中考数学总复习 题型专项（八）二次函数与几何图形综合题 类型3 探究特殊四边形的存在性问题试题

到乌蒙山区的昭通;从甘肃中部的定西，到内蒙古边陲的阿尔山，看真贫、知真贫，真扶贫、扶真贫，成为“花的精力最多”的事;“扶贫先扶志”“扶贫必扶智”“实施精准扶贫”类型3探究特殊四边形的存在性问题1(2014桂林)如图，已知抛物线yax2bx4与x轴交于A(2，0)，B两点，与y轴交于点C，其对称轴为直线x1.(1)直接写出抛物线的解析式yx2x4；(2)把线段AC沿x轴向右平移，设平移后A，C的对应点分别为A，C，当C落在抛物线上时，求A，C的坐标；(3)除(2)中的点A，C外，在x轴和抛物线上是否还分别存在点E，F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出E，F的坐标；若不存在，请说明理由解：(2)由抛物线yx2x4可知C(0，4)抛物线的对称轴为直线x1，根据对称性，C(2，4)，A(0，0)(3)存在设F(x，x2x4)以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形图1若AC为平行四边形的边，如图1所示，则EFAC且EFAC.过点F1作F1Dx轴于点D，则易证RtAOCRtE1DF1，DE12，DF14.x2x44，解得x11，x21.F1(1，4)，F2(1，4)E1(3，0)，E2(3，0)图2若AC为平行四边形的对角线，如图2所示点E3在x轴上，CF3x轴点F3为点C关于x1的对称点，F3(2，4)，CF32.AE32.E3(4，0)综上所述，存在点E，F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形；点E，F的坐标为：E1(3，0)，F1(1，4)；E2(3，0)，F2(1，4)；E3(4，0)，F3(2，4)(注：因点F3与点C重合，故此处不确定E3，F3是否满足题意)2(2015百色)抛物线yx2bxc经过A(0，2)，B(3，2)两点，若两动点D，E同时从原点O分别沿着x轴，y轴正方向运动，点E的速度是每秒1个单位长度，点D的速度是每秒2个单位长度(1)求抛物线与x轴的交点坐标；(2)若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A，B，C，D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；(3)问几秒钟时，B，D，E在同一条直线上？解：(1)依题意有yx23x2.当y0时，x23x20.解得x11，x22.抛物线与x轴交点坐标为(1，0)，(2，0)(2)存在当点C为(1，0)时，AB3，ABx轴平行四边形中，ABCD413.D点为(4，0)当C(2，0)时，同理可求D(5，0)(3)设t秒时，B，D，E共线，则D，E点的坐标分别为(2t，0)，(0，t)设经过点B，D，E的直线为ykxm(k0)或t0.yxt经过B(3，2)23t.t3.5.t0或t3.5秒时，B，D，E共线3(2016贵港模拟)如图，直线y3x3与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线ya(x2)2k经过点A，B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P.(1)求a，k的值；(2)抛物线的对称轴上有一点Q，使ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M，N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长解：(1)直线y3x3与x轴，y轴分别交于点A，B，A(1，0)，B(0，3)又抛物线ya(x2)2k经过点A(1，0)，B(0，3)，解得故a，k的值分别为1，1. 图1 图2(2)设Q点的坐标为(2，m)，对称轴x2交x轴于点F，如图1，过点B作BE垂直于直线x2于点E.在RtAQF中，AQ2AF2QF21m2，在RtBQE中，BQ2BE2EQ24(3m)2.AQBQ，1m24(3m)2.m2.Q点的坐标为(2，2)(3)如图2，当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直，AC应为正方形的对角线又对称轴x2是AC的中垂线，M点与顶点P(2，1)重合，N点为点P关于x轴的对称点，其坐标为(2，1)此时，MFNFAFCF1，且ACMN，四边形AMCN为正方形在RtAFN中，AN，即正方形的边长为.4(2016泰安)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc的顶点坐标为(2，9)，与y轴交于点A(0，5)，与x轴交于点E，B.(1)求二次函数yax2bxc的表达式；(2)过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点(点P在AC上方)，作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；(3)若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A，E，N，M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M，N的坐标解：(1)设抛物线解析式为ya(x2)29，抛物线与y轴交于点A(0，5)，4a95.a1.y(x2)29x24x5.(2)当y0时，x24x50，解得x11，x25.E(1，0)，B(5，0)设直线AB的解析式为ymxn，A(0，5)，B(5，0)，m1，n5.直线AB的解析式为yx5.设P(x，x24x5)，D(x，x5)PDx24x5x5x25x.AC4，S四边形APCDACPD2(x25x)2x210x.当x时，S四边形APCD最大.(3)如图，过M作MH垂直于对称轴，垂足为H.MNAE，MNAE，HMNOEA.HMOE1.M点的横坐标为x3或x1.当x1时，M点纵坐标为8；当x3时，M点纵坐标为8.M点的坐标为M1(1，8)或M2(3，8)A(0，5)，E(1，0)，直线AE解析式为y5x5.MNAE，MN的解析式为y5xb.点N在抛物线对称轴x2上，N(2，10b)AE2OA2OE226，MNAE，MN2AE2.MN2(21)28(10b)21(b2)2.点M的坐标为M1(1，8)或M2(3，8)，点M1，M2关于抛物线的对称轴x2对称点N在抛物线对称轴上，M1NM2N.1(b2)226，解得b3或b7.10b13或