高中数学 第二章 推理与证明 2_3 数学归纳法课堂探究 新人教b版选修2-21

高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法课堂探究 新人教B版选修2-2探究一 利用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式时，要注意弄清楚等式两边的构成规律，例如：等式两边的项数是多少，项的多少与n的关系是什么，由nk到nk1时项数增加多少项，增加怎样的项等【典型例题1】 用数学归纳法证明：(nN)证明：(1)当n1时，左边，右边，左边右边，所以等式成立(2)假设当nk(k1，kN)时等式成立，即，则当nk1时，.所以当nk1时，等式也成立由(1)(2)知等式对nN成立探究二 用数学归纳法证明不等式运用数学归纳法证明不等式时，在利用了归纳假设后，要注意根据欲证目标，灵活地运用比较法、放缩法等技巧来进行证明【典型例题2】 用数学归纳法证明：1(其中nN，n1)思路分析：按照数学归纳法证明数学问题的方法与步骤进行证明，在由nk证nk1成立时，可利用比较法或放缩法证得结论证明：(1)当n2时，左边1，右边，10，所以左边右边，即不等式成立(2)假设当nk(k2，kN)时，不等式成立，即1 ，则当nk1时，1 .(方法1)因为0，所以，即1 .(方法2)因为，所以1 .即当nk1时原不等式也成立，由(1)(2)知原不等式成立点评 本例中在应用归纳假设后，方法1是利用了比较法，方法2是利用了放缩法来进行后面的证明探究三 用数学归纳法证明整除问题与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明，证明的关键在于第二步中，根据归纳假设，将nk1时的式子进行增减项、倍数调整等变形，使之能与归纳假设联系起来【典型例题3】 用数学归纳法证明：n3(n1)3(n2)3能被9整除(nN)思路分析：在第二步时注意根据归纳假设进行拼凑证明：(1)当n1时，13233336能被9整除，所以结论成立；(2)假设当nk(kN，k1)时结论成立，即k3(k1)3(k2)3能被9整除则当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3k3(k1)3(k2)3(k3)3k3k3(k1)3(k2)39k227k27k3(k1)3(k2)39(k23k3)因为k3(k1)3(k2)3能被9整除，9(k23k3)也能被9整除，所以(k1)3(k2)3(k3)3也能被9整除，即nk1时结论也成立由(1)(2)知命题对一切nN成立探究四 归纳猜想证明1由已知条件首先计算数列an的前几项的值，根据前几项值的特点，猜想出数列an的通项公式或递推公式，利用数学归纳法加以证明是求数列通项的一种常见的方法2在对猜想得到的结论用数学归纳法进行证明时，要注意从归纳的过程中发现证明的方法【典型例题4】 某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n2，数列的前n项之积为n2.(1)写出这个数列的前五项；(2)写出这个数列的通项公式并加以证明思路分析：根据数列前五项写出这个数列的通项公式，要注意观察数列中各项与其序号变化的关系，归纳出构成数列的规律同时还要特别注意第一项与其他各项的差异，必要时可分段表示证明这个数列的通项公式可用数学归纳法解：(1)已知a11，由题意，得a1a222，a222.a1a2a332，a3.同理，可得a4，a5.因此该数列的前五项为1,4，.(2)观察这个数列的前五项，猜测数列的通项公式应为an下面用数学归纳法证明当n2，nN时，an.当n2时，a222，猜想正确假设当nk(k2，kN)时，猜想正确，即ak.a1a2ak1(k1)2，a1a2ak1akak1(k1)2，ak1，当nk1时，猜想也正确根据和，可知当n2，nN时，这个数列的通项公式是an.an探究五 易错辨析易错点：因不运用归纳假设而出错【典型例题5】 用数学归纳法证明：(nN)错证：(1)当n1时，左边，右边，等式成立(2)假设当nk(k1，kN)时等式成立，那么当nk1时，直接使用裂项相减法求得，即当nk1时等式成立由(1)和(2)，可知等式对一切nN都成立错因分析：由nk到nk1时等式的证明没有用归纳假设，而是运用了数列中的求和方法证得的，虽然结论正确，但没有运用数学归纳法证明，