九年级数学上学期期中试卷（含解析） 北师大版

系统掌握蕴含其中的马克思主义立场观点方法，要在系统学习、深刻领会、科学把握习近平教育思想上下功夫。精心组织开展学习宣传贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神知识问答活动。2016-2017学年北京市西城外国语学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1抛物线y=（x1）2+2的对称轴是（）A直线x=2B直线x=2C直线x=1D直线x=12下列图形是中心对称图形的是（）ABCD3如图，A，B，C是O上的三个点，若C=35，则AOB的度数为（）A35B55C65D704将抛物线y=2x2平移得到抛物线y=2（x2）2+3，下列平移正确的是（）A先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D先向右平移2个单位，再向上平移3个单位5已知O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，则直线L与O的位置关系是（）A相交B相切C相离D不能确定6二次函数y=ax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为（1，0），与y轴的交点为（0，3），则方程ax2+bx+c=0（a0）的解为（）Ax=1Bx=1Cx1=1，x2=3Dx1=1，x2=47如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC顶点的横、纵坐标都是整数若将ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90得到DEF，则旋转中心的坐标是（）A（0，0）B（1，0）C（1，1）D（2.5，0.5）8如图，在平面直角坐标系xOy中，点B在x轴的正半轴上，OB=，ABOB，AOB=30把ABO绕点O逆时针旋转150后得到A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为（）A（0，2）B（2，0）C（1，）D（，1）9如图，O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E若B=60，AC=3，则CD的长为（）A6BCD310如图，O上有两点A与P，且OAOP，若A点固定不动，P点在圆上匀速运动一周，那么弦AP的长度d与时间t的函数关系的图象可能是（）ABC或D或二、填空题（本题共18分，每小题3分）11如图，OAB绕点O顺时针旋转80到OCD的位置，已知AOB=45，则AOD等于度12点A（3，y1），B（2，y2）在抛物线y=x25x上，则y1y2（填“”，“”或“=”）13如图，C与AOB的两边分别相切，其中OA边与C相切于点P若AOB=90，OP=4，则OC的长为14O中，AB为O的弦，AOB=140，则弦AB所对的圆周角为度15如图，等腰RtABC中，C=90，BC=6cm，将ABC绕点A顺时针旋转15后得到ABC，则图中阴影部分的面积是cm216阅读下面材料：在学习圆这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：小敏的作法如下：老师认为小敏的作法正确请回答：连接OA，OB后，可证OAP=OBP=90，其依据是；由此可证明直线PA，PB都是O的切线，其依据是三、解答题（本题共72分，第1726题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17（5分）解方程：x24x+1=018（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC的三个顶点分别为A（3，4），B（5，1），C（1，2）（1）画出ABC关于原点对称的A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）画出ABC绕原点逆时针旋转90后的A2B2C2，并写出点B2的坐标解：（1）点B1的坐标是；（2）点B2的坐标是19（5分）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示（1）求这个二次函数的解析式；（2）根据图象，写出当x取何值时，y0？20（5分）九章算术中记载了这样一道题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述为：“如果AB为O的直径，弦CDAB于E，AE=1寸，CD=10寸，那么直径AB的长为多少寸？”请你补全示意图，并求出AB的长21（5分）已知二次函数y=x22x3（1）将y=x22x3化成y=a（xh）2+k的形式；（2）与y轴的交点坐标是，与x轴的交点坐标是；（3）在坐标系中利用描点法画出此抛物线xy（4）不等式x22x30的解集是22（5分）如图，P是等边ABC内的一点，且PA=5，PB=4，PC=3，将APB绕点B逆时针旋转，得到CQB求：（1）点P与点Q之间的距离；（2）求BPC的度数23（5分）如图，O的直径AB=4，ABC=30，BC交O于D，D是BC的中点（1）求BC的长；（2）过点D作DEAC，垂足为E，求证：直线DE是O的切线24（5分）如图，有一个圆形工具，请利用直尺和圆规，确定这个圆形工具的圆心25（5分）如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米若水面下降1米，则水面宽度将增加多少米？26（5分）如图，AB为O的直径，点F为弦AC的中点，连接OF并延长交O于点D，过点D作O的切线，交BA的延长线于点E（1）求证：ACDE；（2）若OA=AE=4，求AC的长27（7分）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x24mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0x3时，y2的最大值28（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+（m+9）x6的对称轴是x=2（1）求抛物线表达式和顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A，求点A的坐标；（3）抛物线y=2x2+（m+9）x6与y轴交于点C，点A关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B，两条抛物线在点A、C和点A、B之间的部分（包含点A、B、C） 记为图象M将直线y=2x2向下平移b（b0）个单位，在平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，请你写出b的取值范围29（8分）阅读资料：如图1，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理得AB2=|x2x1|2+|y2y1|2，所以A，B两点间的距离为AB=我们知道，圆可以看成到圆心的距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xOy中，A （x，y）为圆上任意一点，则点A到原点的距离的平方为OA2=|x0|2+|y0|2，当O的半径OA为r时，O的方程可写为：x2+y2=r2问题拓展：如果圆心坐标为P （a，b），半径为r，那么P的方程可以写为综合应用：如图3，P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是P上一点，连接OA，使POA=30，作PDOA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB证明AB是P的切线；是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以点Q为圆心，OQ长为半径的Q的方程；若不存在，说明理由2016-2017学年北京市西城外国语学校九年级（上）期中数学试卷（解析版）参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）1抛物线y=（x1）2+2的对称轴是（）A直线x=2B直线x=2C直线x=1D直线x=1【考点】二次函数的性质【分析】利用顶点式直接求得对称轴即可【解答】解：抛物线y=（x1）2+2的对称轴是x=1故选：C【点评】此题考查二次函数的性质，抛物线y=a（xh）2+k是抛物线的顶点式，抛物线的顶点是（h，k），对称轴是x=h2下列图形是中心对称图形的是（）ABCD【考点】中心对称图形【分析】根据中心对称图形的定义旋转180后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出【解答】解：A、该图形是中心对称图形，正确，B、该图形不是中心对称图形，错误；C、该图形不是中心对称图形，错误；D、该图形是轴对称图形，错误；故选A【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键3如图，A，B，C是O上的三个点，若C=35，则AOB的度数为（）A35B55C65D70【考点】圆周角定理【分析】由A，B，C是O上的三个点，若C=35，直接利用圆周角定理求解即可求得答案【解答】解：A，B，C是O上的三个点，C=35，AOB=2C=70故选D【点评】此题考查了圆周角定理此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用4将抛物线y=2x2平移得到抛物线y=2（x2）2+3，下列平移正确的是（）A先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D先向右平移2个单位，再向上平移3个单位【考点】二次函数图象与几何变换【分析】先利用顶点式得到两抛物线的顶点式，然后通过点平移的规律得到抛物线平移的情况【解答】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=2（x2）2+3的顶点坐标为（2，3），而点（0，0）先向右平移2个单位，再向上平移3个单位可得到点（2，3），所以抛物线y=2x2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到抛物线y=2（x2）2+3故选D【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式5已知O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，则直线L与O的位置关系是（）A相交B相切C相离D不能确定【考点】直线与圆的位置关系【分析】根据圆O的半径和，圆心O到直线L的距离的大小，相交：dr；相切：d=r；相离：dr；即可选出答案【解答】解：O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，32，即：dr，直线L与O的位置关系是相交故选A【点评】本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键6二次函数y=ax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为（1，0），与y轴的交点为（0，3），则方程ax2+bx+c=0（a0）的解为（）Ax=1Bx=1Cx1=1，x2=3Dx1=1，x2=4【考点】抛物线与x轴的交点【分析】根据抛物线的对称性判断出抛物线与x轴的另一个交点的坐标，从而可得到方程的解【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为（1，0），抛物线与x轴另一个交点坐标为（3，0）ax2+bx+c=0（a0）的解为x1=1，x2=3故选：C【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，依据抛物线的对称性求得抛物线与x轴的另一个交点坐标是解题的关键7如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC顶点的横、纵坐标都是整数若将ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90得到DEF，则旋转中心的坐标是（）A（0，0）B（1，0）C（1，1）D（2.5，0.5）【考点】坐标与图形变化-旋转【分析】先根据旋转的性质得到点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段AD的垂直平分线，也在线段BE的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心，而易得线段BE的垂直平分线为直线x=1，线段AD的垂直平分线为以AD为对角线的正方形的另一条对角线所在的直线【解答】解：将ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90得到DEF，点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，作线段AD和BE的垂直平分线，它们的交点为P（1，1），旋转中心的坐标为（1，1）故选C【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标常见的是旋转特殊角度如：30，45，60，90，1808如图，在平面直角坐标系xOy中，点B在x轴的正半轴上，OB=，ABOB，AOB=30把ABO绕点O逆时针旋转150后得到A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为（）A（0，2）B（2，0）C（1，）D（，1）【考点】坐标与图形变化-旋转【分析】根据三角函数可得OA，结合AOB=30可知ABO绕点O逆时针旋转150后OA的对应边OA1位于x轴上，继而可得答案【解答】解：ABO中，ABOB，OB=，AOB=30，cosAOB=，OA=2，如图，当ABO绕点O逆时针旋转150后得到A1B1O，可得A1（2，0），故选：B【点评】本题主要考查旋转变换下坐标与图形的变化，解直角三角形得出OA的长是解题的根本，根据ABO绕点O逆时针旋转150后OA的对应边OA1位于x轴上是解题的关键9如图，O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E若B=60，AC=3，则CD的长为（）A6BCD3【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形；垂径定理【分析】由AB是O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得ACB=90，又由B=60，AC=3，即可求得BC的长，然后由ABCD，可求得CE的长，又由垂径定理，求得答案【解答】解：AB是O的直径，ACB=90，B=60，AC=3，BC=，ABCD，CE=BCsin60=，CD=2CE=3故选D【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理以及三角函数的性质注意直径所对的圆周角是直角，得到ACD=90是关键10如图，O上有两点A与P，且OAOP，若A点固定不动，P点在圆上匀速运动一周，那么弦AP的长度d与时间t的函数关系的图象可能是（）ABC或D或【考点】动点问题的函数图象【分析】本题需注意正确理解题意，根据点P运动的方向分析即可【解答】解：由图中可知：长度d是一开始就存在的，如果点P向上运动，那么d的距离将逐渐变大；当点P运动到和0，A在同一直线上时，d最大，随后开始变小；当运动到点A时，距离d为0，然后继续运动，d开始变大；到点P时，回到原来高度相同的位置对，没有回到原来的位置，应排除回到原来的位置后又继续运动了，应排除如果点P向下运动，那么d的距离将逐渐变小，到点A的位置时，距离d为0；继续运动，d的距离将逐渐变大；当点P运动到和0，A在同一直线上时，d最大，随后开始变小，到点P时，回到原来高度相同的位置对故选C【点评】本题考查了动点问题的函数图象，由于没有说点是怎么运动的，所以分情况进行分析，判断二、填空题（本题共18分，每小题3分）11如图，OAB绕点O顺时针旋转80到OCD的位置，已知AOB=45，则AOD等于125度【考点】旋转的性质【分析】由旋转角可求得BOD，再利用角的和差可求得AOD【解答】解：旋转角为80，BOD=80，AOD=AOB+BOD=45+80=125，故答案为：125【点评】本题主要考查旋转的性质，掌握旋转角的定义是解题的关键12点A（3，y1），B（2，y2）在抛物线y=x25x上，则y1y2（填“”，“”或“=”）【考点】二次函数图象上点的坐标特征【分析】分别计算自变量为3、2时的函数值，然后比较函数值的大小即可【解答】解：当x=3时，y1=x25x=6；当x=2时，y2=x25x=14；146，y1y2故答案为：【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式也考查了二次函数的性质13如图，C与AOB的两边分别相切，其中OA边与C相切于点P若AOB=90，OP=4，则OC的长为4【考点】切线的性质【分析】由C与AOB的两边分别相切，利用切线长定理，可得AOC=45，继而可得OCP是等腰直角三角形，则可求得答案【解答】解：连接CP，C与AOB的两边分别相切，AOC=BOC=AOB，CPOA，AOB=90，AOC=45，OC=OP=4=4故答案为：【点评】此题考查了切线的性质、切线长定理以及等腰直角三角形的性质注意准确作出辅助线是解此题的关键14O中，AB为O的弦，AOB=140，则弦AB所对的圆周角为70或110度【考点】圆周角定理【分析】此题要分情况考虑：弦对了两条弧，则两条弧所对的圆周角有两类再根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，进行计算【解答】解：根据圆周角定理，得弦AB所对的圆周角=1402=70或18070=110故答案为70或110【点评】此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半注意：弦所对的圆周角有两种情况15如图，等腰RtABC中，C=90，BC=6cm，将ABC绕点A顺时针旋转15后得到ABC，则图中阴影部分的面积是6cm2【考点】旋转的性质；等腰直角三角形【分析】AB与CB相交于点D，如图，根据等腰直角三角形的性质得AC=BC=6cm，CAB=45，再根据旋转的性质得CAB=45，CA=CA=15，则CAD=30，再利用含30度的直角三角形的三边的关系计算出CD，然后根据三角形面积公式计算阴影部分的面积【解答】解：AB与CB相交于点D，如图，等腰RtABC中，C=90，BC=6cm，AC=BC=6cm，CAB=45，ABC绕点A顺时针旋转15后得到ABC，CAB=45，CA=CA=15，CAD=30，在RtACD中，CD=AC=6=2，阴影部分的面积=62=6故答案为【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了等腰直角三角形的性质16阅读下面材料：在学习圆这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：小敏的作法如下：老师认为小敏的作法正确请回答：连接OA，OB后，可证OAP=OBP=90，其依据是直径所对的圆周角是直角；由此可证明直线PA，PB都是O的切线，其依据是经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【考点】作图复杂作图；切线的判定与性质【分析】直接根据圆周角定理即可得出OAP=OBP=90，由切线的性质即可得出结论【解答】解：OP是O的直径，OAP=OBP=90直线PA，PB都是O的切线故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【点评】本题考查的是作图复杂作图，熟知圆的切线的作法及圆周角定理是解答此题的关键三、解答题（本题共72分，第1726题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17解方程：x24x+1=0【考点】解一元二次方程-配方法【分析】移项后配方得到x24x+4=1+4，推出（x2）2=3，开方得出方程x2=，求出方程的解即可【解答】解：移项得：x24x=1，配方得：x24x+4=1+4，即（x2）2=3，开方得：x2=，原方程的解是：x1=2+，x2=2【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程、解一元一次方程的应用，关键是配方得出（x2）2=3，题目比较好，难度适中18如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC的三个顶点分别为A（3，4），B（5，1），C（1，2）（1）画出ABC关于原点对称的A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）画出ABC绕原点逆时针旋转90后的A2B2C2，并写出点B2的坐标解：（1）点B1的坐标是（5，1）；（2）点B2的坐标是（1，5）【考点】作图-旋转变换【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到A1B1C1；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到A2B2C2【解答】解：（1）A1B1C1为所作，点B1的坐标为（5，1）；（2）A2B2C2为所作，点B2的坐标为（1，5）故答案为（5，1），（1，5）【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形19二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示（1）求这个二次函数的解析式；（2）根据图象，写出当x取何值时，y0？【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x1）（a0），图象过点（0，3），求出a的值，即可求出二次函数的解析式；（2）直接根据图象写出x的取值范围【解答】解：（1）图象过（3，0），（1，0），设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x1）（a0），图象过（0，3），3=a（0+3）（01），a=1，y=（x+3）（x1），即y=x22x+3，（2）由图象可知，当3x1，y0【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点以及待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确设出抛物线的解析式，此题难度不大20九章算术中记载了这样一道题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述为：“如果AB为O的直径，弦CDAB于E，AE=1寸，CD=10寸，那么直径AB的长为多少寸？”请你补全示意图，并求出AB的长【考点】垂径定理的应用；勾股定理【分析】连接OD，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OD=OA=x寸，则AB=2x寸，OE=（x1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长【解答】解：如图所示，连接OD弦CDAB，AB为圆O的直径，E为CD的中点，又CD=10寸，CE=DE=CD=5寸，设OD=OA=x寸，则AB=2x寸，OE=（x1）寸，由勾股定理得：OE2+DE2=OD2，即（x1）2+52=x2，解得：x=13，AB=26寸，即直径AB的长为26寸【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题21已知二次函数y=x22x3（1）将y=x22x3化成y=a（xh）2+k的形式；（2）与y轴的交点坐标是（0，3），与x轴的交点坐标是（3，0）（1，0）；（3）在坐标系中利用描点法画出此抛物线xy（4）不等式x22x30的解集是x1或x3【考点】二次函数的三种形式；二次函数的图象；二次函数与不等式（组）【分析】（1）利用配方法将一次项和二次项组合，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式（2）将已知方程转化为两点式方程即可得到该抛物线与x轴的交点坐标；令x=0即可得到该抛物线与y轴交点的纵坐标；（3）将抛物线y=x22x3上的点的坐标列出，然后在平面直角坐标系中找出这些点，连接起来即可；（4）结合图象可以直接得到答案【解答】解：（1）y=x22x3=x22x+131=（x1）24，即y=（x1）24；（2）令x=0，则y=3，即该抛物线与y轴的交点坐标是 （0，3），又y=x22x3=（x3）（x+1），所以该抛物线与x轴的交点坐标是（3，0）（1，0）故答案是：（0，3）；（3，0）（1，0）；（3）列表：x10123y03430图象如图所示：；（4）如图所示，不等式x22x30的解集是x1或x3故答案是：x1或x3【点评】本题考查了二次函数的三种形式、二次函数的对称性和由函数图象确定坐标、直线与图象的交点问题，综合体现了数形结合的思想22如图，P是等边ABC内的一点，且PA=5，PB=4，PC=3，将APB绕点B逆时针旋转，得到CQB求：（1）点P与点Q之间的距离；（2）求BPC的度数【考点】旋转的性质；等边三角形的性质【分析】（1）连结PQ，如图，根据等边三角形得性质得ABC=60，BA=BC，再利用旋转的性质得BP=BQ，PBQ=ABC=60，CQ=AP=5，BP=BQ=4，PBQ=60，于是可判断PBQ是等边三角形，所以PQ=PB=4；（2）先利用勾股定理的逆定理证明PCQ是直角三角形，且QPC=90，再加上BPQ=60，然后计算BPQ+QPC即可【解答】解：（1）连结PQ，如图，ABC是等边三角形ABC=60，BA=BC，QCB是PAB绕点B逆时针旋转得到的，BP=BQ，PBQ=ABC=60，CQ=AP=5，BP=BQ=4，PBQ=60，PBQ是等边三角形，PQ=PB=4；（2）QC=5，PC=3，PQ=4，而32+42=52，PC2+PQ2=CQ2，PCQ是直角三角形，且QPC=90，PBQ是等边三角形，BPQ=60，BPC=BPQ+QPC=60+90=150【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理23如图，O的直径AB=4，ABC=30，BC交O于D，D是BC的中点（1）求BC的长；（2）过点D作DEAC，垂足为E，求证：直线DE是O的切线【考点】切线的判定；含30度角的直角三角形；圆周角定理【分析】（1）根据圆周角定理求得ADB=90，然后解直角三角形即可求得BD，进而求得BC即可；（2）要证明直线DE是O的切线只要证明EDO=90即可【解答】证明：（1）解：连接AD，AB是O的直径，ADB=90，又ABC=30，AB=4，BD=2，D是BC的中点，BC=2BD=4；（2）证明：连接ODD是BC的中点，O是AB的中点，DO是ABC的中位线，ODAC，则EDO=CED又DEAC，CED=90，EDO=CED=90DE是O的切线【点评】此题主要考查了切线的判定以及含30角的直角三角形的性质解题时要注意连接过切点的半径是圆中的常见辅助线24如图，有一个圆形工具，请利用直尺和圆规，确定这个圆形工具的圆心【考点】作图复杂作图；垂径定理【分析】作出一条弦的垂直平分线，作出另一条弦的垂直平分线，则它们的交点即为这个圆形工具的圆心【解答】解：如图，点O为所作【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作25如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米若水面下降1米，则水面宽度将增加多少米？【考点】二次函数的应用【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把y=1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（2，0），到抛物线解析式得出：a=0.5，所以抛物线解析式为y=0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=1代入抛物线解析式得出：1=0.5x2+2，解得：x=，所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了（24）米【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键26如图，AB为O的直径，点F为弦AC的中点，连接OF并延长交O于点D，过点D作O的切线，交BA的延长线于点E（1）求证：ACDE；（2）若OA=AE=4，求AC的长【考点】切线的性质【分析】（1）由点F为弦AC的中点，ED切O于D，可得ODAC，ODDE，继而证得结论；（2）由OA=AE=4，易得E=30，又由ACDE，利用三角函数的知识即可求得OF，AF的长，继而求得答案【解答】（1）证明：OD过圆心，F为AC中点，ODAC，ED切O于D，ODED，ACDE，（2）解：OD=OA=4，OE=OA+AE=8，OD=OE，在RtODE中，OD=OE，E=30，ACDE，CAB=E=30，在RtOAF中，OF=AO=2，AF=OF=2，F为AC中点，AC=2AF=4【点评】此题考查了切线的性质、垂径定理以及三角函数等知识注意根据题意求得E=30是关键27若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x24mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0x3时，y2的最大值【考点】二次函数的性质；二次函数的最值【分析】（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可（2）由y1的图象经过点A（1，1）可以求出m的值，然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，在利用二次函数的性质就可以解决问题【解答】解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（xh）2+k，当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2（x3）2+420，该二次函数图象的开口向上当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3（x3）2+430，该二次函数图象的开口向上两个函数y=2（x3）2+4与y=3（x3）2+4顶点相同，开口都向上，两个函数y=2（x3）2+4与y=3（x3）2+4是“同簇二次函数”符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x3）2+4与y=3（x3）2+4（2）y1的图象经过点A（1，1），2124m1+2m2+1=1整理得：m22m+1=0解得：m1=m2=1y1=2x24x+3=2（x1）2+1y1+y2=2x24x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b4）x+8y1+y2与y1为“同簇二次函数”，y1+y2=（a+2）（x1）2+1=（a+2）x22（a+2）x+（a+2）+1其中a+20，即a2解得：函数y2的表达式为：y2=5x210x+5y2=5x210x+5=5（x1）2函数y2的图象的对称轴为x=150，函数y2的图象开口向上当0x1时，函数y2的图象开口向上，y2随x的增大而减小，当x=0时，y2取最大值，最大值为5（01）2=5，当1x3时，函数y2的图象开口向上，y2随x的增大而增大，当x=3时，y2取最大值，最大值为5（31）2=20综上所述：当0x3时，y2的最大值为20【点评】本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，考查了二次函数的性质（开口方向、增减性），考查了分类讨论的思想，考查了阅读理解能力而对新定义的正确理解和分类讨论是解决第二小题的关键28在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+（m+9）x6的对称轴是x=2（1）求抛物线表达式和顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A，求点A的坐标；（3）抛物线y=2x2+（m+9）x6与y轴交于点C，点A关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B，两条抛物线在点A、C和点A、B之间的部分（包含点A、B、C） 记为图象M将直线y=2x2向下平移b（b0）个单位，在平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，请你写出b的取值范围0b【考点】二次函数图象与几何变换；一次函数图象与几何变换；二次函数的性质【分析】（1）根据抛物线的对称轴