高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2_4_1 抛物线的标准方程学案 苏教版选修2-1

我带领班子成员及全体职工，积极参加县委、政府和农牧局组织的政治理论学习，同时认真学习业务知识，全面提高了自身素质，增强职工工作积极性，杜绝了纪律松散24.1抛物线的标准方程 学习目标1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线方程知识点一抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线知识点二抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)(，0)xy22px(p0)(，0)xx22py(p0)(0，)yx22py(p0)(0，)y思考(1)抛物线的标准方程y22px(p0)中p的几何意义是什么？(2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？答案(1)焦点到准线的距离(2)不一定当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线题型一求抛物线的标准方程例1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程(1)焦点为(2,0)；(2)准线为y1；(3)过点A(2,3)；(4)焦点到准线的距离为.解(1)由于焦点在x轴的负半轴上，且2，p4，抛物线的标准方程为y28x.(2)焦点在y轴正半轴上，且1，p2，抛物线的标准方程为x24y.(3)由题意，抛物线方程可设为y2mx(m0)或x2ny(n0)，将点A(2,3)的坐标代入，得32m2或22n3，m或n.所求抛物线的标准方程为y2x或x2y.(4)由焦点到准线的距离为，可知p.所求抛物线的标准方程为y25x或y25x或x25y或x25y.反思与感悟求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2ax(a0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2ay(a0)跟踪训练1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程(1) 过点(3，4)；(2) 焦点在直线x3y150上解(1)方法一点(3，4)在第四象限，设抛物线的标准方程为y22px (p0)或x22p1y (p10)把点(3，4)的坐标分别代入y22px和x22p1y，得(4)22p3,322p1(4)，即2p，2p1.所求抛物线的标准方程为y2x或x2y.方法二点(3，4)在第四象限，抛物线的方程可设为y2ax (a0)或x2by (b0)把点(3，4)分别代入，可得a，b.所求抛物线的标准方程为y2x或x2y.(2)令x0得y5；令y0得x15.抛物线的焦点为(0，5)或(15,0)所求抛物线的标准方程为x220y或y260x.题型二抛物线定义的应用例2如图，已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求PAPF的最小值，并求此时P点坐标 解如图，作PQl于Q，由定义知， 抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求PAPF的最小值的问题可转化为求PAd的最小值的问题将x3代入抛物线方程y22x，得y.2，A在抛物线内部设抛物线上动点P到准线l：x的距离为d，由定义知PAPFPAd.由图可知，当PAl时，PAd最小，最小值为.即PAPF的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y22x，得x2.点P坐标为(2,2)反思与感悟抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等跟踪训练2已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为_答案解析如图，由抛物线定义知PAPQPAPF，则所求距离之和的最小值转化为求PAPF的最小值，则当A、P、F三点共线时，PAPF取得最小值又A(0,2)，F(，0)，(PAPF)minAF .题型三抛物线的实际应用例3如图所示，一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值解以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系则点B的坐标为，设抛物线方程为x22py(p0)，点B在抛物线上，22p，解得p，抛物线方程为x2ay.将点E(0.8，y)代入抛物线方程，得y.点E到拱底AB的距离为|y|3.解得a12.21，a取整数，a的最小整数值为13.反思与感悟以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，抛物线的应用主要解题步骤：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程；(2)利用方程求点的坐标跟踪训练3如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米 (1)以隧道的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?解(1)依题意，设该抛物线的方程为x22py(p0)，如图所示，因为点C(5，5)在抛物线上，解得p，所以该抛物线的方程为x25y.(2)设车辆高h米，则DBh0.5，故D(3.5，h6.5)，代入方程x25y，解得h4.05，所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米1抛物线yx2的准线方程是_答案y2解析将yx2化为标准形式x28y，由此可知准线方程为y2.2过抛物线y28x的焦点作倾斜角为45的直线，则被抛物线截得的弦长为_答案16解析由y28x得焦点坐标为(2,0)，由此直线方程为yx2，由联立得x212x40，设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程知x1x212，弦长ABx1x2p12416.3已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线1上，则抛物线的方程为_答案y28x解析由题意知，抛物线的焦点为双曲线1的顶点，即为(2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y28x或y28x.4已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_答案2解析易知直线l2：x1恰为抛物线y24x的准线，如图所示，动点P到l2：x1的距离可转化为PF的长度，其中F(1,0)为抛物线y24x的焦点由图可知，距离和的最小值，即F到直线l1的距离d2.5若双曲线1(p0)的左焦点在抛物线y22px的准线上，则p_.答案4解析由双曲线1得标准形式为1，由此c23，左焦点为( ，0)，由y22px得准线为x， ，p4.1.抛物线的定义中不要忽略条件：点F不在直线l上2确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论，有时也可