中考数学 第一部分 中考基础复习 第三章 函数 第4讲 二次函数复习课件

第4讲 二次函数 1.通过对实际问题情境的分析，体会二次函数的意义. 2.会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象了解二次 函数的性质. 3.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为 ya(x h)2 k(a0)的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐 标、开口方向， 画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题. 4.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 知识点内容 二次函数的定义 形如 yax2 bxc(a，b，c 是常数，a0)的函 数，叫做二次函数 二次函数的 图象和性质 图象 开口向上向下 对称轴 顶点坐标 知识点内容 二次函数的 图象和性质 增减性 最值 (续表) 知识点内容 系数 a，b， c 和的符号 与几何意义 系数 a a 的符号决定抛物 线的开口方向 当 a0 时，抛物线开口向 上； 当 a0 时，抛物线开口向 下 系数 c c 的符号决定抛物 线与 y 轴的交点在 正半轴或负半轴或 原点 当 c0 时，抛物线与 y 轴 的交点在正半轴上； 当 c0 时，抛物线经过 原 点； 当 c0 时，抛物线与 y 轴 的交点在负半轴上 (续表) (续表) 知识点内容 系数a，b，c 和的符号 与几何意义 系数 a，b a，b的符号决定对 称轴的位置 当a，b同号，对称轴在y轴左边 ； 当b0时，对称轴为 y轴； 当a，b异号，对称轴在y轴右边 ax2bxc0 (a0)的根的个数 b24ac0，两个不相等的实 数根； b24ac0，两个相等的实数 根； b24ac0，不存在实数根 抛物线yax2bx c(a0)与x轴的 交点个数 b24ac0，有两个交点； b24ac0，有一个交点； b24ac0，有零个交点 知识点内容 二次函数的 解析式 用待定系数 法求二次函 数的解析式 (1)已知抛物线上的三点，选一般式yax2 bxc(a0); (2)已知顶点或对称轴、最大(小)值，选顶 点 式ya(xh)2k(a0); (3)已知抛物线与x轴的两个交点，选交点式y a(xx1)(xx2)(a0) 二次函数的 平移与解析 式的关系 yax2的图象 ya(xh)2的图象 ya(xh)2k的图象 (续表) 知识点内容 二次函数的 综合运用 (1)从实际问题 中抽象出二次函数，并能利用二次函数的 最 值公式解决实际问题 中的最值问题 . (2)二次函数综合几何图形，要充分抓住几何图形的特点并 结合二次函数图象的特点才能有效解决问题 .二次函数综 合动点问题 ，要弄清楚在动的过程中，什么变了，什么 没 变，动中求静才能有效解决问题 (续表) 二次函数的图象和性质 例：(2016 年天津)已知二次函数 y(xh)21(h 为常数)， 在自变量 x 的值满足 1x3 的情况下，与其对应的函数值 y 的最小值为 5，则 h 的值为( A.1 或5 C.1 或3 ) B.1 或 5 D.1 或 3 思路分析由解析式可知该函数在 xh 时取得最小值 1、 xh 时，y 随 x 的增大而增大、当 xh 时，y 随 x 的增大而减 小，根据 1x3 时，函数的最小值为 5 可分两种情况：若 h1x3，当 x1 时，y 取得最小值 5；若 1x3h， 当 x3 时，y 取得最小值 5，分别列出关于 h 的方程求解即可. 解析：当 xh 时，y 随 x 的增大而增大，当xh 时，y 随 x 的增大而减小， 若 h1x3，x1 时，y 取得最小值 5. 可得(1h)215.解得 h1 或 h3(舍去)； 若 1x3h，当 x3 时，y 取得最小值 5. 可得(3h)215，解得 h5 或 h1(舍去). 综上所述，h 的值为1 或 5. 答案：B 名师点评本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二 次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键. 【试题精选】 1.二次函数 yax2bxc(a0)的图象如图 3-4-1，下列结 论：b24ac0；4ac2b；(ac)2b2；ax2bx ab.其中结论正确的是_. 图 3-4-1 答案： 2.二次函数 yx22x3 的图象如图 3-4-2，下列说法中错 误的是() 图 3-4-2 A.函数图象与 y 轴的交点坐标是(0，3) B.顶点坐标是(1，3) C.函数图象与 x 轴的交点坐标是(3,0)，(1,0) D.当 x0 时，y 随 x 的增大而减小 答案：B 解析：二次函数 y(x1)25 的大致图象如下： 图 D13 当m0xn1时，当xm时y取最小值， 即2m(m1)25， 解得m2. 当xn时，y取最大值，即2n(n1)25， 解得n2或n2(均不合题意，舍去)； 当m0x1n时，当xm时y取最小值， 即2m(m1)25， 解得m2. 当x1时，y取最大值，即2n(11)25， 故选 D. 答案：D 确定二次函数的关系式 4. 若抛物线 y ax2bx c 的顶点是 A(2,1) ，且经过点 B(1,0)，则抛物线的函数关系式为 y_. 答案：x24x3 5.抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴交于 A(4,0)，B(2,0)， 与 y 轴交于点 C(0,2).求抛物线的解析式. 解：设这条抛物线的解析式为 ya(x4)(x2)， 根据题意，得 2a(04)(02). 6.(2016年内蒙古)已知抛物线yx2bxc经过点 A(3,0)，B(1,0). (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标. 解：(1)抛物线 yx2bxc 经过点 A(3,0)，B(1,0)， 抛物线解析式为yx22x3. (2)yx22x3(x1)24， 抛物线的顶点坐标为(1,4). 7.(2016 年四川内江)如图3-4-3，已知二次函数 yax2bx c 的图象过 A(2,0)，B(0，1)和 C(4,5)三点. (1)求二次函数的解析式； (2)设二次函数的图象与 x 轴的另一 个交点为 D，求点 D 的坐标； (3)在同一坐标系中画出直线 yx1， 并写出当 x 在什么范围内时，一次函数的 值大于二次函数的值？图 3-4-3 解：(1)二次函数的图象过 B(0，1)， 二次函数解析式为 yax2bx1. 二次函数的图象过 A(2,0)和 C(4,5)两点， 解得 x2 或 x1. D(1,0). (3)如图 D14，当1x4 时，一次函数的值大于二次函 数的值. 图 D14 解题技巧(1) 当已知抛物线上三点求二次函数的解析式 时，一般采用一般式yax2bxc(a0)； (2)当已知抛物线顶点坐标(或对称轴或最大、最小值)求解 析式时，一般采用顶点式ya(xh)2k； (3)当已知抛物线与 x 轴的交点坐标求二次函数的解析式 时，一般采用两根式ya(xx1)(xx2). 二次函数的综合运用 8.(2016 年福建)已知抛物线 y(xm)2(xm)，其中 m 是 常数. (1)求证：不论 m 为何值，该抛物线与 x 轴一定有两个公共 点； 求该抛物线的函数解析式； 把该抛物线沿 y 轴向上平移多少个单位长度后，得到的 抛物线与 x 轴只有一个公共点？ 该抛物线的函数解析式为yx25x6； 设把该抛物线沿y轴向上平移n个单位长度， 则yx25x6n. 抛物线yx25x6n与x轴只有一个公共点， 1.(2014 年广东)二次函数 yax2bxc(a0)的大致图象 )如图 3-4-4，关于该二次函数，下列说法错误的是( A.函数有最小值 图 3-4-4 D.当1x2 时，y0 答案：D 2.(2013年广东)已知二次函数yx22mxm21. (1)当二次函数的图象经过坐标原点 O(0,0)时，求二次函数 的解析式； (2)如图 3-4-5，当 m2 时，该抛物线与 y 轴交于点 C，顶点为点 D，求 C，D 两点的 坐标； (3)在(2)的条件下，x 轴上是否存在一点 P， 使得 PCPD 最短？若点 P 存在，求出点 P 的坐标；若点 P 不存在，请说明理由.图 3-4-5 解：(1)二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)， 代入二次函数yx22mxm21，得m210. 解得m1. 二次函数的解析式为yx22x或yx22x. (2)m2， 由二次函数yx22mxm21，得yx24x3(x2)21. 抛物线的顶点为D(2，1). 当x0时，y3.C点坐标为(0,3). C(0,3)，D(2，1). (3)如图 D15，当 P，C，D 共线时 PCPD 最短， 过点 D 作 DEy 轴于点 E， 图 D15 轴交于 A 点，过点 A 的直线与抛物线交于另一点 B，过点 B 作 BCx 轴，垂足为点 C(3,0). (1)求直线 AB 的函数关系式； (2)动点 P 在线段 OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度 向点 C 移动，过点 P 作 PNx 轴，交直线 AB 于点 M，交抛物 线于点 N.设点 P 移动的时间为 t 秒，MN 的长度为 s 个单位， 求 s 与 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围； (3)设在(2)的条件下(不考虑点 P 与点 O，点 C 重合的情况)， 连接 CM，BN，当 t 为何值时，四边形 BCMN 为平行四边形？ 问对于所求的 t 值，平行四边形 BCMN 是否菱形？请说明理由. 图 3-4-6 图 3-4-7 P(1,