几何问题的处理方法 课件

29.1 几何问题的处理方法 哥白尼 地球是运动的 缺乏依据,无法证明 想一想： 在公理的基础上，我们以证得了许多与平行 线、三角形有关的图形的属性，并将这些图形的 属性均作为进一步推理的依据，于是又进一步 证明等腰三角形、平行四边形的性质与判定定理。 例如，有了“边角边”公理，我们以证明了 等腰三角形的性质定理“等腰三角形的底角相等” 、“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、 底边上的高互相重合（即等腰三角形三线合一）” 。 等腰三角形性质定理 等腰三角形的两 个底角相等。 （简写成“等边对等角”） 等腰三角形顶角的平分线、底边上的 中线、底边上的高互相重合 （简写成“等腰三角形的三线合一”） 我们还可以用逻辑 推理的方法得到等 腰三角形的性质： 等腰三角形两底角什么关系？怎样证明？ 2.等腰三角形的顶角 平分线、底边上的中线 、底边上的高互相重合 （简写成“等腰三角 形的三线合一”） 等腰三角形的性质定理： 1. 等腰三角形的两个底角相等 （简写成“等边对等角”） 在ABC中 AB=AC B=C 在ABC中,AB=AC 1=2 ADBC，BD=CD ADBC 1=2 ，BD=CD BD=CD 1=2 ， ADBC 以等腰三角形为条件时的常用辅助线: 如图：若AB=AC 作ADBC于D，必有结论:1=2， BD=DC 若BD=DC，连结AD，必有结论： 1=2，ADBC 作AD平分BAC必有结论：ADBC， BD=DC 作辅助线时，一定要作满足其中一个性质 的辅助线，然后证出其它两个性质，不能 这样作：作ADBC，使1=2. 对一般三角形能用（SSA）判定两个三 角形全等吗？为什么？ 我们曾经通过画图、比较，发现： 如果两个直角三角形的斜边及一条直角 边分别对应相等，那么这两个直角三角 形是全等的RTHL定理 已知：如图，在ABC和ABC中， ACBACB90,ABAB，ACAC 求证： ABCABC 已知：如图，在ABC和ABC中, ACB=ACB=90 AB=AB,AC=AC. 求证：ABCABC 把 ABC和ABC拼在一起，使相等 的直角边AB和AB重全在一起，并使点C 和C在AB.的两旁，C、B（B）、C在一 条直线上。 (A) C(B ) A CB c B A CB A (A) C(B) A CB c B A CB A 证明；如图,把ABC和ABC拼在一起,因为 ABC=ABC=90 (已知) 所以 CBC=180（等式的性质） 即点C、 B、C在同一条直线上。 在ACC中，因为AC=AC= AC （已知） 所以 C= C （等边对等角） 在ABC和ABC中。 因为ABC=ABC （已知） C=C （已证）AC= AC （已知） 所以ABCABC （A.A.S） 证明：如果一个三角形有两个角相等，那么这 两个角所对的边也相等 已知：在ABC中，BC， 求证：ABAC D 等腰三角形的判定定理 （简写成“等角对等边”） 在ABC中 B=C AB=AC 我们知道等腰三角形的识别方法是: 如果一个三角形有两个角相等, 那么这两个角所对的边也相等. 已知：如图,在ABC中, B=C. 求证:AB=AC A B C D 证明: 作ADBC于点D 在BAD和CAD中, B=C(已知) ADB=ADC=90 (作图) AD=AD(公共边) BADCAD(A.A.S.) BA=CA (全等三角形对应边相等) 如图。按照下面的步骤，在方格纸上 画一个平行四边形。 探索 步骤1：画两条平行线； 步骤2：在两条线上分别取点A和点B，连结AB； 步骤3：沿着水平方向平移AB到DC，就得到 ABCD。 A B A B D C 如图。用剪刀把 ABCD从方格纸上剪下，再在一 张纸上沿 ABCD的边沿，画出一个四边形，记为 四边形EFGH。则四边形EFGH和四边形ABCD完全 一样，也为平行四边形。它们的对应边、对应角都 相等。 在 ABCD中连结AC、BD，它们的交点记为O。 用一枚图钉在点O穿过，将 ABCD绕点O旋转1800，观察旋转 后的 ABCD和纸上所画的 EFGH是否重合。 旋转1800之后两个平行四边形完全重合 。即平行四边形是中心对称图形，对角线的 交点O就是对称中心。由此得到： 你能从中得出 ABCD的一些边角关系吗？ ADBC，ABDC A C；B D 即平行四边形的对边 相等、对角相等。 如图，四边形ABCD是平行四边形。 求证：ABCD，BCDA。 例2 证明：连结AC。四边形ABCD是平行四边形（已知） ABCD（平行四边形的定义）。 BACDCA（两直线平行，内错角相等） 同理 BCADAC 在ABC和CDA中， BACDCA（已证）， ACCA（公共边）， BCADAC（已证）， ABCCDA （A.S.A） ABCD，BCDA（全等 三角形的对应边相等） 由ABCCDA ，还可得： B D，同理也可得出: BA D= DCB. 平行四边形的对边相等，对角相等。 平行四边形的性质 w定理:平行四边形的对边相等. B D C A 四边形ABCD是平行四边形. AB=CD,BC=DA. w定理:平行四边形的对角相等. 四边形ABCD是平行四边形. A=C, B=D. 定理:平行四边形的对角线互相平分. 四边形ABCD是平行四边形. CO=AO,BO=DO. B D C A O 推论:夹在两条平行线间的平行 线段相等. MNPQ,ABCD, AB=CD. B D C A MN P Q 回顾 思考 平行四边形的性质： 边 平行四边形的对边平行 平行四边形的对边相等 角 平行四边形的对角相等 平行四边形的邻角互补 对角线 平行四边形的对角线 互相平分 例3： 同样，我们可以证明：平行四边形的对角线互相各平分 。 有了平行四边形的性质，还可以证明矩形、菱形、 正方形、等腰梯形的有关性质。例如要证明菱形的对角 线互相垂直，可以先证明菱形的四条边相等。这是因为 菱形的对边相等，且有一组邻边相等，故四条边都相等 。 如图，四边形ABCD是菱形。 求证：ACBD，且AC平分BAD。 证明：设AC与BD相交于O 。 四边形ABCD是菱形， BODO（平行四边形的对角线互相平分 ）ABAD（菱形的四条边相等） ACBD，且AC平分BAD（等腰 三角形三线合一） 矩形的性质 w定理:矩形的四个角都是直角. 已知:如图,四边形ABCD是矩形. w分析:由矩形的定义,利用对角 相等,邻角互补可使问题得证. 证明: 四边形ABCD是矩形, A=900,四边形ABCD是平行四边形. C=A=900, B=1800-A=900, D=1800-A=900. 求证:A=B=C=D=900. 四边形ABCD是矩形. D BC A 想一想:正方形的四 个角都是直角吗? 我思,我进步 1 1 矩形的性质 我思,我进步 2 2 w定理:矩形的两条对角线相等. 已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线. 求证: AC=BD. 证明: 四边形ABCD是矩形, AB=DC,ABC=DCB=900. w分析:根据矩形的性质性质,可转 化为全等三角形(SAS)来证明. D BC A BC=CB, ABCDCB(SAS). AC=DB. 菱形的性质 w定理:菱形的四条边都相等. 我思,我进步 3 3 已知:如图,四边形ABCD是菱形. w分析:由菱形的定义,利用平行 四边形性质可使问题得证. 证明: 四边形ABCD是菱形, AB=AD,四边形ABCD是平行四边形. AB=CD,AD=BC. 求证:AB=BC=CD=DA. AB=BC=CD=AD. C B D A 菱形的性质 我思,我进步 4 4 w定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角 线平分一组对角. 已知:如图,AC,BD是菱形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O. 求证: (1).ACBD; (2).AC平分BAD和BCD, BD平分ADC和ABC. 证明:(1) 四边形ABCD是菱形, AD=CD,AO=CO. w分析:根据平行四边形对角线互相平分和 等腰三角形“三线合一”来证明. DO=DO, AODCOD(SSS). AOD=COD=900. D B CA O ACBD. (2)AD=AB,DA=DC,ACBD; AC平分BAD和BCD,BD平分ADC和ABC. 正方形的性质 我思,我进步 5 5 w定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等. w求证:(1)A=B=C=D=900. w (2)AB=BC=CD=DA. w分析:因为正方形具有矩形和菱形 的所有性质,所以结论易证. w证明: 四边形ABCD是矩形,也是菱形. A=B=C=D=900, AB=BC=CD=DA. 四边形ABCD是正方形, A BC Dw已知:四边形ABCD是正方形. 正方形的性质 我思,我进步 6 6 w定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平 分,每条对角线平分一组对角. w求证 :(1).AC=BD,ACBD,AO=CO,BO=DO; (2).AC平分BAD和BCD,BD平 分ADC和ABC. w分析:因为正方形具有矩形和菱形 的所有性质,所以结论易证. w证明: 四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形. AO=CO,BO=DO; AC=BD; 四边形ABCD是正方形, ACBD; AC平分BAD和BCD,BD平分ADC和ABC. w已知:四边形ABCD是正方形,AC,BD是它的两条对角线. A BC D O 等腰梯形的性质定理 1.等腰梯形在同一底上的两个角相等. A BC D 2.等腰梯形的两条对角线相等. A BC D 对上述定理分别作出证明： 定理 等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等 1.已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC， ABDC 求证：ABCDCB，BADCDA 分析 可以过点D作DEAB， 交BC于E 请你写出完整的证明过程 演示 证明：过D作DEAB，交BC于E，因为 ADBC， 所以ABED是平行四边形. 所以 AB=DE. 又因为 AB=DC， 则 DE=DC, 所以DEC是等腰三角形,可得 DEC=C. 因为 DEAB， 所以 ABC=DEC(两直线平行同位角相等) 所以 ABC=DCB. 同理可证：BAD=CDA. 定理 等腰梯形的两条对角线相等 2.已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC， ABDC 求证：ACBD 分析 可以通过证明ABCDCB得出结论 请你写出完整的证明过程 3.已知：如图，ABCD是等腰梯形. 求证：AC=BD. 分析：可通过平移对角线将等腰梯形转化成平行 四边形和等腰梯形，再利用有关知识证得结论. 证明：过D作DEAC，交BC延长线于E.(以下学 生自己完成) 在第20章中，我们证明了平行四 边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯 形的判定方法。 由此可知，由给出的公理，以 及与等式、不等式有关的性质出发 ，是能够通过逻辑推理的方法证明 我们已经探索研究过的所有几何图 形属性的。 平行四边形的判定 w定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形. w定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 . 定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形. 定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的. 回顾 思考 wAB=CD,AD=BC, w四边形ABCD是平行四边形. B D C A B D C A O wABCD,AB=CD, w四边形ABCD是平行四边形. wAO=CO,BO=DO, w四边形ABCD是平行四边形. wA=C,B=D. w四边形ABCD是平行四边形. 边 角 对角线 两组对边分别平行 两组对边分别相等 两组对角分别相等 对角线互相平分 的四边形是 平行四边形 一组对边平行且相等 矩形的判定 w定理:有三个角是直角的四边形是矩形. w定理:对角线相等且互相平分四边形是矩形. 回顾 思考 wA=B=C=900, 四边形ABCD是矩形. D BC A D BC A AC,BD是 ABCD的两条对角线,且AC=DB. 四边形ABCD是矩形. w定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形. 矩形的判定 w定理:有三个角是直角的四边形是矩形. 我思,我进步 1 1 已知:如图,在四边形ABCD中, A=B=C=900. w分析:利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边形 是平行四边形,可使问题得证. 证明: A=B=C=900, A+B=1800,B+C=1800. ADBC,ABCD. 求证:四边形ABCD是矩形. 四边形ABCD是平行四边形. D BC A 四边形ABCD是矩形. 矩形的判定 w定理:对角线相等的平行四边形是矩形. 我思,我进步 2 2 已知:如图,在 ABCD中,对角线AC=BD. 求证:四边形ABCD是矩形. D BC A w分析:要证明 ABCD是矩形, 只要证明有一个角是直角即可. w证明: AB=CD,ABCD. AC=DB,BC=CB, ABCDCB. ABC=DCB. 四边形ABCD是平行四边形. ABC+DCB=1800. ABC=900. 四边形ABCD是矩形. 直角三角形的判定 我思,我进步 3 3 w定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一 半,那么这个三角形是直角三角形. w求证:ABC是直角三角形 已知:CD是ABC边AB上的中线,且 EA B C Dw分析:要证明ABC是直角三角形, 可以点A,B,C构造平行四边形,然后 证明其对角线相等,即可证明是矩形 .w证明:延长CD到E,使DE=DC,连接 AE,BE. 四边形ACBE是平行四边形. AB=2CD,CE=2CD, AB=CE. 四边形ACBE是矩形. AD=BD,CD=ED, ACB=900. ABC是直角三角形. 菱形的判定 w定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 我思,我进步 2 2 已知:如图,在ABCD中,对角线ACBD. 求证:四边形ABCD是菱形. w分析:要证明ABCD是菱形,就 要证明有一组邻边相等即可. w证明: AO=CO. ACBD, DA=DC. 四边形ABCD是平行四边形. 四边形ABCD是菱形. D B CA O 正方形的判定 我思,我进步 4 4 w定理:对角线互相垂直的矩形是正方形. w求证:四边形ABCD是正方形. w分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有 一角是直角的菱形(或有一组邻边相等的矩形,或对 角线相等的菱形)即可. w证明: ABC=900,四边形ABCD是平行四边形. ACBD, 四边形ABCD是菱形. ABC=900. 四边形ABCD是矩形, 四边形ABCD是正方形. 已知:四边形ABCD是矩形,且ACBD. A BC D O 正方形的判定 我思,我进步 4 4 w定理:有一个角是直角的菱形是正方形. w求证:四边形ABCD是正方形. w分析:要证明四边形ABCD是正方形 ,可转化为证明有一组邻边相等的矩 形即可. w证明: AB=BC,C=A=900,B=1800-A=900. A=B=C=900. 四边形ABCD是矩形. 四边形ABCD是菱形,A=900, AB=BC, 四边形ABCD是正方形. w已知:四边形ABCD是菱形,A=900. A BC D 正方形的判定 我思,我进步 4 4 w定理:对角线相等的菱形是正方形. w求证:四边形ABCD是正方形. w分析:要证明四边形ABCD是正方形 ,可转化为证明有一组邻边相等的矩 形(或有一个角是直角的菱形)即可. w证明: AB=BC,四边形ABCD是平行四边形. AC=BD, 四边形ABCD是矩形. AB=BC, 四边形ABCD是菱形, 四边形ABCD是正方形. w已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD. A BC D O 正方形的判定 我思,我进步 4 4 w定理:对角线互相垂直的矩形是正方形. w求证:四边形ABCD是正方形. w分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有 一角是直角的菱形(或有一组邻边相等的矩形,或对 角线相等的菱形)即可. w证明: ABC=900,四边形ABCD是平行四边形. ACBD,