全程复习方略（广西）2015版高中数学_小专题复习课 热点总结与强化训练（三）配套课件 理 新人教a版

热点总结与强化训练(三) 热点1 三角恒等变换与解三角形 1.本热点在高考中的地位 三角恒等变换是每年高考中必考的一个知识点，可以直接 考查三角恒等变换，如单纯考查同角三角函数的基本公式、诱 导公式，和角、差角、倍角公式，该类题主要以客观题的形式 出现，也可以和三角函数的图象和性质、解三角形、平面向量 等知识相结合交汇考查，该类题主要以解答题的形式出现，难 度中档. 2.本热点在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看,对三角恒等变换的考查模式相对稳定,主要有 以下几点: (1)三角函数的图象及变换.其中综合了三角公式、诱导公 式等的灵活应用以及三角函数的性质和三角函数的化简等知识 ，属于综合类的中档题目. (2)解三角形.正弦定理、余弦定理和三角形的有关性质是 这部分考查的重要知识，同时还考查了化归、函数与方程等数 学思想的应用. 1.三角恒等变换的关注点 (1)诱导公式的合理选择是解题的关键; (2)注意两种常见的变形技巧: sin+cos= sin(+ ); sin+ cos=2sin(+ ). (3)两种常见的求三角函数最值的形式: 转化为y=Asin(x+)+B的形式求最值、周期、单调区 间等. 转化为y=asin2x+bsinx+c(a0)的形式后,用换元法求最 值. 2.解三角形时应注意的问题 (1)三角形的内角和(A+B+C=),大边对大角,面积公式等 三角形性质的应用; (2)合理选用正弦定理或余弦定理进行边、角关系的转化. 在备考中，要熟练记忆各个公式，弄清各公式间的联系和 区别，并且会正用、逆用、变形用.还要注意掌握常见的变换方 法.熟练进行公式结构的变换、角的变换等. (1)(2011北京高考)已知函数f(x)=4cosxsin(x+ )-1. 求f(x)的最小正周期； 求f(x)在区间 上的最大值和最小值. (2)(2011江西高考)在ABC中，角A，B，C的对边分别是 a,b,c,已知sinC+cosC=1- 求sinC的值； 若a2+b2=4(a+b)-8,求边c的值. 【解题指南】(1)先把sin(x+ )展开，再降幂化简； 求出角的范围是解题的关键. (2)先利用倍角公式把sinC,cosC用 表示，再利用 =1-sinC求解；由a2+b2=4(a+b)-8求a,b，再利 用余弦定理求解. 【规范解答】(1)因为f(x)= 所以f(x)的最小正周期为. 因为 所以 于是，当 即x= 时，f(x)取得最大值2； 当 即x= 时，f(x)取得最小值-1. (2)已知sinC+cosC 整理即有： 又C为ABC中的角， a2+b2=4(a+b)-8, a2+b2-4a-4b+4+4=0 (a-2)2+(b-2)2=0 a=2,b=2, 又 1已知函数f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx. (1)求 的值； (2)求f(x)的最大值和最小值. 【解析】(1) (2)f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cosx =3cos2x-4cosx-1 因为cosx-1,1, 所以，当cosx=-1时，f(x)取最大值6； 当cosx= 时，f(x)取最小值 2.(2011湖南高考)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为 a,b,c且满足csinA=acosC. (1)求角C的大小； (2)求3sinA- 的最大值，并求取得最大值时角A,B的大 小 【解析】(1)由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC. 因为0A,所以sinA0.从而sinC=cosC. 又sinC0,所以cosC0,所以tanC=1,则 (2)由(1)知B= 于是 0A , 从而当 即A= 时， 取最大值2 综上所述， 的最大值为2，此时 3.ABC的面积是30，内角A,B,C所对边长分别为a,b,c， cosA= (1)求 (2)若c-b=1，求a的值. 【解析】由cosA= 得 又 (1) (2)a2=b2+c2-2bccosA=(c-b)2+2bc(1-cosA)=1+2156(1- )=25,a=5. 4.(2012桂林模拟)在ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C 的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC. (1)求A的大小； (2)若sinB+sinC=1，试判断ABC的形状. 【解析】(1)由已知，根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即 a2=b2+c2+bc, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA, 故cosA= A=120. (2)由(1)得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC. 又sinB+sinC=1，得sinB=sinC= 因为0B90,0C90, 故B=C, 所以ABC是等腰的钝角三角形. 热点2 平面向量的数量积 1.本热点在高考中的地位 平面向量的数量积在高考中是必考的一个知识点，可以直 接考查数量积的运算、利用数量积求向量的夹角、长度等，该 类题主要以客观题的形式出现，属于给分题；也可以把数量积 和不等式、三角函数、线性规划等知识相结合交汇考查，该类 题有客观题也有主观题，难度中档. 2.本热点在高考中的命题方向及命题角度 预计高考中会重点考查向量的概念、几何表示、向量的加 减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐 标运算，考查方式仍将以选择题、填空题为主，难度较小. 1.数量积的定义 设a与b的夹角为,则ab=|a|b|cos，其几何意义为|a| 与b在a方向上的投影的积，满足交换律、结合律和分配律. 2.数量积的运算 向量形式下，关键是确定|a|,|b|及a与b的夹角；坐标形式下, 是对应坐标乘积的和. 3.数量积的应用 把定义式变形,可得cos= abab=0. 在备考中要理解数量积的概念和运算法则，把握数量积的 几何意义.重视数量积的两种运算方式.掌握数量积在解决垂直 、夹角、长度等问题中的应用，并且要加强对数量积与直线、 三角函数、圆锥曲线、数列等知识的综合问题的训练. (1)(2011安徽高考)已知向量a，b满足(a+2b)(a-b)=6， 且|a|=1，|b|=2，则a与b的夹角为_. (2)(2011江西高考)已知两个单位向量e1，e2的夹角为 若向量b1=e1-2e2，b2=3e1+4e2，则b1b2=_. 【解题指南】(1)由(a+2b)(a-b)=6，且|a|=1，|b|=2，求 出ab是解答本题的关键. (2)先把b1，b2用e1,e2表示，然后计算b1b2. 【规范解答】(1)因为(a+2b)(a-b)=-6，所以a2+ab-2b2=-6, 即12+ab-222=-6,设a,b的夹角为, 所以ab=1,cos= 故=60. (2)b1b2=(e1-2e2)(3e1+4e2) =3e12-2e1e2-8e22 =3-211cos3-8=-6. 答案：(1)60(2)-6 1.(2011大纲版全国卷)设向量a，b,c满足|a|=|b|=1，ab= -12,a-c,b-c=60,则|c|的最大值等于( ) (A)2 (B) (C) (D)1 【解析】选A.如图，构造 BAD=120, BCD=60, 所以A、B、C、D四点共圆， 可知当线段AC为直径时，|c|最大，最大 值为2. 2.若向量a=(1,1)，b=(2，5)，c=(3，x)满足条件(8a- b)c=30，则x=( ) (A)6 (B)5 (C)4 (D)3 【解析】选C.8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3)， 所以(8a-b)c=(6,3)(3,x)=30， 即：18+3x=30,解得：x=4，故选C. 3.已知平面向量 则 的值 是_. 【解析】由题意可知 =0，结合 解得 所以 开方可知答案为 答案： 4.(2012梧州模