中考数学复习 第6讲 函数（三）试题

到乌蒙山区的昭通;从甘肃中部的定西，到内蒙古边陲的阿尔山，看真贫、知真贫，真扶贫、扶真贫，成为“花的精力最多”的事;“扶贫先扶志”“扶贫必扶智”“实施精准扶贫”第六讲函数（三）6.1 二次函数的图象与性质基础盘点1.形如_的函数叫二次函数.2.（1）二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c都是常数且a0)的图象是_,顶点坐标为_,对称轴为_.(2)当 a0时，二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口_,图象有_,且当时，y随x的增大而_;当时，y随x的增大而_;函数有最值 ，为 .当 a0）个单位所得的函数关系式为yax2k，向下平移k(k0)个单位所得函数关系式为yax2k；向左平移h（h0）个单位所得函数关系式为ya(xh)2；向右平移h（h0）个单位所得函数关系式为ya(xh)2；这一规律可简记为“上加下减，左加右减”；若抛物线的解析式是一般式，则需要将其化为顶点式后，再按此平移规律解答考点3二次函数的性质 例3 二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图相如图1所示，其对称轴为x=1，下列结论中错误的是（ ） A.abc0 B.2a+b=0 C.b24ac0 D.ab+c0图1 解析：由抛物线开口向下知a0，抛物线与y轴交点位于y轴正半轴知c0，由对称轴=10知b0，所以abc0，选项A正确；由=1，得2a+b=0，选项C正确；由于抛物线与x轴有两个不同的交点，即一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，有两个不相等的实数根，b24ac0，选项C正确；由图象知x=1时y0，即ab+c0，选项D错误.故选D . 评注：解答此类问题，需由二次函数的图象确定a,b,c之间的关系.一般地，抛物线开口方向确定a的大小，开口向上时a0，开口向下时a0；抛物线与x轴交点的多少确定b2-4ac的值的大小，抛物线与x轴有两个交点时b2-4ac0，抛物线与x轴有唯一的交点，b2-4ac=0,抛物线与x轴没有交点，b2-4ac0；x=1时，对应的函数值大小确定了a+b+c的值的大小，x=-1时，对应的函数值大小确定了a-b+c的值的大小例4 二次函数yax2bxc（a0）的部分图象如图2所示，图象过点（1，0），对称轴为直线x2. 下列结论：4ab0；9ac3b；8a7b2c0；当x1时，y的值随x值的增大而增大. 其中正确的结论有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个图2 解析：，由图象知对称轴x=2，得4a+b=0，故正确.，由图象知当x=3时，9a-3b+c0，9a+c0，8a+4b+2c0. 因为图象开口向下，所以a0，所以3b0. 所以8a+7b+2c0. 故正确.由图象知当x2时，y随x的增大而减少，故错误.综上正确. 故选B.评注：解决此类问题的关键是掌握a、b、c、x、abc、b24ac等数量与抛物线的位置之间的关系，能将数形结合起来，并进行灵活转换. 另外还需具有将不等式或等式灵活变形的能力.考点4求二次函数的解析式例5 设抛物线y=ax2+bx+c(a0)过点A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为_ 解析：因为抛物线y=ax2+bx+c(a0)过点A（0，2），所以函数解析式为y=ax2+bx+2因为点C在直线x=2上且到抛物线的对称轴的距离等于1，可得对称轴为x=1或x=3，所以可以建立以下两个方程组： （1），（2）由方程组（1）解得，；由方程组（2）解得，故答案为或评注：向这类求二次函数的解析式，一般用待定系数法求解.误区点拨1.忽视二次项系数a0的错误例1 求关于x的二次函数y=(m+2)x|m|中m值.错解：根据二次函数的概念,得|m|=2,所以m=2或-2，所以 m=2 或m=-2.剖析：根据二次函数的定义,要使y=(m-2)x|m|是二次函数,m需满足两个条件: |m|=2且m+20.两者缺一不可.正解：当m=2时, y=(m+2)x|m|是二次函数.2.忽视分类的错误例2 已知关于x的函数y=(m+3)x2-(m+2)x+m的图象与轴总有交点,试求m的取值范围.错解：由题意得, =-(m+2)2-4(m+3)m=m+40, 解得m-4. 又m+30,即m-3，故m的取值范围为：m-4且m-3.剖析：错解看似天衣无缝,思考严密.但函数图象与x轴有交点,并没有指明有几个交点,有一个交点或有两个交点都符合题意;并且未指明是二次函数还是一次函数,错解正是由于忽视了这些问题导致错误.正解：事实上当m=-4，=0，抛物线与x轴有一个交点;当m=-3时,函数为一次函数y=x-与x轴也有一个交点，从而正确答案为m-4.跟踪训练1.给出下列函数：yx21；y；y；yx1；y(x1)2x2；yax2bxc(a，b，c为常数)，;；，其中二次函数有() A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2.二次函数yx24x5的最小值是（ ）A1 B1 C3 D5 3.（2015泸州 ）若二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=-1，则使函数值y0成立的x的取值范围是（ ） Ax-4或x2 B-4x2 Cx-4或x2 D-4x2 4.（2015深圳）二次函数yax2bxc的图象如图所示，给出以下结论：a0，b0，c0，b24ac0其中所有正确结论的序号是（ ）A B C D第4题图5. 抛物线y=-2x2+5x-3与y轴的交点坐标是_,与x轴的交点坐标是_.6.若关于x的函数y=kx2x1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为_6.2 二次函数的应用基础盘点用二次函数通常可以求实际的最大最小面积问题、物体运动的轨迹等问题、营销中的最大利润最小成本问题、拱桥的高或宽的问题、实际中的最佳方案、最适宜的温度问题以及探究规律性的问题. 解决问题的一般环节如下：实际问题抽象转化数学问题运用数学知识问题的解返回解释检验 考点呈现 例1 九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：售价（元/件）100110120130月销量（件）200180160140已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元 （1）请用含x的式子表示：销售该运动服每件的利润是 元；月销量是 件；（直接写出结果） （2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？ 解析：（1）（x60）；（2x400） （2）依题意，可得y=（x60）（2x400）=2x2520x24000=2（x130）298009800 当x=130时，y有最大值9800所以售价为每件130元时，当月的利润最大，最大利润是9000元 评注：学会建立二次函数模型来解题，求最值问题一般要把二次函数表达式化成顶点式，这样就可以在自变量的取值范围内讨论函数的最值. 例2 如图1所示是永州八景之一的愚溪桥，桥身横跨愚溪，面临潇水，桥下冬暖夏凉，常有渔船停泊桥下避晒纳凉.已知主桥拱为抛物线型，在正常水位下测得主拱宽24m，最高点离水面8m，以水平线AB为x轴，AB的中点为原点建立坐标系. （1）求此桥拱线所在抛物线的解析式. （2）桥边有一浮在水面部分高4m，最宽处12m的河鱼餐船，试探索此船能否开到 桥下?说明理由. 图1 解析：（1）A（-12，0），B（12，0），C（0，8）.设抛物线解析式为,代入C点坐标得c=8,代入A，B点坐标得解得即所求抛物线为 (2)当y=4时, 解得即高出水面4m处,拱宽为m,与船的宽度相等.所以此船在正常水位时开不到桥下. 评注：解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：（1）建立合适的平面直角坐标系；（2）将实际问题中的数量转化为点的坐标；（3）设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；（4）利用函数关系式解决实际问题. 例3 某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，如图2，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发现的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为（米），与桌面的高度为（米），运动时间为（秒），经过多次测试后，得到如下部分数据：（秒）00.160.20.40.60.640.8（米）00.40.511.51.62（米）0.250.3780.40.450.40.3780.25当为何值时，乒乓球达到最大高度？乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？乒乓球落在桌面上弹起，与满足用含的代数式表示；球网高度为0.14米，球桌长（1.42）米若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求的值图2 解析：以点A为原点，以桌面中线为轴，乒乓球运动方向为正方向，建立平面直角坐标系 由表格中的数据，可得0.4（秒） 答：当为0.4秒时，乒乓球达到最大高度 由表格中数据，可画出关于的图象，根据图象的形状，可判断是的二次函数可设将（0，0.25）代入，可得当0时，（舍去），即乒乓球与端点A的水平距离是米 由，得乒乓球落在桌面上时，对应的点为（，0）代入，得0，化简整理，得由题意可知，扣杀路线在直线上由，得令，整理，得0当0时，符合题意解方程，得，当时，求得，不符合题意，舍去 当时，求得，符合题意 答：当时，能恰好将球沿直线扣杀到点A 评注：本题以乒乓球为背景，把二次函数知识与实际生活结合起来，注意体会函数思想和方程思想的应用.误区点拨实际问题中坐标表示导致错误20mEh=例 如图所示，有一座抛物线形拱桥，正常水位时水面宽为20m，拱顶离水面4m，在正常水位的基础上，当水位上升hm时，桥下水面宽为dm，在平面直角坐标系中表示B、D两点的坐标.错解：B（10，-4），D（，4-h）.剖析：由抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，可建立如图所示的平面直角坐标系.由于B、D两点都在x轴下方，所以其纵坐标均为负值.当水位上升hm时，D点的纵坐标应为h-4，易误认为D点的纵坐标为4-h.实质上OE=（4-h）m，而D点纵坐标为负值，所以应为h-4.正解：B（10，-4），D（，4-h）.评注：本题看是求点B和点D的坐标，实际应用时，也可以求水位的高度，或求抛物线的解析式等，此类问题也是二次函数在中考时的热点之一.跟踪训练1.用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a的值不可能为（ ）A20 B40 C100 D1202.竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为hat2bt，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是()A. 第3秒 B. 第3.5秒 C. 第4.2秒 D. 第6.5秒62Oh(m)t(s)AOyxB第2题图 第3题图3. 世界羽联汤姆斯杯&尤伯杯决赛将在印度首都新德里进行.经过8天的激战，中国女队决赛中3-1战胜日本队顺利卫冕，第13次捧得尤杯.在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线yx2bxc的一部分，其中出球点B离地面点O的距离是1 m，球落地点A到点O的距离是4 m，这条抛物线的解析式是()A. yx2x1 B. yx2x1C. yx2x1 D. yx2x14.在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满足y=x210x经过_（s）时间，炮弹达到它的最高点,最高点的高度是_（m）;经过_（s）时间，炮弹落在地上爆炸. 5.（2015丹东）某商店购进一种商品，每件商品进价30元.试销中发现这种商品每天的销售量y(件)与每件销售价x(元)的关系数据如下：x30323436y40363228（1）已知y与x满足一次函数关系，根据上表，求出y与x之间的关系式（不写出自变量x的取值范围）；（2）如果商店销售这种商品，每天要获得150元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？（3）设该商店每天销售这种商品所获利润为w(元)，求出w与x之间的关系式，并求出每件商品销售价定为多少元时利润最大？ 6.（2015随州）如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y=at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？第6题图 参考答案 6.1二次函数的图象和性质1.B 2.B 3.D 4.A 5.(0,-3) (1,0),(,0) 6.k=0或k=1 6.2二次函数的应用1.D 2.C3. A4.25 125 50 5.解：（1）设该函数的表达式为y=kx+b，根据题意，得，解得，所以该函数的表达式为y=-2x+100； （2）根据题意，得（-2x+100）（x -30）=150，解得x1=35，x2=45. 所以每件商品的销售价定为35元或45元时日利润为150元 （3）根据题意，得w=(-2x+100)(x-30）=-2x2+160x-3000=-2(x-40)2 +200 因为a=-20，则抛物线开口向下，函数有最大值即当x=40时，w的值