高中数学 第2章 推理与证明 2_2_2 反证法互动课堂 苏教版选修2-21

高中数学 第2章 推理与证明 2.2.2 反证法互动课堂 苏教版选修2-2疏导引导1.间接证明不是从正面确定命题的真实性，而是证明它的反命题为假，或改证它的等价命题为真，以间接地达到目的.反证法是间接证明的一种基本方法. 反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾.具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，即从原题的反命题“既p又q”入手，由p与q合乎逻辑地推出一个矛盾结果;根据矛盾律，两个互相矛盾的判断不能同真，必有一假，断定反命题“既p又q”为假;从而根据排中律，两个互相矛盾的判断不能同假，必有一真.由此肯定命题“若p则q”为真.可以看出，反证法与证逆否命题是不同的.由于受“反证法就是证逆否命题”的错误影响，在否定结论后的推理过程中，往往一味寻求与原题设的矛盾，而不注意寻求其他形式的矛盾，这样就大大限制和影响了解题思路.反证法是一种间接证明命题的方法，它从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而肯定命题的结论.2.用反证法证明命题“若p则q”，它的全部过程和逻辑根据可以表示如下. 否定结论q导致逻辑矛盾“既p又q”为假“若p则q”为真. 应用反证法证明数学命题，一般有下面几个步骤： 第一步：分清命题“pq”的条件和结论; 第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定q； 第三步：由p和q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果; 第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题pq为真. 第三步所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知条件矛盾，与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况.3.使用反证法证明问题时，准确地做出反设(即否定结论)，是正确运用反证法的前提，现将常见的“结论词与反设词”列表如下：原结论词等于(=)大于()小于()对所有x成立对任意x不成立至少一个至多一个至少n个至多n个p或qp且q反设词不等于()不大于()不小于()存在某个x不成立存在某个x成立一个都没有至少两个至多n-1个至少n+1个p且qp或q案例 用反证法证明：已知a、b均为有理数，且和都是无理数，求证：是无理数.【探究】可设为有理数，利用实数运算法则得出矛盾.证明：假设为有理数，则()()=a-b. 由a0,b0得0.=.a、b为有理数，且为有理数，为有理数，即为有理数，()+()为有理数， 即为有理数， 从而也应为有理数，这与已知为无理数矛盾.一定为无理数.【规律总结】1.本例推出的是与已知矛盾，反证法导出结果的几种情况：(1)导出p为真，即与原命题的条件矛盾.(2)导出q为真，即与假设“q为真”矛盾.(3)导出一个恒假命题，即与定义、公理、定理矛盾.(4)导出自相矛盾的命题.2.当结论的反面仅有一个时，假设这个结论的反面为真，经过合理的论证，否定这个假设，从而证得结论成立，这种反证法称为归谬法.活学巧用1.a、b是平面内的两条直线，求证：它们最多有一个交点.证明:假设直线a、b至少有两个交点A和B，则通过不同的两点有两条直线，这就与公理“经过两点有且只有一条直线”相矛盾，所以平面内的两条直线最多有一个交点.2.设函数f(x)对定义域内任意实数都有f(x)0,且f(x+y)=f(x)f(y)成立. 求证：对定义域内任意x都有f(x)0.证明：设满足题设条件的任意x,f(x)0不成立，即存在某个x0，有f(x0)0，f(x)0,f(x0)0. 又知f(x0)=f()=f()f()=f2()0. 这与假设f(x0)0矛盾，假设不成立. 故对任意的x都有f(x)0.3.如果一条直线与一个平面平行，那么过这平面内一点而与这条直线平行的直线必在这个平面内.证明：如图所示，如果直线b不在平面内，则直线b不在平面有一个公共点A.过平行直线a和b作平面，则平面、有过A点的一条直线，设为b，在平面内直线b与交线b相交于A点. 因为直线ab，所以交线b也与直线a相交于A， 即直线a与平面相交，这是不可能的.故过A点而平行于直线a的直线b必在平面上.4.已知a0，证明关于x的方程ax=b有且只有一个根.证明：由于a0，因此方程至少有一个根x=. 如果方程不只一个根，不妨设x1,x2是它的两个不同的根，即ax1=b ax2=b -得a(x1-x2)=0 因为x1x2，所以x1-x20，所以应有a=0，这与已知矛盾，故假设错误. 所以，为a0时，方程ax-b有且只有一个根.5.已知a、b、c(0,1),求证：(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a不能同时大于.证明一:假设三式同时大于， 即(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a,三式相乘，得：(1-a)a(1-b)b(1-c)c. 又(1-a)a()2=. 同理，(1-b)b，(1-c)c.以上三式相乘得(1-a)a(1-b)b(1-c)c，这与(1-a)a(1-b)b(1-c)c矛盾，故结论得证.证明二:假设三式同时大于.0a1，1-a0. 同理，. 三式相加得,矛盾，原命题成立.6.如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.已知：a,b,ab,如图.证明：假设直线a与平面不平行.a