高中数学 第一章 导数及其应用 1_3 导数在研究函数中的应用教材习题点拨 新人教a版选修2-21

我们在这里，召开私营企业家联谊会，借此机会，我代表成都市渝中工商局、渝中区私营企业协会，祝各位领导新年快乐、工作愉快、身体健康，祝各位企业家事业兴旺高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用教材习题点拨 新人教A版选修2-2教材问题解答(问题)如果在某个区间内恒有f(x)0，那么函数f(x)有什么特征？答：如果在某个区间上恒有f(x)0，那么函数f(x)在这个区间上是常数函数(思考)请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考某个区间上函数yf(x)的平均变化率的几何意义与其导数正负的关系答：函数yf(x)的平均变化率的几何意义是经过(x1，f(x1)，(x2，f(x2)两点直线的斜率当导数为正值时，函数单调递增，平均变化率0；当导数为负值时，函数单调递减，平均变化率0.(问题)如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？运算过程麻烦吗？你有什么体会？答：如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，也可以求解本题，但运算过程相对麻烦，有时需要变形的很多技巧，特别是判断三次的多项式函数的单调性时，这种方法不是一种简便的方法，导数是研究函数单调性的工具，其方法具有普适性、通用性练习11解：(1)因为f(x)x22x4，所以f(x)2x2.当f(x)0，即x1时，函数f(x)x22x4单调递增；当f(x)0，即x1时，函数f(x)x22x4单调递减(2)因为f(x)exx，所以f(x)ex1.当f(x)0，即x0时，函数f(x)exx单调递增；当f(x)0，即x0时，函数f(x)exx单调递减(3)因为f(x)3xx3，所以f(x)33x2.当f(x)0，即1x1时，函数f(x)3xx3单调递增；当f(x)0，即x1或x1时，函数f(x)3xx3单调递减(4)因为f(x)x3x2x，所以f(x)3x22x1.当f(x)0，即x1或x时，函数f(x)x3x2x单调递增；当f(x)0，即x1时，函数f(x)x3x2x单调递减2解：如图所示点拨：图象形状不唯一3解：因为f(x)ax2bxc(a0)，所以f(x)2axb.(1)若a0，f(x)0，即x时，函数f(x)ax2bxc(a0)单调递增；f(x)0，即x时，函数f(x)ax2bxc(a0)单调递减(2)若a0，f(x)0，即x时，函数f(x)ax2bxc(a0)单调递增；f(x)0，即x时，函数f(x)ax2bxc(a0)单调递减4证明：因为f(x)2x36x27，所以f(x)6x212x.当x(0,2)时， f(x)6x212x0，因此函数f(x)2x36x27在(0,2)内是减函数练习21解：x2，x4是函数的极值点，其中xx2是函数yf(x)的极大值点， xx4是函数yf(x)的极小值点2解：(1)因为f(x)6x2x2，所以f(x)12x1.令f(x)12x10，得x.当x时，f(x)0，f(x)单调递增；当x时，f(x)0，f(x)单调递减所以，当x时，f(x)有极小值，并且极小值为f622.(2)因为f(x)x327x，所以f(x)3x227.令f(x)3x2270，得x3或x3.下面分两种情况讨论：当f(x)0，即x3或x3时；当f(x)0，即3x3时当x变化时， f(x), f(x)变化情况如下表：x(，3)3(3,3)3(3，)f(x)00f(x)单调递增54单调递减54单调递增因此，当x3时，f(x)有极大值，并且极大值为54；当x3时，f(x)有极小值，并且极小值为54.(3)因为f(x)612xx3，所以f(x)123x2.令f(x)123x20，得x2或x2.下面分两种情况讨论：当f(x)0，即2x2时；当f(x)0，即x2或x2时当x变化时，f(x), f(x)变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)单调递减10单调递增22单调递减因此，当x2时，f(x)有极小值，并且极小值为10；当x2时，f(x)有极大值，并且极大值为22.(4)因为f(x)3xx3，所以f(x)33x2.令f(x)33x20，得x1或x1.下面分两种情况讨论：当f(x)0，即1x1时；当f(x)0，即x1或x1时当x变化时，f(x), f(x)变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)单调递减2单调递增2单调递减因此，当x1时，f(x)有极小值，并且极小值为2；当x1时，f(x)有极大值，并且极大值为2.练习3解：(1)我们知道，在1,2上，函数f(x)6x2x2无极大值和极小值因为f(1)3，f(2)20，所以函数f(x)6x2x2在1,2上的最大值是20，最小值是3.(2)我们知道，在3,3上，函数f(x)x327x无极大值和极小值因为f(3)54，f(3)54，所以函数f(x)x327x在3,3上的最大值是54，最小值是54.(3)我们知道，在上，函数f(x)612xx3无极大值和极小值因为f，f(1)17，所以函数f(x)612xx3在上的最大值是17，最小值是.(4)我们知道，在1,2上，函数f(x)3xx3无极大值和极小值因为f(1)2，f(2)2，所以函数f(x) 3xx3在1,2上的最大值是2，最小值是2.习题1.3A组1解：(1)因为f(x)2x1，所以f(x)20.因此，函数f(x)2x1是单调递减函数(2)因为f(x)xcos x，x，所以f(x)1sin x0, x.因此，函数f(x)xcos x，x是单调递增函数(3)因为f(x)2x4，所以f(x)20.因此，函数f(x)2x4是单调递减函数(4)因为f(x)2x34x，所以f(x)6x24.由于f(x)6x240，因此函数f(x)2x34x是单调递增函数2解：(1)因为f(x)x22x4，所以f(x)2x2.当f(x)0，即x1时，函数f(x)x22x4单调递增；当f(x)0，即x1时，函数f(x)x22x4单调递减(2)因为f(x)2x23x3，所以f(x)4x3.当f(x)0，即x时，函数f(x)2x23x3单调递增；当f(x)0，即x时，函数f(x)2x23x3单调递减(3)因为f(x)3xx3，所以f(x)33x20.因此，函数f(x)3xx3是单调递增函数(4)因为f(x)x3x2x，所以f(x)3x22x1.当f(x)0，即x或x1时，函数f(x)x3x2x单调递增；当f(x)0，即1x时，函数f(x)x3x2x单调递减3解：(1)(2)加速度为0.4解：(1)在xx2处，导函数y f(x)有极大值；(2)在xx1和xx4处，导函数y f(x)有极小值；(3)在xx3处，函数yf(x)有极大值；(4)在xx5处，函数yf(x)有极小值5解：(1)因为f(x)6x2x2，所以f(x)12x1.令f(x)12x10，得x.当x时，f(x)0,f(x)单调递增；当x时，f(x)0,f(x)单调递减所以，当x时，f(x)有极小值，并且极小值为f622.(2)因为f(x)x312x，所以f(x)3x212.令f(x)3x2120，得x2或x2.下面分两种情况讨论：当f(x)0，即x2或x2时；当f(x)0，即2x2时当x变化时， f(x), f(x)变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)单调递增16单调递减16单调递增因此，当x2时，f(x)有极大值，并且极大值为16；当x2时，f(x)有极小值，并且极小值为16.(3)因为f(x)612xx3，所以f(x)123x2.令f(x)123x20，得x2或x2.当x变化时，f(x), f(x)变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)单调递增22单调递减10单调递增因此，当x2时，f(x)有极大值，并且极大值为22；当x2时，f(x)有极小值，并且极小值为10.(4)因为f(x)48xx3，所以f(x)483x2.令f(x)483x20，得x4或x4.下面分两种情况讨论：当f(x)0，即4x4时；当f(x)0，即x4或x4时当x变化时，f(x), f(x)变化情况如下表：x(，4)4(4,4)4(4，)f(x)00f(x)单调递减128单调递增128单调递增因此，当x4时，f(x)有极小值，并且极小值为128；当x4时，f(x)有极大值，并且极大值为128.6解：(1)在1,1上，函数f(x)6x2x2有极小值f()3，由于f(1)7，f(1)9，所以f(x)6x2x2在1,1上的最大值和最小值分别为9,3.(2)在3,3上，当x2时，函数f(x)x312x有极值，并且极大值为16；当x2时，函数f(x)x312x有极小值，并且极小值为16.又由于f(3)9，f(3)9，所以函数f(x)x312x的最大值和最小值分别为16，16.(3)我们知道，在上，函数f(x)612xx3无极大值和极小值由于f，f(1)5，所以函数f(x)612xx3在上的最大值和最小值分别为，5.(4)我们知道，当x4时， f(x)有极大值，并且极大值为128.又由于f(4)128，f(5)115，因此函数f(x)48xx3在4,5上的最大值和最小值分别为128，128.B组1证明：(1)设f(x)sin xx，x(0，)，因为f(x)cos x10，x(0，)，所以f(x)sin xx在x(0，)内单调递减，因此f(x)sin xxf(0)0，x(0，)，即sin xx，x(0，)(2)设f(x)xx2，x(0,1)，因为f(x)12x，x(0,1)，所以当x时，f(x)12x0，f(x)单调递增，f(x)xx2f(0)0；当x时， f(x)12x0，f(x)单调递减， f(x)xx2f(1)0，又f0，因此，xx20，x(0,1)(3)设f(x)ex1x，x0，因为f(x)ex1, x0，所以，当x0时，f(x) ex10，f(x)单调递增，f(x)ex1xf(0)0；当x0时，f(x)ex10，f(x)单调递减， f(x)ex1xf(0)0.综上，ex1x，x0.(4)设f(x)ln xx，x0，因为f(x)1，所以，当0x1时，f(x)10，f(x)单调递增，f(x)ln xxf(1)10；当x1时，f(x)10，f(x)单调递减， f(x)ln xxf(1)10；当x1时，显然ln 11.因此ln xx.由(3)可知，ex1xx，x0.综上，ln xxex, x0.2解：(1)函数f(x)ax3bx2cxd的图象大致是个“双峰”图象若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间(2)因为f(x)ax3bx2cxd，所以f(x)3ax22bxc.下面分类讨论：当a0时，分a0和a0两种情形：当a0且b23ac0时，设方程f(x)3ax22bxc0的两根分别为x1，x2，且x1x2，当f(x)3ax22bxc0，即xx2或xx1时，函数f(x)ax3bx2cxd单调递增；当f(x)3ax22bxc0，即x1xx2时，函数f(x)ax3bx2cxd单调递减当a0且b23ac0时，此时f(x)3ax22bxc0，函数f(x)ax3bx2cx