高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第42课 空间几何体的结构及其表面积与体积教师用书

为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争第42课 空间几何体的结构及其表面积与体积最新考纲内容要求ABC柱、锥、台、球及其简单组合体柱、锥、台、球的表面积与体积1空间几何体的结构特征(1)多面体棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形(2)旋转体圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到2柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR31(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积()(2)球的体积之比等于半径比的平方()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差()(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则Ra.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为_ cm.2S表r2rlr2r2r3r212，r24，r2(cm)3(2016全国卷改编)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_12设正方体棱长为a，则a38，所以a2.所以正方体的体对角线长为2，所以正方体外接球的半径为，所以球的表面积为4()212.4设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且，则的值是_设甲、乙两圆柱的底面半径分别为r1，r2，母线长分别为l1，l2，则由得.又两圆柱侧面积相等，即2r1l12r2l2，则，所以.5如图421，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3 cm，AA12 cm，则四棱锥ABB1D1D的体积为_cm3.图4216连结AC交BD于O，在长方体中，ABAD3，BD3且ACBD.又BB1底面ABCD，BB1AC.又DBBB1B，AC平面BB1D1D，AO为四棱锥ABB1D1D的高且AOBD.S矩形BB1D1DBDBB1326，VABB1D1DS矩形BB1D1DAO66(cm3)空间几何体的结构特征(1)下列说法正确的是_(填序号)有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形；有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台；棱台的各侧棱延长后不一定交于一点(2)以下命题：以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台其中正确的命题有_(填序号)(1)(2)(1)如图所示，可知错如图，当PD底面ABCD，且四边形ABCD为矩形时，则四个侧面均为直角三角形，正确根据棱台的定义，可知，不正确(2)由圆锥、圆台、圆柱的定义可知错误，正确对于命题，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，不正确规律方法1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可2圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系3因为棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略变式训练1下列结论正确的是_(填序号)各个面都是三角形的几何体是三棱锥；夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体；棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥；圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线如图知，不正确如图，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则不正确错误若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长由母线的概念知，选项正确空间几何体的表面积与体积(1)(2016苏锡常镇调研二)设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若，则的值为_. 【导学号：62172230】(2)在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为_(1)(2)(1)由题意可知V1a3，S16a2，V2r2r，S2r2，由得ar，所以.(2)过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示由于V圆柱AB2BC1222，V圆锥CE2DE12(21)，所以该几何体的体积VV圆柱V圆锥2.规律方法1.若所给定的几何体是柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解2若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法(转换的原则是使底面面积和高易求)、分割法、补形法等方法进行求解易错提醒：对于简单组合体的表面积计算，应首先搞清各构成部分，并注意重合部分的处理变式训练2(2017徐州模拟)设M，N分别为三棱锥PABC的棱AB，PC的中点，三棱锥PABC的体积记为V1，三棱锥PAMN的体积记为V2，则_.14N为棱PC的中点，VPABNV1，又M为棱AB的中点，则VAPMNVBPMNV1VPAMNV1，.多面体与球的切、接问题(2016全国卷改编)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是_由ABBC，AB6，BC8，得AC10，要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面ABC的内切圆的半径为r.则68(6810)r，则r2.此时2r43，不合题意因此球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径r最大由2r3，即r.故球的最大体积Vr3.迁移探究1若本例中的条件变为“直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB3，AC4，ABAC，AA112，求球O的表面积解将直三棱柱补形为长方体ABCEABCE，则球O是长方体ABCEABCE的外接球，体对角线BC的长为球O的直径因此2r13，故S球4r2169.迁移探究2若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积解如图，设球心为O，半径为r，则在RtAOF中，(4r)2()2r2，解得r，则球O的体积V球r33.规律方法1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题2若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题变式训练3已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为_. 【导学号：62172231】144如图，设球的半径为R，AOB90，SAOBR2.VOABCVCAOB，而AOB面积为定值，当点C到平面AOB的距离最大时，VOABC最大，当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VOABC最大为R2R36，R6，球O的表面积为4R2462144.思想与方法1转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法2求体积的两种方法：割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高易错与防范1求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理，防止重复计算2底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错课时分层训练(四十二)A组基础达标(建议用时：30分钟)1已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为_依题意知，该几何体是以为底面半径，为高的两个同底圆锥组成的组合体，则其体积V()22.2正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥AB1DC1的体积为_. 【导学号：62172232】1在正ABC中，D为BC中点，则有ADAB，SDB1C12.又平面BB1C1C平面ABC，ADBC，AD平面ABC，AD平面BB1C1C，即AD为三棱锥AB1DC1底面上的高V三棱锥AB1DC1SDB1C1AD1.3已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为_依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R，则2R2，解得R1，所以VR3.4已知圆台的母线长为4 cm，母线与轴的夹角为30，上底面半径是下底面半径的，则这个圆台的侧面积是_ cm2.24将圆台还原为圆锥后的轴截面如图所示，由题意知AC4 cm，ASO30，O1COA，设O1Cr，则OA2r，又sin 30，SC2r，SA4r.ACSASC2r4 cm.r2 cm.圆台的侧面积为：S(r2r)424(cm2)5一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_12设正六棱锥的高为h，棱锥的斜高为h.由题意，得62h2，h1，斜高h2，S侧62212.6(2017泰州中学高三摸底考试)在ABC中，AB2，BC1.5，ABC120，若使ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是_过A作AD垂直BC于D点，则AD，BD1，CD2.5，因此所形成的几何体的体积是()2(2.51).7(2015江苏高考)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_设新的底面半径为r，由题意得524228r24r28，r27，r.8(2016苏北三市三模)已知圆锥的母线长为10 cm，侧面积为60 cm2，则此圆锥的体积为_cm3.96设圆锥的底面半径为r，则S侧r1060，r6.圆锥的高h8.圆锥的体积Vr2h36896.9(2016泰州期末)如图422，长方体ABCDA1B1C1D1中，O为BD1的中点，三棱锥OABD的体积为V1，四棱锥OADD1A1的体积为V2，则的值为_图422设ABa，ADb，A1Ac，则V1SABDA1Aabc.V2S矩形ADD1A1ABbca.10(2013江苏高考)如图136，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1V2_.图136124设三棱柱的底面ABC的面积为S，高为h，则其体积为V2Sh.因为D，E分别为AB，AC的中点，所以ADE的面积等于S.又因为F为AA1的中点，所以三棱锥FADE的高等于h，于是三棱锥FADE的体积V1ShShV2，故V1V2124.11已知H是球O的直径AB上一点，AHHB12，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为_. 【导学号：62172233】如图，设球O的半径为R，则由AHHB12得HA2RR，OH.截面面积为HM2，HM1.在RtHMO中，OM2OH2HM2，R2R2HM2R21，R，S球4R242.12(2017南京盐城二模)如图423，正三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，AA16.若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥AA1EF的体积是_图4238极限法，取E，F分别与B1，C1重合，则S三棱锥AA1EFSA1B1C1AA1AB2sin 60AA11668.B组能力提升(建议用时：15分钟)1已知一个圆锥的底面圆的半径为1，体积为，则该圆锥的侧面积为_. 【导学号：62172234】3设圆锥的母线长为l，高为h，则由Vr2h，得h2.母线l3，故圆锥的侧面积为S(2r)lrl133.2(2017苏州期末)将半径为5的圆分割成面积之比为123的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r1，r2，r3，则r1r2r3_.52r110，r1，同理r2，r3，r1r2r35.3(2017扬州期末)已知正四棱锥底面边长为4，体积为32，则此四棱锥的侧棱长为_5设正四棱锥的高为h，则44h32，h3，底面对角线的长为48.侧棱长为5.4如图424，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为_图424VD1EDFVFDED1，DED1的面积为正方形AA1D1D面积的一半，三棱锥FDED1的高即为正方体的棱长，所以VD1EDFVFDED1SDED1hDD1ADAB.5(2017南京模拟)已知正三棱柱的