高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第48课 直线与椭圆的位置关系教师用书

为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争第48课 直线与椭圆的位置关系最新考纲内容要求ABC直线与椭圆的位置关系1直线与椭圆的位置关系将直线方程与椭圆方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元二次方程：ax2bxc0(或ay2byc0)考虑一元二次方程的判别式，有(1)0直线与椭圆相交；(2)0直线与椭圆相切；(3)0直线与椭圆相离2弦长公式设斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB|x1x2|y1y2|.1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是直线l与椭圆C只有一个公共点()(2)过1(ab0)焦点的直线xc交曲线于A，B两点，则AB.()(3)直线ykx(k0)与椭圆1(ab0)交于不同的A，B两点，F是椭圆的右焦点，则SABF的最大值为bc.()(4)直线yk(x1)1与椭圆1的位置关系随k的变化而变化()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)若斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，则AB的最大值为_设直线l的方程为yxt，代入y21得x22txt210，由题意得(2t)25(t21)0，即t2b0)过点F2(1,0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长AB3，点A必在椭圆上，1.又由c1，得1b2a2.由联立，得b23，a24.故所求椭圆C的方程为1.5若椭圆1中过点P(1,1)的弦恰好被P平分，则此弦所在直线的方程是_x2y30设弦的两个端点分别为(x1，y1)，(x2，y2)则得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.又x1x22，y1y22.即所求直线的方程为y1(x1)，即x2y30.定点问题椭圆C：1(ab0)的离心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为.(1)求椭圆C的标准方程(2)若直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左、右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标解(1)因为左焦点(c,0)到点P(2,1)的距离为，所以，解得c1.又e，解得a2，所以b2a2c23.所以所求椭圆C的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得(34k2)x28mkx4(m23)0，64m2k216(34k2)(m23)0，化为34k2m2.所以x1x2，x1x2.y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点D(2,0)，kADkBD1，所以1，所以y1y2x1x22(x1x2)40，所以40.化为7m216mk4k20，解得m12k，m2.且满足34k2m20.当m2k时，l：yk(x2)，直线过定点(2,0)与已知矛盾；当m时，l: yk，直线过定点.综上可知，直线l过定点.规律方法定点问题的求解策略(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意变式训练1已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F(1,0)，右顶点为A，且AF1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动直线l：ykxm与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x4交于点Q，问：是否存在一个定点M(t,0)，使得0.若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 【导学号：62172265】图481解(1)由c1，ac1，得a2，b，故椭圆C的标准方程为1.(2)由消去y得(34k2)x28kmx4m2120，64k2m24(34k2)(4m212)0，即m234k2.设P(xp，yp)，则xp，ypkxpmm，即P.M(t,0)，Q(4,4km)，(4t,4km)，(4t)(4km)t24t3(t1)0恒成立，故即t1.存在点M(1,0)符合题意.定值问题(2017南京模拟)已知椭圆1(ab0)的离心率e，一条准线方程为x2.过椭圆的上顶点A作一条与x轴、y轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P，P关于x轴的对称点为Q.图482(1)求椭圆的方程；(2)若直线AP，AQ与x轴交点的横坐标分别为m，n，求证：mn为常数，并求出此常数. 【导学号：62172266】解(1)因为，2，所以a，c1，所以b1.故椭圆的方程为y21.(2)法一：设P点坐标为(x1，y1)，则Q点坐标为(x1，y1)因为kAP，所以直线AP的方程为yx1.令y0，解得m.因为kAQ，所以直线AQ的方程为yx1.令y0，解得n.所以mn.又因为(x1，y1)在椭圆y21上，所以y1，即1y，所以2，即mn2.所以mn为常数，且常数为2.法二：设直线AP的斜率为k(k0)，则AP的方程为ykx1，令y0，得m.联立方程组消去y，得(12k2)x24kx0，解得xA0，xP，所以yPkxP1，则Q点的坐标为.所以kAQ，故直线AQ的方程为yx1.令y0，得n2k，所以mn(2k)2.所以mn为常数，常数为2.规律方法圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得变式训练2(2017扬州期中)如图483，已知椭圆C：1(ab0)，离心率为.过原点的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不是椭圆C的顶点)点D在椭圆C上，且ADAB.图483(1)若椭圆C的右准线方程为：x4，求椭圆C的方程；(2)设直线BD，AB的斜率分别为k1，k2，求的值解(1)解得b23，椭圆方程为1.(2)法一：设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则B(x1，y1)A，D在椭圆上，(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.kADkBD0，e，k1.ADAB，k2，.法二：设A(x0，y0)，D(x1，y1)，则B(x0，y0)则kADkBD，下同法一.最值(范围)问题已知椭圆y21上两个不同的点A，B关于直线ymx对称图484(1)求实数m的取值范围；(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点)解(1)由题意知m0，可设直线AB的方程为yxb.由消去y，得x2xb210.因为直线yxb与椭圆y21有两个不同的交点，所以2b220.将线段AB中点M代入直线方程ymx解得b.由得m.故m的取值范围是.(2)令t，则AB.且O到直线AB的距离为d.设AOB的面积为S(t)，所以S(t)ABd，当且仅当t2，即m时，等号成立故AOB面积的最大值为.规律方法解决圆锥曲线中的取值范围问题的5种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围变式训练3(2017常州模拟)已知圆x2y21过椭圆1(ab0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l：ykxm与圆x2y21相切，与椭圆1相交于A，B两点记，且.(1)求椭圆的方程；(2)求k的取值范围；(3)求OAB的面积S的取值范围解(1)由题意知2c2，所以c1.因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而b1，故a，所以所求椭圆方程为y21.(2)因为直线l：ykxm与圆x2y21相切，所以原点O到直线l的距离为1，即m2k21.由得(12k2)x24kmx2m220.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m2，由，得k21，即k的取值范围是.(3)AB2(x1x2)2(y1y2)2(1k2)(x1x2)24x1x22，由k21，得AB.设OAB的AB边上的高为d，则d1，则SABdAB，所以S.即OAB的面积S的取值范围是.思想与方法1有关弦的三个问题涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解2圆锥曲线中常见最值问题及解题方法(1)两类最值问题：涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时与之相关的一些问题(2)两种常见解法：几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解易错与防范1求范围问题要注意变量自身的范围2中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证0或说明中点在曲线内部3解决定值、定点问题，不要忘记特值法课时分层训练(四十八)A组基础达标(建议用时：30分钟)1如图485，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)过点A(2,1)，离心率为.图485(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：ykxm(k0)与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且ABAC，求直线l的方程. 【导学号：62172267】解(1)由条件知椭圆1(ab0)的离心率为e，所以b2a2c2a2.又点A(2,1)在椭圆1(ab0)上，所以1，解得所以，所求椭圆的方程为1.(2)将ykxm(k0)代入椭圆方程，得x24(kxm)280，整理得(14k2)x28mkx4m280.由线段BC被y轴平分，得xBxC0，因为k0，所以m0.因为当m0时，B，C关于原点对称，设B(x，kx)，C(x，kx)，由方程，得x2，又因为ABAC，A(2,1)，所以(x2)(x2)(kx1)(kx1)5(1k2)x250，所以k.由于k时，直线yx过点A(2,1)，故k不符合题设所以，此时直线l的方程为yx. 2已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线ykx1与曲线C交于A，B两点，求OAB面积的取值范围解(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，由条件可得a2，c，b1，故椭圆C的方程x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k24)x22kx30，故x1x2，x1x2.设OAB的面积为S，由x1x20，yt在t3，)上单调递增，t，0b0)过点P，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点若直线l过椭圆C的右焦点，记ABP三条边所在直线的斜率的乘积为t，求t的最大值；若直线l的斜率为，试探究OA2OB2是否为定值？若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由. 【导学号：62172268】解(1)1，得a24，b23.所以椭圆C：1.(2)设直线l的方程为xmy1，直线l与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由化简得(3m24)y26my90，易知0，所以y1y2，y1y2，所以kAPkBP，所以tkABkAPkBP2，所以当m时，t有最大值.设直线l的方程为yxn，直线l与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，得3x22nx2n260，(2n)243(2n26)0，即n.x1x2，x1x2，OA2OB2xyxy(xx)(yy)xx22(xx)n(x1x2)2n2(x1x2)2x1x2n(x1x2)2n22n2n27.所以当直线l的斜率为时，OA2OB2为定值7.2(2017泰州期末)如图486，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2y24，椭圆C：y21，A为椭圆右顶点过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中D.设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2.图486(1)求k1k2的值；(2)记直线PQ，BC的斜率分别为kPQ，kBC，是否存在常数，使得kPQkBC？若存在，求值；若不存在，说明理由；(3)求证：直线AC必过点Q.解(1)设B(x0，y0)，则C(x0，y0)，y1，A(2,0)，所以k1k2.(2)联立得(1k)x24kx4(k1)0，解得xp，ypk1(xp2)