中考数学 第一部分 中考基础复习 第四章 图形的认识 第4讲 圆 第1课时 圆的基本性质复习课件

第4讲 圆 第1课时 圆的基本性质 1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、 等弧的概念. 2.探索圆周角与圆心角及其所对的弧的关系. 3.了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它 所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90 的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补. 要点内容 圆的基 本概念 同心圆 圆心相同、半径不等的圆叫做同心圆 等圆能够重合的两个圆叫做等圆 半圆 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每 一条弧都叫做半圆 弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半 圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧 弦连接圆上任意两点的线段叫做弦 直径经过圆 心的弦叫做直径 弦心距 圆心到弦的距离叫做弦心距 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角 圆周角 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角 要点内容 垂径定理 及其推论 定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆 心，并且平分弦所对的两条 弧 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧 弧、弦、圆 心角之间 的关系 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所 对的弦也相等 推论 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对 的圆心角相等，所对的弦相等 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对 的圆心角相等，所对的弧相等 弧的度数等于它所对圆 心角的度数 (续表) 要点内容 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 推论 同弧或等弧所对的圆周角相等 半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所 对的弦是直径 圆内接四 边形 性质 圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的任意一 个外角等于它的内对角(和它相邻的内角的对角) (续表) 垂径定理及其应用 例 1：(2016 年湖北黄石)如图 4-4-1，O的半径为13，弦 )AB 的长度是 24，ONAB，垂足为 N，则 ON( 图 4-4-1 A.5B.7C.9D.11 思路分析根据O 的半径为13，弦AB 的长度是24，ON AB，可以求得AN 的长，从而可以求得ON 的长. 解：由题意，得 OA13，ONA90，AB24. 答案：A 【试题精选】 1.如图 4-4-2，在半径为 5 cm 的O 中，弦 AB6 cm，OC AB 于点 C，则 OC() 图 4-4-2 A.3 cmB.4 cmC.5 cmD.6 cm 答案：B 2.如图 4-4-3，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，若 AB8，CD6，则 BE_. 图 4-4-3 解题技巧垂径定理及其推论是证明两线段相等、两条弧 相等及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长的计算中常常 需要添加辅助线(半径或弦心距).利用垂径定理及其推论(“平 分弦”为条件时，弦不能是直径)，将其转化为直角三角形，应 用勾股定理计算. 圆心角、 圆周角、弦、弧间的关系 例 2：(2015 年浙江台州)如图 4-4-4，四边形 ABCD 内接于 O，点 E 在对角线 AC 上，ECBCDC. (1)若CBD39，求BAD 的度数； (2)求证：12. 图 4-4-4 解：(1)BCDC， CBDCDB39. BACCDB39，CADCBD39， BADBACCAD393978. (2)ECBC， CEBCBE. 而CEB2BAE，CBE1CBD， 2BAE1CBD. BAECBD， 12. 易错陷阱运用圆周角定理计算时，注意在同圆或等圆的 前提下，同弧或相等的弧所对的圆周角相等，正确找出弧和角 之间的关系是解题的关键. 【试题精选】 3.(2016 年浙江绍兴)如图 4-4-5，BD 是O 的直径，点 A， 图 4-4-5 A.60B.45C.35D.30 答案：D A.51B.56C.68D.78 答案：A 图 4-4-6 5.(2015 年广西柳州)如图 4-4-7，BC 是O 的直径，点 A )是O 上异于 B，C 的一点，则A 的度数为( 图 4-4-7 A.60B.70C.80D.90 答案：D )AOB40，则ADC 的度数是( 图 4-4-8 A.40B.30C.20D.15 答案：C 1.(2014 年广东)如图 4-4-9，在O 中，已知半径为 5，弦 AB 的长为 8，那么圆心 O 到 AB 的距离为_. 图 4-4-9 答案：3 2.(2012 年广东)如图 4-4-10，A，B，C 是O 上的三个点， ABC25，则AOC 的度数是_. 图 4-4-10 答案：50 3.(2016 年广东)如图 4-4-11，点 P 是四边形 ABCD 外接圆 O 上任意一点，且不与四边形顶点重合，若 AD 是O 的直 径，ABBCCD，连接 PA ，PB，PC，若 PA a，则点 A 到 PB 和 PC 的距离之和 AEAF_. 图 4-4-11 4.(2015 年广东)O 是ABC 的外接圆，AB 是直径，过 的中点 P 作O 的直径 PG 交弦 BC于点D，连接 AG，CP，PB. (1)如图 4-4-12(1)，若 D 是线段 OP 的中点，求BAC 的度 数； (2)如图 4-4-12(2)，在 DG 上取一点 K，使 DKDP，连接 CK，求证：四边形 AGKC 是平行四边形； (3)如图 4-4-12(3)，取 CP 的中点 E，连接 ED 并延长 ED 交 AB 于点 H，连接 PH，求证：PHAB. (1)(2)(3) 图 4-4-12 BOD60. AB 为O 直径，ACB90. ACBODB.ACPG. BACBOD60. (2)证明：由(1)知，CDBD. PDBKDC(SAS). CKBP，OPBCKD. AOGBOP，AGBP.AGCK. OPOB，OPBOBP. 又GOBP.GOPB.GCK