高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8_4 平行关系试题 理 北师大版

我们在这里，召开私营企业家联谊会，借此机会，我代表成都市渝中工商局、渝中区私营企业协会，祝各位领导新年快乐、工作愉快、身体健康，祝各位企业家事业兴旺 第八章 立体几何与空间向量 8.4 平行关系试题 理 北师大版 1直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 a a，b ，ab a a，a，b 结论 a b a ab 2.面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 a，b，abP，a，b ，a，b ，a 结论 ab a 【知识拓展】 重要结论： (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a，a，则； (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a，b，则ab； (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若，则. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面( ) (2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线( ) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行( ) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面( ) (5)若直线a与平面内无数条直线平行，则a.( ) (6)若，直线a，则a.( ) 1(教材改编)下列命题中正确的是( ) A若a，b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面 B若直线a和平面满足a，那么a与内的任何直线平行 C平行于同一条直线的两个平面平行 D若直线a，b和平面满足ab，a，b，则b 答案 D 解析 A中，a可以在过b的平面内；B中，a与内的直线可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知，b，正确 2设l，m为直线，为平面，且l，m，则“lm”是“”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 B 解析 当平面与平面平行时，两个平面内的直线没有交点，故“lm”是“”的必要条件；当两个平面内的直线没有交点时，两个平面可以相交，lm是的必要不充分条件 3(2016济南模拟)平面平面的一个充分条件是( ) A存在一条直线a，a，a B存在一条直线a，a，a C存在两条平行直线a，b，a，b，a，b D存在两条异面直线a，b，a，b，a，b 答案 D 解析 若l，al，a ，a ，则a，a，故排除A.若l，a，al，则a，故排除B.若l，a，al，b，bl，则a，b，故排除C.故选D. 4(教材改编)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为_ 答案 平行 解析 连接BD，设BDACO，连接EO，在BDD1中，O为BD的中点，所以EO为BDD1的中位线， 则BD1EO，而BD1平面ACE，EO平面ACE， 所以BD1平面ACE. 5.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为_ 答案 平行四边形 解析 平面ABFE平面DCGH， 又平面EFGH平面ABFEEF，平面EFGH平面DCGHHG， EFHG.同理EHFG， 四边形EFGH的形状是平行四边形 题型一 直线与平面平行的判定与性质 命题点1 直线与平面平行的判定 例1 如图，四棱锥PABCD中，ADBC，ABBCAD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点 (1)求证：AP平面BEF； (2)求证：GH平面PAD. 证明 (1)连接EC， ADBC，BCAD， BC綊AE， 四边形ABCE是平行四边形， O为AC的中点 又F是PC的中点，FOAP， FO平面BEF，AP平面BEF，AP平面BEF. (2)连接FH，OH，F，H分别是PC，CD的中点， FHPD，FH平面PAD. 又O是BE的中点，H是CD的中点， OHAD，OH平面PAD. 又FHOHH，平面OHF平面PAD. 又GH平面OHF，GH平面PAD. 命题点2 直线与平面平行的性质 例2 (2016长沙模拟)如图，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH. (1)证明：GHEF； (2)若EB2，求四边形GEFH的面积 (1)证明 因为BC平面GEFH，BC平面PBC， 且平面PBC平面GEFHGH， 所以GHBC. 同理可证EFBC，因此GHEF. (2)解 如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK. 因为PAPC，O是AC的中点，所以POAC， 同理可得POBD. 又BDACO，且AC，BD都在底面内， 所以PO底面ABCD. 又因为平面GEFH平面ABCD， 且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH. 因为平面PBD平面GEFHGK， 所以POGK，且GK底面ABCD， 从而GKEF. 所以GK是梯形GEFH的高 由AB8，EB2得EBABKBDB14， 从而KBDBOB，即K为OB的中点 再由POGK得GKPO， 即G是PB的中点，且GHBC4. 由已知可得OB4， PO6， 所以GK3. 故四边形GEFH的面积SGK 318. 思维升华 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(，b，aba)； (3)利用面面平行的性质定理(，aa)； (4)利用面面平行的性质(，a ，a ，aa) 如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CDAB.求证：四边形EFGH是矩形 证明 CD平面EFGH， 而平面EFGH平面BCDEF， CDEF. 同理HGCD，EFHG. 同理HEGF， 四边形EFGH为平行四边形 CDEF，HEAB， HEF为异面直线CD和AB所成的角或其补角 又CDAB，HEEF. 平行四边形EFGH为矩形 题型二 平面与平面平行的判定与性质 例3 如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： (1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1平面BCHG. 证明 (1)G，H分别是A1B1，A1C1的中点， GH是A1B1C1的中位线，GHB1C1. 又B1C1BC，GHBC， B，C，H，G四点共面 (2)E，F分别是AB，AC的中点， EFBC. EF平面BCHG，BC平面BCHG， EF平面BCHG. A1G綊EB，四边形A1EBG是平行四边形， A1EGB. A1E平面BCHG，GB平面BCHG， A1E平面BCHG. A1EEFE， 平面EFA1平面BCHG. 引申探究 1在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD平面A1B1BA. 证明 如图所示，连接HD，A1B， D为BC1的中点，H为A1C1的中点， HDA1B， 又HD平面A1B1BA， A1B平面A1B1BA， HD平面A1B1BA. 2在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1平面AC1D. 证明 如图所示，连接A1C交AC1于点M， 四边形A1ACC1是平行四边形， M是A1C的中点，连接MD， D为BC的中点， A1BDM. A1B平面A1BD1， DM 平面A1BD1， DM平面A1BD1. 又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD， 四边形BDC1D1为平行四边形， DC1BD1. 又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1， DC1平面A1BD1， 又DC1DMD，DC1，DM平面AC1D， 平面A1BD1平面AC1D. 思维升华 证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义； (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行； (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行； (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化 (2016许昌三校第三次考试)如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点求证： (1)BE平面DMF； (2)平面BDE平面MNG. 证明 (1)如图所示，设DF与GN交于点O，连接AE，则AE必过点O， 连接MO，则MO为ABE的中位线， 所以BEMO. 因为BE平面DMF，MO平面DMF， 所以BE平面DMF. (2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DEGN. 因为DE平面MNG，GN平面MNG， 所以DE平面MNG. 因为M为AB的中点， 所以MN为ABD的中位线， 所以BDMN. 因为BD平面MNG，MN平面MNG， 所以BD平面MNG. 因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线， 所以平面BDE平面MNG. 题型三 平行关系的综合应用 例4 如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由 解 方法一 存在点E，且E为AB的中点时，DE平面AB1C1. 下面给出证明： 如图，取BB1的中点F，连接DF， 则DFB1C1， AB的中点为E，连接EF，ED， 则EFAB1，B1C1AB1B1， 平面DEF平面AB1C1. 而DE平面DEF， DE平面AB1C1. 方法二 假设在棱AB上存在点E， 使得DE平面AB1C1， 如图，取BB1的中点F，连接DF，EF，ED，则DFB1C1， 又DF平面AB1C1， B1C1平面AB1C1， DF平面AB1C1， 又DE平面AB1C1， DEDFD， 平面DEF平面AB1C1， EF平面DEF，EF平面AB1C1， 又EF平面ABB1，平面ABB1平面AB1C1AB1， EFAB1， 点F是BB1的中点，点E是AB的中点 即当点E是AB的中点时，DE平面AB1C1. 思维升华 利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决 如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？ 解 AB平面EFGH， 平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG，EH. ABFG，ABEH， FGEH，同理可证EFGH， 截面EFGH是平行四边形 设ABa，CDb，FGH (即为异面直线AB和CD所成的角或其补角) 又设FGx，GHy，则由平面几何知识可得， ，两式相加得1，即y(ax)， SEFGHFGGHsin x(ax)sin x(ax) x0，ax0且x(ax)a为定值， x(ax)，当且仅当xax时等号成立 此时x，y. 即当截面EFGH的顶点E、F、G、H分别为棱AD、AC、BC、BD的中点时截面面积最大 5立体几何中的探索性问题 典例 (12分)如图，在四棱锥SABCD中，已知底面ABCD为直角梯形，其中ADBC，BAD90，SA底面ABCD，SAABBC2，tanSDA. (1)求四棱锥SABCD的体积； (2)在棱SD上找一点E，使CE平面SAB，并证明 规范解答 解 (1)SA底面ABCD，tanSDA，SA2， AD3.2分 由题意知四棱锥SABCD的底面为直角梯形，且SAABBC2， VSABCDSA(BCAD)AB 2(23)2.6分 (2)当点E位于棱SD上靠近D的三等分点处时，可使CE平面SAB.8分 证明如下： 取SD上靠近D的三等分点为E，取SA上靠近A的三等分点为F，连接CE，EF，BF， 则EF綊AD，BC綊AD， BC綊EF，CEBF.10分 又BF平面SAB，CE平面SAB， CE平面SAB.12分 解决立体几何中的探索性问题的步骤： 第一步：写出探求的最后结论； 第二步：证明探求结论的正确性； 第三步：给出明确答案； 第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范 1(2016保定模拟)有下列命题： 若直线l平行于平面内的无数条直线，则直线l； 若直线a在平面外，则a； 若直线ab，b，则a； 若直线ab，b，则a平行于平面内的无数条直线 其中真命题的个数是( ) A1 B2 C3 D4 答案 A 解析 命题：l可以在平面内，不正确；命题：直线a与平面可以是相交关系，不正确；命题：a可以在平面内，不正确；命题正确故选A. 2(2016滨州模拟)已知m，n，l1，l2表示直线，表示平面若m，n，l1，l2，l1l2M，则的一个充分条件是( ) Am且l1 Bm且n Cm且nl2 Dml1且nl2 答案 D 解析 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D可推知.故选D. 3对于空间中的两条直线m，n和一个平面，下列命题中的真命题是( ) A若m，n，则mn B若m，n，则mn C若m，n，则mn D若m，n，则mn 答案 D 解析 对A，直线m，n可能平行、异面或相交，故A错误；对B，直线m与n可能平行，也可能异面，故B错误；对C，m与n垂直而非平行，故C错误；对D，垂直于同一平面的两直线平行，故D正确 4如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是( ) A垂直 B相交不垂直 C平行 D重合 答案 C 解析 如图，分别取另三条棱的中点A，B，C，将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL，因为PQAL，PRAM，且PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR平面AMBNCL，即平面LMN平面PQR. 5(2016全国甲卷)，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题： 如果mn，m，n，那么； 如果m，n，那么mn； 如果，m，那么m； 如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等 其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号) 答案 解析 当mn，m，n时，两个平面的位置关系不确定，故错误，经判断知均正确，故正确答案为. 6设，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“m，n，且_，则mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题 ，n；m，n；n，m. 可以填入的条件有_ 答案 或 解析 由面面平行的性质定理可知，正确；当n，m时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，正确 7在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件_时，有平面D1BQ平面PAO. 答案 Q为CC1的中点 解析 假设Q为CC1的中点 因为P为DD1的中点， 所以QBPA. 连接DB， 因为O是底面ABCD的中心， 所以D1BPO， 又D1B平面PAO，QB平面PAO，且PAPO于P， 所以D1B平面PAO，QB平面PAO， 又D1BQB于B，所以平面D1BQ平面PAO. 故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ平面PAO. 8将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”给出下列四个命题： 垂直于同一平面的两直线平行；垂直于同一平面的两平面平行；平行于同一直线的两直线平行；平行于同一平面的两直线平行 其中是“可换命题”的是_(填命题的序号) 答案 解析 由线面垂直的性质定理可知是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以是假命题，不是“可换命题”；由公理4可知是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故是“可换命题”；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故是假命题，故不是“可换命题” 9.如图，空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，周长的取值范围是_ 答案 (8,10) 解析 设k，1k， GH5k，EH4(1k)，周长82k. 又0k1，周长的取值范围为(8,10) 10.在三棱锥SABC中，ABC是边长为6的正三角形，SASBSC15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H.D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为_ 答案 解析 如图，取AC的中点G， 连接SG，BG. 易知SGAC，BGAC，SGBGG， 故AC平面SGB， 所以ACSB. 因为SB平面DEFH，SB平面SAB，平面SAB平面DEFHHD， 则SBHD.同理SBFE. 又D，E分别为AB，BC的中点， 则H，F也为AS，SC的中点， 从而得HF綊AC綊DE， 所以四边形DEFH为平行四边形 又ACSB，SBHD，DEAC， 所以DEHD， 所以四边形DEFH为矩形， 其面积SHFHD(AC)(SB). 11.如图，E、F、G、H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点求证： (1)EG平面BB1D1D； (2)平面BDF平面B1D1H. 证明 (1)取B1D1的中点O，连接GO，OB， 易证四边形BEGO为平行四边形，故OBEG， 由线面平行的判定定理即可证EG平面BB1D1D. (2)由题意可知BDB1D1. 如图，连接HB、D1F， 易证四边形HBFD1是