高中数学 第一章 导数及其应用 1_7 定积分的简单应用（第2课时）课堂探究 新人教a版选修2-21

我们在这里，召开私营企业家联谊会，借此机会，我代表成都市渝中工商局、渝中区私营企业协会，祝各位领导新年快乐、工作愉快、身体健康，祝各位企业家事业兴旺高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用（第2课时）课堂探究 新人教A版选修2-2探究一 求变速直线运动的路程、位移求做变速直线运动物体位移与路程的方法(1)做直线运动物体的位移与路程是两个不同的概念，位移是指物体位置的改变，位移不但有大小，而且有方向，是一个矢量(或向量)；路程是物体运动轨迹即质点运动时所经过的实际路径的长度，路程只有大小，没有方向，是个标量(或数量)(2)用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度v(t)在时间区间内是否为正值，若v(t)0，则运动物体的路程为sv(t)dt；若v(t)0，则运动物体的路程为s|v(t)|dtv(t)dt.(3)物体做变速直线运动时，经过的位移s，等于其速度vv(t)在时间区间a，b上的积分，即v(t)dt.【典型例题1】有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)8t2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)求：(1)点P从原点出发，当t6时，求点P离开原点的路程和位移；(2)点P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值思路分析：(1)(2)解：(1)由v(t)8t2t20，得0t4，即当0t4时，P点向x轴正方向运动，当t4时，P点向x轴负方向运动故t6时，点P离开原点的路程为s1(8t2t2)dt(8t2t2)dt.当t6时，点P的位移为(8t2t2)dt0.(2)依题意(8t2t2)dt0，即4t2t30，解得t0或t6，t0对应于P点刚开始从原点出发的情况，所以t6是所求的值探究二 求变力做功求变力做功的方法步骤(1)首先要明确变力的函数式F(x)kx，确定物体在力的方向上的位移(2)利用变力做功的公式WF(x)dx计算(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳【典型例题2】一物体在力F(x)(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向运动，力位移曲线如图所示求该物体从x0处运动到x4(单位：m)处，力F(x)做的功思路分析：先根据图象确定力关于位移的函数关系式，再利用定积分求解解：由力位移曲线可知F(x)因此该物体从x0处运动到x4处力F(x)做的功为10dx(3x4)dx10x46(J)探究三 易错辨析易错点：忽视单位换算导致计算错误【典型例题3】设有一长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功错解：由题意知F(x)kx，由已知x5时，F(5)100，5k100，k20，F(x)20x.弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功W20xdx10x2101522 250(J)错因分析：没有将位移单位换算成米，导致功的单位不是焦耳正解：设x表示弹簧伸长的量(单位：m)，F(x)表示加在弹簧上的力(单位：N)由题意，得F(x)kx，且当x0.05 m时，F(0.05)100 N，即0.05k100，k2 000.F(x)2 000x.将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所做的功为W2 000xdx