高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语第2课 四种命题和充分必要条件教师用书

为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争第2课 四种命题和充分、必要条件最新考纲内容要求ABC命题的四种形式充分条件、必要条件、充分必要条件1四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系图21(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系2充分条件与必要条件(1)如果pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件(2)如果pq，那么p与q互为充分必要条件(3)如果pDq，且qDp，则p是q的既不充分又不必要条件3集合与充分必要条件设集合Ax|x满足条件p，Bx|x满足条件q，则有：(1)若AB，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件(2)若BA，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件(3)若AB，则p是q的充分必要条件1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)“x22x30”是命题()(2)命题“若p则q”的否命题是“若p，则非q”()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件()(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”()解析(1)错误该语句不能判断真假，故该说法是错误的(2)错误否命题既否定条件，又否定结论(3)正确q是p的必要条件说明pq，所以p是q的充分条件(4)正确原命题与逆否命题是等价命题答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)命题“若，则tan 1”的逆否命题是_若tan 1，则“若p则q”的逆否命题是“若非q，则非p”，显然非q：tan 1，非p：，所以该命题的逆否命题是“若tan 1，则”3(2016镇江期中)实系数一元二次方程ax2bxc0，则“ac0”是“该方程有实数根”的_条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分又不必要”)充分不必要一元二次方程ax2bxc0有实根，则判别式b24ac0，即b24ac.当ac0时，显然有b24ac；但b24ac未必推出ac0，故“ac0”是一元二次方程ax2bxc0有实根的充分不必要条件4命题“若a3，则a6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为_2原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a6，则a3”是假命题，从而其否命题也是假命题因此4个命题中有2个假命题5(2017南京三模)记不等式“x2x60”的解集为集合A，函数ylg(xa)的定义域为集合B.若“xA”是“xB”的充分条件，则实数a的取值范围为_(，3由x2x60得3x2，即Ax|3x0得xa，即Bx|xa“xA”是“xB”的充分条件，AB，a3.四种命题的关系及其真假判断(1)命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆否命题是_(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是_(填序号)真，假，真；假，假，真；真，真，假；假，假，假(1)若xy不是偶数，则x，y不都是偶数(2)(1)“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆否命题为“若xy不是偶数，则x，y不都是偶数”(2)由共轭复数的性质，原命题为真命题，因此其逆否命题也为真命题当z112i，z22i时，显然|z1|z2|，但z1与z2不共轭，所以逆命题为假命题，从而它的否命题也为假命题规律方法1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提2给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可3由于原命题与其逆否命题的真假性相同，所以有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假变式训练1(1)已知命题p：正数a的平方不等于0，命题q：若a不是正数，则它的平方等于0，则p是q的_(填“逆命题”“否命题”“逆否命题”或“否定”)(2)给出以下四个命题：“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若q1，则x2xq0有实根”的逆否命题；若ab是正整数，则a，b都是正整数其中真命题是_(写出所有真命题的序号)(1)否命题(2)(1)把命题p可改成“若a是正数，则它的平方不等于0”，显然q是p的否命题(2)的逆命题为：若x，y互为相反数，则xy0，显然是真命题；的否命题为：不全等的三角形的面积不相等，显然是假命题；若x2xq0有实根，则14q0，即q.故当q1时，方程x2xq0有实根是真命题，其逆否命题也是真命题；是假命题，如a2，b，则ab1.充分条件与必要条件的判断(1)函数f(x)在xx0处导数存在若p：f(x0)0；q：xx0是f(x)的极值点，则p是q的_条件. 【导学号：62172006】(2)(2017南通、扬州、泰州、淮安三调)给出下列三个命题：“ab”是“3a3b”的充分不必要条件；“”是“cos b”是“3a3b”的充要条件，故错误；由于，的范围不明确，故当时无法判断“cos ，cos ”的大小关系故错误；当a0时，f(x)x3是奇函数；反之由f(x)为奇函数可知a0，故正确规律方法充分条件、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据pq，qp进行判断，适用于定义、定理判断性问题(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题变式训练2(2017南昌调研)m1是直线mx(2m1)y10和直线3xmy90垂直的_条件充分不必要由直线mx(2m1)y10与3xmy90垂直可知3mm(2m1)0，m0或m1，m1是两直线垂直的充分不必要条件充分条件、必要条件的应用(典例迁移)已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m若xP是xS的必要条件，求m的取值范围. 【导学号：62172007】解由x28x200得2x10，Px|2x10xP是xS的必要条件，则SP，0m3.综上可知，当0m3时，xP是xS的必要条件迁移探究1本例条件不变，问是否存在实数m，使xP是xS的充要条件解由例题知Px|2x10若xP是xS的充要条件，则PS，即这样的m不存在迁移探究2本例条件不变，若非P是非S的必要不充分条件，求实数m的取值范围解由例题知Px|2x10非P是非S的必要不充分条件，P是S的充分不必要条件，PS且SDP，2,101m,1m，或m9，即m的取值范围是9，)规律方法充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解(2)要注意区间端点值的检验变式训练3(1)(2017徐州模拟)已知命题p：axa1，命题q：x24x0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是_(2)方程ax22x10(aR，a为常数)的解集只有一个负实根的充要条件是_(1)(0,3)(2)a0或a1(1)令Mx|axa1，Nx|x24x0x|0x4p是q的充分不必要条件，MN，解得0a0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是_若方程x2xm0没有实根，则m0根据逆否命题的定义，命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是“若方程x2xm0没有实根，则m0”2设，是两个不同的平面，m是直线且m.则“m”是“”的_条件必要不充分m，mD，但m，m，“m”是“”的必要不充分条件3“x1”是“x22x10”的_条件充分必要因为x22x10有两个相等的实数根，为x1，所以“x1”是“x22x10”的充分必要条件4已知a，b，c都是实数，则在命题“若ab，则ac2bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是_. 【导学号：62172008】2由abDac2bc2，但ac2bc2ab.所以原命题是假命题，它的逆命题是真命题从而否命题是真命题，逆否命题是假命题5“m”是“一元二次方程x2xm0有实数解”的_条件. 【导学号：62172009】充分不必要x2xm0有实数解等价于14m0，即m，因为mm，反之不成立故“m”是“一元二次方程x2xm0有实数解”的充分不必要条件6给出下列命题：“若a2b2，则a1，则ax22axa30的解集为R”的逆否命题；“若x(x0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题其中为真命题的是_(填序号)对于，否命题为“若a2b2，则ab”，为假命题；对于，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于，当a1时，12a4”是“a2且b2”的_条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)必要不充分当a2且b2时，ab4.但当a1，b6时，有ab74，故“ab4”是“a2且b2”的必要不充分条件8“sin cos ”是cos 20的_条件充分不必要cos 2cos2sin2，若sin cos ，则cos 20，反之不一定，如当cos sin 时也成立9命题“若a2b20，则a0且b0”的逆否命题是_. 【导学号：62172010】若a0或b0，则a2b20“若a2b20，则a0且b0”的逆否命题是“若a0或b0，则a2b20”10若xm1或xm1是x22x30的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_0,2由已知易得x|x22x30x|xm1或xm1，又x|x22x30x|x1或x3，或0m2.二、解答题11已知函数f(x)在(，)上是增函数，a，bR，对命题“若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)”(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论解(1)否命题：已知函数f(x)在(，)上是增函数，a，bR，若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)该命题是真命题，证明如下：因为ab0，所以ab，ba.又因为f(x)在(，)上是增函数所以f(a)f(b)，f(b)f(a)，因此f(a)f(b)f(a)f(b)，所以否命题为真命题(2)逆否命题：已知函数f(x)在(，)上是增函数，a，bR，若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0，设p：函数ycx在R上递减