《全等三角形》考点重点专题讲解.rtf

全等三角形考点重点专题讲解 专题一 全等三角形判别方法的应用 专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下 4种： 1三边对应相等的两个三角形全等（简写成“sss“） 2两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“sas“） 3两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“asa“） 4两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“aas“） 而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上 4 种判别方法外，还可以应用“斜 边、直角边“，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“hl“）也就 是说“斜边、直角边“是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角 三角形全等 三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形 有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等 与未知的结论联系起来那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？ 例 1 已知：如图 1，ceab 于点 e，bdac 于点 d，bd、ce 交于点 o，且 ao 平分bac那 么图中全等的三角形有_对 分析：由 ceab，bdac，得aeo=ado=90o由 ao 平分bac，得eao=dao 又ao 为公共边，所以aeoado所以 eo=do，ae=ad又beo=cdo=90o， boe=cod，所以boecod由 ae=ad，aeo=ado=90o，bac为公 共角，所以eacdao所以ab=ac又 eao=dao， ao 为公共边，所以aboaco 图 1 所以图中全等的三角形一共有4对 （2）条件不足，会增加条件用判别方法 例 2 如图 2，已知 ab=ad，1=2，要使abcade，还需添加的条件是（只需填一 个）_ 分析：要使abcade，注意到1=2， 所以1+dac=2+dac，即bac=eac 要使abcade，根据sas可知只需ac=ae 图 2 即可；根据 asa 可知只需b=d；根据 aas 可知只需c=e故可添加的条件是 ac=ae 或 b=d 或c=e （3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法 例3 已知：如图 3，ab=ac，1=2 求证：ao 平分bac 分析：要证ao 平分bac，即证bao=bco， 要证bao=bco，只需证bao 和bco所在的两 个三角形全等而由已知条件知，只需再证明 bo=co即可 证明：连结bc 因为ab=ac，所以abcacb 因为1=2，所以abc-1acb-2 图 3 即3=4，所以 bo=co 因为ab=ac，bo=co，ao=ao， 所以aboaco 所以bao=cao，即 ao平分bac （4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法 例4 已知：如图 4，在 rtabc 中，acb=90o，ac=bc，d为 bc的中点，cead 于 e，交ab 于f，连接df 求证：adc=bdf 证明：过b作 bgbc 交 cf延长线于 g， 所以bgac所以g=ace因为acbc， cead，所以ace=adc所以g=adc 因为ac=bc，acdcbg=90o，所以 图 4 acdcbg所以 bg=cd=bd因为cbf=gbf=45o，bf=bf，所以gbfdbf所以 g=bdf所以adcbdf所以adcbdf （5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法 例5 要在湖的两岸a、b间建一座观赏桥，由于条件 限制，无法直接度量a，b 两点间的距离请你用学过的数 学知识按以下要求设计一测量方案 (1)画出测量图案 (2)写出测量步骤（测量数据用字母表示） 图 5 (3)计算 a、b的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示） 分析：可把此题转化为证两个三角形全等第(1)题，测量图案如图 5 所示第(2)题， 测量步骤：先在陆地上找到一点 o，在 ao 的延长线上取一点 c，并测得 oc=oa，在 bo的延长 线上取一点 d，并测得 od=ob，这时测得 cd 的长为，则 ab 的长就是第(3)题易证 aobcod，所以ab=cd，测得cd的长即可得 ab的长 解：(1)如图 6 示 (2)在陆地上找到可以直接到达 a、b 的一点 o，在 ao的延长线上取一点 c，并测得 oc oa，在bo 的延长线上取一点 d，并测 图 6 得odob，这时测出 cd 的长为，则ab 的长就是 (3)理由：由测法可得 oc=oa，od=ob 又cod=aob，codaob cd=ab= 专题二 角的平分线 从一个角的顶点出发，把一个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线角 的平分线有着重要的作用，它不仅把角分成相等的两部分，而且角的平分线上的点到角两 边的距离相等，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，再加上角的平分线所 在的直线是角的对称轴因此当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段 或角相等，或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路 （1）利用角的平分线的性质证明线段或角相等 例7 已知：如图 21，abc中，bd=cd，12 求证：ad 平分bac 证明：过d作 deab 于 e，dfac 于 f 图 21 在bed与cfd 中，12，bedcfd，bd=cd， bedcfd(aas) dedf，ad 平分bac 说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后 根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等 （2）利用角的平分线构造全等三角形 过角平分线上一点作两边的垂线段 例8 如图 22，abcd，e为ad上一点，且 be、ce分别平分abc、bcd 求证：ae=ed 分析：由于角平分线上一点到角的两边的距离相等，而点 e 是两条角平分线的交点，因 此我们自然想到过点e分别作 ab、bc、cd的垂线段 证明：过点 e 作 efab，交 ba 的延长线于点 f，作 egbc，垂足为 g，作 ehcd，垂 足为h be 平分abc，efab，egbc， ef=eg同理 eg =ehef=eh abcd，fae=d efab，ehcd，afe=dhe=90o 图 22 在afe和dhe 中，afe=dhe，ef=eh，fae=d afedheae=ed 以角的平分线为对称轴构造对称图形 例9 如图 23，在abc中，ad平分bac，c=2b 求证：ab=ac+cd 分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在 ab 上截取 ae=ac，连接 de，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段 ab 分成 ae 和 be 两段，只需证明 be=cd 就可以了 证明：在ab 上截取 ae=ac，连接de ad 平分bac，ead=cad 图 23 在ead和cad 中，ead=cad，ad=ad，ae=ac， eadcadaed=c，cd=de c=2b，aed=2b aed=b+ebd，b=edb be=edbe=cd ab=ae+be，ab=ac+cd 延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线 例10 如图24，在abc 中，ad 平分bac，cead 于 e 求证：ace=b+ecd 分析：注意到 ad 平分bac，cead，于是可延长 ce 交 ab 于点 f，即可构造全等三角 形 证明：延长ce 交 ab 于点 f ad 平分bac，fae=cae cead，fea=cea=90o 在fea和cea 中， fae=cae，ae=ae，fea=cea 图 24 feaceaace=afe afe=b+ecd，ace=b+ecd （3）利用角的平分线构造等腰三角形 如图25，在abc中，ad平分bac，过点 d作 deab，de 交 ac 于点e易证aed 是等腰三角形 因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线， 构造等腰三角形 图 25 例11 如图26，在abc 中，ab=ac，bd平分abc，debd 于 d，交 bc于点 e 求证：cd=be 分析：要证cd=be，可将be分成两条线段，然后再证明 cd与这两条线段都相等 证明：过