高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3_2_2 复数的乘法和除法课堂探究 新人教b版选修1-21

我们在这里，召开私营企业家联谊会，借此机会，我代表成都市渝中工商局、渝中区私营企业协会，祝各位领导新年快乐、工作愉快、身体健康，祝各位企业家事业兴旺高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数的乘法和除法课堂探究 新人教B版选修1-2探究一 复数的乘、除运算两个复数的积和商仍为复数，运算过程中乘法运算可类比多项式的乘法运算规则；对于除法运算要格外注意，复数的除法与实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分化简，得出结论，但复数的除法因为分母为复数一般不能直接约分化简【典型例题1】 (1)(2014课标全国卷高考)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z12i，则z1z2()A5 B5 C4i D4i解析：由题意知：z22i.又z12i，所以z1z2(2i)(2i)i245.故选A.答案：A(2)(2014新课标全国卷高考)()A1i B1i C1i D1i解析：1i.故选D.答案：D点评 对于复数的运算，除应用四则运算法则之外，对于一些简单的算式要知道其结果，这样起点就高，计算过程就可以简化，达到快速、简捷、出错少的效果比如下列结论，要记住：i；i；i；abii(bai)；31；31.探究二 共轭复数性质的应用1共轭复数常用的性质有：z.z|z|2|2.z2a，z2bi.(可推广到有限个).(可推广到有限个)(z20)(2)证明zR的方法：设zabi，证明b0；利用zzR；利用z20zR；利用|z|2z2zR.(3)证明z为纯虚数的方法：设zabi，证明a0，且b0；利用z20z为纯虚数；若z0则z0z为纯虚数【典型例题2】 给定两复数z1，z2，且|z1|z2|z1z2|1，求证：zz.证明：zz(z1z2)(zz1z2z)，由题设知z1z2，故只需证明zz1z2z0.|z1|2z111，|z2|2z221，1，2.又由|z1z2|1 (z1z2)(12)1，(z1z2)1.去分母并整理，得zz1z2z0，zz0，故zz.【典型例题3】 已知z1，z2C，z12z2R，且1，求证：z23z1为纯虚数证明：1，10z5z2z1z2，即z4z4z1z29zz6z1z2，也即(z12z2)2(3z1z2)2.z12z2R，又z10，z20，(z12z2)20，(3z1z2)20，(3z1z2)2为负实数，z23z1为纯虚数探究三 复数方程1在复数范围内解方程，一般是把根设出来代入方程，用复数相等的充要条件解决，这种方法也可以叫做待定系数法2实系数一元二次方程根的判别式b24ac对复系数一元二次方程是无意义的，绝对不能轻易套用【典型例题4】 已知x，y为共轭复数，且(xy)23xyi46i，求x，y.思路分析：(1)x，y为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题解：设xabi(a，bR)，则yabi，xy2a，xya2b2，代入原式，得(2a)23(a2b2)i46i，根据复数相等得解得或或或故所求复数为或或或【典型例题5】 已知关于x的方程x2(k2i)x2ki0有实根，求这个实根以及实数k的值思路分析：把实根xx0代入方程整理成复数的标准形式根据复数相等的条件，解出x0和k即可解：设xx0是方程的实根，代入方程并整理得(xkx02)(2x0k)i0，由复数相等的条件得解得或方程的实根为x或x，相应的k值为k2或k2.点评本题往往会出现以下错解：由方程有实根，有(k2i)24(2ki)0，即k2120，k2或k2.探究四易错辨析易错点：在求解很多复数问题时，往往因审题不细或忽视在复数集内的条件而将问题在实数范围内求解，从而导致错误【典型例题6】 在复数集内解方程：x25|x|60.错解：x25|x|60，|x|25|x|60.|x|2或|x|3，x2或x3.错因分析：这里常出现将|x|看成“绝对值”的错误解法(1)将方程变为|x|25|x|60|x|2或|x|3x2或x3.(2)将方程化为：或 求解正解：设xabi(a，bR)，原方程可化为a2b25