的一动点（e与a、b点不重合），设aex，以e为顶点的内接正方形的面积为y，求y与x的函数关系式，当x为何值时，内接正方形的面积最小？*4. 连接着汉口集家咀和汉阳南岸咀的江汉三桥（晴川桥），是一座下承式钢管混凝土系杆拱桥它犹如一道美丽的彩虹跨越汉江，是江城武汉的一道靓丽景观桥的拱肋acb视为抛物线的一部分，桥面（视为水平的）与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，相邻系杆之间的间距均为5米（不考虑系杆的粗细），拱肋的跨度ab为280米，距离拱肋的右端70米处的系杆ef的长度为42米以ab所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）正中间系杆oc的长度是多少米？是否存在一根系杆的长度恰好是oc长度的一半？请说明理由【试题答案】一. 选择题1. d2. a【解析：解方程x2x60得x12，x23】3. b【即x22x10，b24ac（2）240，故其与x轴只有一个交点】4. c【解析：k的取值应满足两个条件：对于二次函数ykx22x1，k0；当y0时，kx22x10没有实数根，（2）24k（1）0，k1故选c5. c【解析：根据题意，抛物线的对称轴是x4，则ab2（m4）2m8】6. b【解析：由题意可知抛物线顶点为，经过点a（0，10）设抛物线的解析式为ya（xh）2k，则把a（0，10）代入得，解得所以抛物线的解析式为，解得x1（舍去），x3（m）】7. d【解析：当xp时，y0，即p2pp0，解得p0（舍去），p2则抛物线的解析式为yx2x2，其顶点坐标为】8. d【抛物线开口向下，a0对称轴是x10，即，b0图像与y轴交点在x轴上方，c0abc0，正确当x1时，y0，即abc0，正确当x1时，y0，即abc0，即acb，正确由于抛物线和x轴有两个交点，当y0，ax2bxc0，这个方程有两个不相等的实数根，b24ac0正确（也可通过a、b、c的符号判断）】二. 填空题1. 【解析：由a、b、c三点位置画草图可得二次函数yax2bxc（a0）图像一部分，这条抛物线开口向下，与x轴有两个交点，与y轴交点在y轴负半轴】2. 2，（3，0）、（1，0）【解析：当y0时，2（x3）（x1）0，解得x13，x21所以二次函数与x轴有两个交点，交点坐标分别为（3，0）、（1，0）】3. 1125【解析：将v0300，30代入得】4. 7【解析：两图像交点横坐标为2，所以把x2代入两函数解析式得，解得m12，m27又因为反比例函数与抛物线交于第二象限，所以2m40即m2，所以舍去m2，得m7】三. 解答题1. （1）（3，0）（-7，0）（2，0）2. 解析：（1）根据题意，得y（80x）（3844x）即y4x264x30720；（2）因为y4x264x307204(x8)230976，所以当x8时，y最大30976即增加8台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量为30976件3. 解