高三数学专题--数学思想方法.doc

数学思想方法分类讨论思想考点分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学策略分类原则：(1) 所讨论的全域要确定，分类要“既不重复，也不遗漏”；(2) 在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；(3) 对多级讨论，应逐级进行，不能越级讨论的基本步骤：(1) 确定讨论的对象和讨论的范围(全域)；(2) 确定分类的标准，进行合理的分类；(3) 逐步讨论(必要时还得进行多级分类)；(4) 总结概括，得出结论引起分类讨论的常见因素：(1) 由概念引起的分类讨论；(2) 使用数学性质、定理和公式时，其限制条件不确定引起的分类讨论；(3) 由数学运算引起的分类讨论；(4)由图形的不确定性引起的分类讨论；(5) 对于含参数的问题由参数的变化引起的分类讨论简化和避免分类讨论的优化策略：(1) 直接回避如运用反证法、求补法、消参法等有时可以避开繁琐讨论；(2) 变更主元如分离参数、变参置换等可避开讨论；(3) 合理运算如利用函数奇偶性、变量的对称、轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论；(4) 数形结合利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论注：能回避分类讨论的尽可能回避基础1. 一条直线过点(5,2)且在x轴，y轴上截距相等，则这直线方程为_2.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形， 则它的体积为_.3.函数f(x)的定义域为一切实数，则实数a的取值范围是_4.数列an的前n项和为sn2n2n1(nn*)，则其通项an_.例题【例1】在abc中，已知sinb，a6，b8，求边c的长【例2】解关于x的不等式：ax2(a1)x10(n1,2，)(1) 求q的取值范围；(2) 设bnan2an1，记bn的前n项和为tn，试比较sn与tn的大小.【例4】已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)x22x.(1) 求函数g(x)的解析式；(2) 若h(x)g(x)f(x)1在1,1上是增函数，求实数的取值范围1. (2009全国)双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，则该双曲线的离心率为_2.(2011辽宁)设函数f(x)则满足f(x)2的x的取值范围是_3.(2011江苏)已知实数a0，函数f(x)若f(1a)f(1a)，则a的值为_4.(2010福建)函数f(x)的零点个数为_5.(2011江西)设f(x)x3mx2nx.(1) 如果g(x)f(x)2x3在x2处取得最小值5，求f(x)的解析式；(2) 如果mn0，使得f(x)h(x)(x2ax1)，则称函数f(x)具有性质p(a)设函数f(x)lnx(x1)，其中b为实数(1) 求证：函数f(x)具有性质p(b);(2) 求函数f(x)的单调区间(2011南通)(本小题满分16分)已知各项均不为零的数列an的前n项和为sn，且满足a1c,2snanan1r.(1) 若r6，数列an能否成为等差数列？若能，求c满足的条件；若不能，请说明理由(2) 设pn，qn，若rc4，求证：对于一切nn*，不等式npnqnn2n恒成立(1) 解：n1时，2a1a1a2r， a1c0， 2cca2r，a22. (1分)n2时，2snanan1r，2sn1an1anr，得2anan(an1an1) an0， an1an12. (3分)则a1，a3，a5，a2n1， 成公差为2的等差数列，a2n1a12(n1)a2，a4，a6，a2n， 成公差为2的等差数列， a2na22(n1)要使an为等差数列，当且仅当a2a11.即2c1，rcc2. (4分) r6， c2c60，得c2或3. 当c2时，a30不合题意，舍去 当且仅当c3时，数列an为等差数列. (5分)(2) 证明：a2n1a2na12(n1)a22(n1)a1a2c2.a2na2n1a22(n1)(a12n)a2a12. (8分) pnn(nc1) (9分)qnn. (10分)pnqnn(nc1)nn2n.(11分) rc4， c24， c22， 01，则0c1c2,0c1c. 1，1. 11.(15分) 对于一切nn*，不等式npnqn0)，且f(1).(1) 求证：函数f(x)有两个零点；(2) 设x1，x2是函数f(x)的两个零点，求|x1x2|的取值范围；(3) 求证：函数f(x)的零点x1，x2至少有一个在区间(0,2)内【例3】如图，直线l：yxb与抛物线c：x24y相切于点a.(1) 求实数b的值；(2) 求以点a为圆心，且与抛物线c的准线相切的圆的方程【例4】已知函数f(x)x|x23|，x0，m，其中mr，且m0(1) 若m1，求证：函数f(x)是增函数；(2) 如果函数f(x)的值域是0,2，试求m的取值范围；(3) 如果函数f(x)的值域是0，m2，试求实数的最小值1. (2011北京)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_2.(2011广东)等差数列an前9项的和等于前4项的和若a11，aka40，则k_.3.(2009福建)若曲线f(x)ax3lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_4.(2010天津)设函数f(x)x，对任意x1，)，f(mx)mf(x)0时，2m2m2， m1(6分)当m0，若m0，k1，函数yf(x)kx有两个零点x；(10分)若m0，k0，0)在闭区间，0上的图象如图所示，则_.3. 直线y1与曲线yx2|x|a有四个交点，则实数a的取值范围是_4. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_例题【例1】已知函数f(x)asin(x)b(a0，0)的一系列对应值如下表：xy1131113(1) 根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；(2) 根据(1)的结果，若函数y f(kx)(k0)周期为，当x时，方程f (kx) m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围【例2】如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于a1处时，乙船位于甲船的北偏西105的方向b1处，此时两船相距20海里当甲船航行20分钟到达a2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的b2处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？【例3】在平面直角坐标系xoy中，设二次函数f(x)x22xb(xr)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为c.(1) 求实数b的取值范围；(2) 求圆c的方程；(3) 问圆c是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论【例4】已知f(x)是二次函数，不等式f(x)0，y10，y20.(1) 若a1，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2) 若在区间上，f(x)0恒成立，求a的取值范围(2011南通三模)(本小题满分16分)平面直角坐标系xoy中，椭圆1(ab0)离心率为，焦点在圆x2y21上(1) 求椭圆的方程；(2) 设a，b，m是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角，使cossin.求证：直线oa与ob的斜率之积为定值；求oa2ob2.解：(1)依题意，得 c1.于是，a，b1. (2分)所以所求椭圆的方程为y21.(4分)(2) 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1，y1.又设m(x，y)，因cossin，故 (7分)因m在椭圆上，故(y1cosy2sin)21.整理得cos2sin22cossin1.将代入上式，并注意cossin0，得y1y20.所以，koakob为定值( 10分) (y1y2)22(1y)(1y)1(yy)yy，故yy1.又2，故xx2.所以，oa2ob2xyxy3. (16分)转化与化归思想考点转化与化归思想是指在处理问题时，把待解决或难解决的问题通过某种方式转化为一类已解决或比较容易解决的问题的一种思维方式应用转化与化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽可能是等价转化，在有些问题的转化时只要注意添加附加条件或对所得结论进行必要的验证就能确保转化的等价常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的转化、常量与变量的转化、图象语言、文字语言与符号语言的转化等分类讨论思想，函数与方程思想，数形结合思想都是转化与化归思想的具体体现常用的变换方法：分析法、反证法、换元法、待定系数法、构造法等都是转化的手段基础训练1. 已知正实数x、y满足1，则xy的取值范围是_2.若不等式x2ax10对一切x都成立，则实数a的最小值为_3.函数yx的值域为_4.函数f(x)x33bx3b在(0,1)内有极小值，则b的取值范围是_例题【例1】已知圆o的半径为1，pa、pb为该圆的两条切线，a、b为两切点，求的最小值【例2】若不等式x2px4xp3对一切0p4均成立，试求实数x的取值范围【例3】在数列an 中a1，前n项和sn满足sn1sn n1(nn*)(1) 求数列an的通项公式an以及前n项和sn；(2) 若s1, t (s1s2 ), 3(s2s3) 成等差数列，求实数t的值【例4】已知函数f(x)x2lnx(ar)(1) 当a0时，求函数f(x)的单调递增区间；(2) 若x1,3，使f(x)1，在约束条件下，目标函数zxmy的最大值小于2，则实数m的取值范围为_3.(2011全国)已知矩形abcd的顶点都在半径为4的球o的球面上，且ab6，bc2，则棱锥oabcd的体积为_4.(2011湖南)已知函数f(x)ex1，g(x)x24x3，若有f(a)g(b)，则b的取值范围为_5.(2009浙江)在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且满足cos，3.(1) 求abc的面积；(2) 若bc6，求a的值6.(2011辽宁)如图，已知椭圆c1的中心在原点o，长轴左、右端点m，n在x轴上，椭圆c2的短轴为mn，且c1，c2的离心率都为e，直线lmn，l与c1交于两点，与c2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为a，b，c，d.(1) 设e，求|bc|与|ad|的比值；(2) 当e变化时，是否存在直线l，使得boan，并说明理由(2008北京)(本小题满分13分)数列an满足a11，an1(n2n)an(n1,2，)，是常数(1) 当a21时，求及a3的值；(2) 数列an是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；(3) 求的取值范围，使得存在正整数m，当nm时总有an0.解：(1) 由于an1(n2n)an(n1,2，)，且a11.所以当a21时，得12，故3.(2分)从而a3(2223)(1)3.(4分)(2) 数列an不可能为等差数列，证明如下：由a11，an1(n2n)an得a22，a3(6)(2)，a4(12)(6)(2)若存在，使an为等差数列，则a3a2a2a1，即(5)(2)1，解得3.于是a2