高中数学 课时跟踪检测（十七）数学归纳法 新人教a版选修

课时跟踪检测(十七)数学归纳法一、选择题1某个与正整数有关的命题：如果当nk(kN*)时命题成立，则可以推出当nk1时该命题也成立现已知n5时命题不成立，那么可以推得()A当n4时命题不成立B当n6时命题不成立C当n4时命题成立D当n6时命题成立解析：选A因为当nk(kN*)时命题成立，则可以推出当nk1时该命题也成立，所以假设当n4时命题成立，那么n5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n4时命题不成立2证明1(nN*)，假设nk时成立，当nk1时，左端增加的项数是()A1Bk1Ck D2k解析：选D当nk时，不等式左端为1；当nk1时，不等式左端为1，增加了项，共(2k11)2k12k项3已知数列an的前n项之和为Sn且Sn2nan(nN*)，若已经算出a11，a2，则猜想an等于()A. B.C. D.解析：选Da11，a2，S31a36a3，a3.同理可得a4.观察1，猜想an.4设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”，那么下列命题总成立的是()A若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立B若f(5)25成立，则当k4时，均有f(k)k2成立C若f(7)49成立，则当k8时，均有f(k)k2成立D若f(4)25成立，则当k4时，均有f(k)k2成立解析：选D对于A，若f(3)9成立，由题意只可得出当k3时，均有f(k)k2成立，故A错；对于B，若f(5)25成立，则当k5时均有f(k)k2成立，故B错；对于C应改为“若f(7)49成立，则当k7时，均有f(k)k2成立”5已知123332433n3n13n(nab)对一切nN*都成立，那么a，b的值为()Aa，b BabCa0，b Da，b解析：选A法一：特值验证法，将各选项中a，b的值代入原式，令n1,2验证易知选A.法二：123332433n3n13n(nab)对一切nN*都成立，当n1,2时有即解得二、填空题6设f(n)1(nN*)，那么f(n1)f(n)等于_解析：f(n1)f(n).答案：7用数学归纳法证明.假设nk时，不等式成立，则当nk1时，应推证的目标不等式是_解析：观察不等式左边的分母可知，后一项比前一项多1，因此由nk到nk1左边多出了这一项答案：8用数学归纳法证明34n252n1能被14整除的过程中，当nk1时，34(k1)252(k1)1应变形为_解析：当nk1时，34(k1)252(k1)18134k22552k125(34k252k1)5634k2.答案：25(34k252k1)5634k2三、解答题9平面内有n(n2，nN*)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点证明：交点的个数f(n).证明：(1)当n2时，两条直线有一个交点，f(2)1，命题成立(2)假设当nk(k2，kN*)时，命题成立，即f(k).那么，当nk1时，第k1条直线与前k条直线均有一个交点，即新增k个交点，所以f(k1)f(k)kk，即当nk1时命题也成立根据(1)和(2)，可知命题对任何n2，nN*都成立10设数列的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1(n1,2,3，)(1)求a1，a2；(2)求的通项公式，并用数学归纳法证明解：(1)当n1时，x2a1xa10，有一根S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1.当n2时，x2a2xa20，有一根S21a2，于是2a2a20，解得a2.(2)由题设(Sn1)2an(Sn1)an0，即S2Sn1anSn0.当n2时，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10.(*)由(1)知S1a1，S2a1a2.由(*)可得S3.由此猜想Sn，n1,2,3，.下面用数学