高中数学 第三章 推理与证明 3_1_1 归纳推理同步测控 北师大版选修1-21

高中数学 第三章 推理与证明 3.1.1 归纳推理同步测控 北师大版选修1-2我夯基 我达标1.等式12+22+32+n2=(5n2-7n+4)( )A.n为任何正整数时都成立 B.仅当n=1、2、3时成立C.当n=4时成立,n=5时不成立 D.仅当n=4时不成立解析:分别将n=1,2,3,4,5代入可作出判断.答案:B2.凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线条数f(n+1)等于( )A.f(n)+n+1 B.f(n)+n C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2解析:凸n+1边形的对角线条数f(n+1)可看作是凸n边形的对角线条数f(n)加上从第n+1个顶点出发的n-2条对角线和凸n边形的一条边之和,即f(n+1)=f(n)+(n-2)+1=f(n)+n-1.答案:C3.如下图为一串白黑相间排列的珠子,按这种规律往下排起来,那么第37颗珠子应是什么颜色的?( )A.白色 B.黑色 C.白色可能性大 D.黑色可能性大解析:每五颗珠子重复一次,其中每五颗珠子为一组,则第37颗珠子落在第八组第2颗,则为白色.答案:A4.观察右图图形规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为( )解析:图形涉及三种符号、,其中符号与各有3个,且各自有二黑一白,所以缺一个黑色符号,即应画上才合适.答案:A5.由数列1,10,100,1 000,猜测该数列的第n项可能是( )A.10n B.10n-1 C.10n+1 D.11n解析:1=101-1,10=102-1,100=103-1,1 000=104-1,故选B.答案:B6.已知数列an满足a0=1,an=a0+a1+an-1(n1),则当n1时,an等于( )A.2n B.n(n+1) C.2n-1 D.2n-1解析:a0=1,a1=a0=1,a2=a0+a1=2a1=2,a3=a0+a1+a2=2a2=4,a4=a0+a1+a2+a3=2a3=8,猜想当n1时,an=2n-1.答案:C7.根据1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1的值,猜想出1+2+3+(n-1)+n+(n-1)+ +2+1=_.解析:n=1,2,3,4时,分别为1,4,9,16,猜想n时等式为n2.答案:n28.若数列an的前4项分别为2,则an与an+1之间的关系为_.解析:将数列改为,可观察到分子相同,分母相差6,即=3,=3,=3,猜想=3.答案:=3我综合 我发展9.下面是按照一定规律画出的一列“树型”图:经观察可以发现,图(2)比图(1)多出2个“树枝”,图(3)比图(2)多出5个“树枝”,图(4)比图(3)多出10个“树枝”,照此规律,图(7)比图(6)多出_个 “树枝”.解析:从题图中可看出图(2)比图(1)多出2个“树枝”,即21,图(3)比图(2)多出5个“树枝”,即22+1=22+20=5,图(4)比图(3)多出10个“树枝”,即23+21=10.则图(5)比图(4)多出24+22=20个,图(6)比图(5)多出25+23=40个,图(7)比图(6)多出26+24=80个.答案:8010.观察下列式子:1+,1+,1+,则可归纳出_.解析:通过观察不等式的左边为1+,右边为.答案:1+21-1,n=2时,2222-1,n=3时,2323-1,n=4时,2424-1,于是猜测当nN+时,2n2n-1.14.设f(n)0(nN+)且f(2)=4,对任意n1,n2N+,有f(n1+n2)=f(n1)f(n2)恒成立,猜想f(n)的一个表达式.解析:可先由n1、n2取特殊值,求得函数值以后再观察规律,猜想.解:f(2)=4,对任意n1、n2N,有f(n1+n2)=f(n1)f(n2)恒成立.f(2)=f(1+1)=f(1)2=4.f(n)0,f(1)=2,f(3)=f(1+2)=f(1)f(2)=23,f(4)=f(1+3)=f(1)f(3)=24.猜想f(n)=2n.我创新 我超越15.已知a、b为正整数,设两直线l1:y=bx与l2:y=x的交点为P1(x1,y1),且对于n2的自然数,两点(0,b),(xn-1,0)的连线与直线y=x交于点Pn(xn,yn).(1)求P1、P2的坐标.(2)猜想Pn的坐标公式.解析:两直线的交点坐标可通过解方程组解出,由两点坐标又可写出新的直线方程,从而猜出Pn的坐标.解:(1)解方程组得P1(,).过(0,b),(,0)两点的直线方程为+=1,与y=x联立解得P2(,).(2)由(1)可猜想Pn(,).16.设an是集合2t+2s0st且s,tZ中所有的数从小到大排列成的数列,即a1=3,a2=5,a3=6,a4=9,a5=10,a6=12,将数列an各项按照上小下大,左小右大的原则写成如下的三角形数表.(1)写出这个三角形数表的第四行与第五行各数;(2)求a100.解析:先将2n各数写出,再写出an,并按由小到大排列即可写出三角形数表.解:(1)第四行的数分别为17、18、20、24,第五行的数分别为33、34、36、40、48.(2)设n为an的下标,三角形数表第一行第一个元素下标为1.第二行第一个元素下标为+1=2.第三行第