高中数学 第2章 推理与证明 2_2_2 间接证明知识导航 苏教版选修2-21

2.2.2 间接证明知识梳理 证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种不直接证明的方法通常称为_.如反证法，反证法的证明过程概括为：“_”“_” “_”“ _”， 即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.知识导学 在数学证明问题时，如果直接证明或正面证明不易证出或不易入手的情况下，可从反面证，用反证法来证，反证法的应用需要逆向思维，依据是互为逆否命题的等价性，即要证原命题成立，只需证逆否命题成立，用反证法证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等，反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形，学习时注意体会.疑难突破 反证法证明过程包括三个步骤剖析：(1)反设假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真.(2)归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理得出矛盾结果.(3)存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立，那么为什么这样证？其理论根据又是什么呢？用反证法证明的依据是互为逆否命题的等价性,即“若p则q”等价于“若q则p”成立，这里得出矛盾可以与某个已知条件矛盾，可以是与某个事实、定理、公理矛盾，也可以与自身相矛盾，反证法的使用范围是正面不太容易证,而反面好证的情况下，“存在性”“唯一性”“至多”“至少”等问题常用反证法.典题精讲【例1】 已知p3+q3=2，求证:p+q2.思路分析：本题的已知为三次式，且很难降次，虽然可分解为(p+q)(p2-pq+q2)=2，但还出现了我们不需要的二次式p2-pq+q2，所以正面很难入手，而所证的是一次式p+q，由一次式很容易升高次数，所以可用反证法.证明：假设p+q=t2,则p2-q.p3(2-q)3.p3+q3=2,p3+q3(2-q)3+q3=8-12q+6q2-q3+q3=8-12q+6q2=6(q-1)2+22.22与事实矛盾.绿色通道：在已知次数较高，而所证次数较低,正面解答不易时，可用反证法,注意反证法假设要全部否定结论.变式训练:设a、b都是整数，且a2+b2能被3整除.求证：a和b都能被3整除.证明：假设a、b中至少有一个不被3整除.不妨设a=3k+m(m=1或m=2且kZ),当b=3n(nZ),则a2+b2=(3k+m)2+(3n)2=9k2+6km+m2+9n2=3(3k2+2km+3n2)+m2.3(3k2+2km+3n2)能被3整除,m2不能被3整除,a2+b2不能被3整除,与已知矛盾.当b=3n+1(nZ)时,a2+b2=(3k+m)2+(3n+1)2=9k2+6km+m2+9n2+6n+1=3(3k2+2km+3n2+2n)+m2+1.m2+1不能被3整除，a2+b2不能被3整除,与已知矛盾.当b=3n+2(nZ)时,a2+b2=(3k+m)2+(3n+2)2=9k2+6km+m2+9n2+12n+4=3(3k2+2km+3n2+4n)+m2+4.m2+4不能被3整除，a2+b2不能被3整除,与已知矛盾.综上,可知a和b都能被3整除.【例2】 证明是无理数.思路分析：无理数的概念是不是有理数的数,所以正面不易说明.若假设是有理数得出矛盾就能说明不是有理数，而是无理数.证明：假定是有理数，则可设，其中p、q为互质的正整数.2=,即q2=2p2.q2是偶数.q也是偶数.设q=2m(m为整数),则4m2=2p2.p2=2m2.p2是偶数.p也是偶数.p、q都是偶数，有公因数2,与p、q互为质数矛盾.假设是有理数不成立.是无理数.绿色通道：在证明“不是”或“没有”等否定性命题时常用反证法.变式训练:求证：正弦函数没有比2小的正周期.证明：假设正弦函数y=sinx有比2小的正周期T，(0T2),则sin(x+T)=sinx,对于任意x都成立,x=0时，sinT=0.T=.sin(x+)=sinx.但当x=时,sin(+)=-1,sin=1,sin(x+)sinx,与sin(x+)=sinx矛盾.正弦函数没有比2小的正周期.【例3】 已知a、b、c、dR,且a+b=c+d=1,ac+bd1.求证：a、b、c、d中至少有一个是负数.思路分析：本题要证a、b、c、d中至少有一个是负数,具体有一个负数？两个负数？三个负数？还是四个负数？都有可能，谁是负数也都有可能.所以正面证明很复杂,对于“至多”“至少”性问题可用反证法.证明：假设a、b、c、d都不是负数,即a0,b0,c0,d0.a+b=c+d=1,b=1-a0,d=1-c0.ac+bd=ac+(1-a)(1-c)=2ac-(a+c)+1=(ac-a)+(ac-c)+1=a(c-1)+c(a-1)+1.a(c-1)0,c(a-1)0,a(c-1)+c(a-1)+11,即ac+bd1.与ac+bd1相矛盾.假设不成立.a、b、c、d中至少有一个是负数.绿色通道：对于“至多”“至少”类命题的证明，常用反证法.变式训练:已知a、b、c(0,1),求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于.证法一：假设三式同时大于,即b-ab,c-bc,a-ac.相乘得a(1-a)b(1-b)c(1-c).又a、b、c(0,1),a(1-a),b(1-b),c(1-c),a(1-a)b(1-b)c(1-c).矛盾，假设不成立，即(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于.证法二：假设三式同时大于.0a1,1-a0,.同理,.三式相加得矛盾,假设不成立.(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于.问题探究问题：1，2能否为同一等差数列中的三项？导思：有些问题在不定性或结论不确定时，我们可进行探索性研究，可从正面研究.若正面不易研究，再从反面研究，或假设成立会导致什么结果，或举反例否定，从而确定答案，下结论.探究：目前等差数列是谁不知道，无法正面验证，只能从反面假设，是同一等差数列中的三项，得出矛盾说明假设错误，原结论正确；得不出矛盾