高三数学上学期教学质量调研试题（三）（扫描版含附加题）

系统掌握蕴含其中的马克思主义立场观点方法，要在系统学习、深刻领会、科学把握习近平教育思想上下功夫。精心组织开展学习宣传贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神知识问答活动。江苏省如皋市2017届高三数学上学期教学质量调研试题（三）（扫描版，含附加题）2016-2017学年度高三年级教学质量调研（三）理科数学附加题21. 已知数列 满足（1） 求 并猜想出数列的通项公式；（2） 用数学归纳法证明（1）的猜想20162017学年度高三年级第一学期教学质量调研（三）参考答案及评分标准1 2 -1 3 43 5 6 1 7 5 81269 -2 10 11 12 13 17 14 15解：（1）在中，由，且得，. 2分所以=. 6分（2）由，且得，. 8分所以=. 10分又，所以， 12分在中，由正弦定理得，. 14分（评讲建议：将第（2）改成求）16解： 记圆锥的底面半径为，母线长为，由题意，故 2分（1）因为，所以. 6分（2）记，而， 8分当时，则单调递减；当时，则单调递增；所以，是的极小值点，也是最小值点，故. 10分因此，当时，. 12分答：当锥形漏斗的高时，侧面用料最省为 14分17解： 由题意，两点的坐标为. 2分（1）设点的坐标为，则有，且，. 4分由已知得， 6分解得，或 ，即的坐标为或. 8分（2）设点的坐标为，则，且，. 10分所以=. 12分故，当时，取最小值1. 14分18解：（1）由得，两边平方，从而得到，则有，即，即证. 2分（2）证明：联立得，则 ；(*) 4分同理， . (*) 6分由得，代入（*）得，.所以，=. 8分由得，和，从而由(*)得.由题意可设直线的方程为：， 10分设点和的坐标分别为和联立，得，则，. 12分=. 14分由得，即. 16分（评讲建议：条件“椭圆，的离心率均为”是为了简化计算而设计的，实际上最后的结果与其无关，若用焦半径公式直接求弦长更简洁，但需要证明焦半径公式才能使用）19（1）证明：因为数列为等差数列，设（为常数，），即， 2分当时，又，符合上式，所以， 4分则（常数），所以，数列为等差数列. 6分（2）解：因数列均为等比数列，则有和均成等比，即 ， 8分亦即，解得或. 10分 若，则数列是以为首项， 为公比的等比数列，所以，从而，此时，故数列也为等比数列，符合题意. 12分若，则数列是以为首项， 为公比的等比数列，所以，从而， 14分当时，从而，故数列不为等比数列，不符合题意.综合可知，. 16分20（1）解：当时，所以， 当时，；当时，；故在上单调递增，在上单调递减 2分（2）证明：记，由题意即证，当时， 又， 4分记，则，故在上单调递减，则， 6分所以在上恒成立，则在上单调递减，即证 8分（3）解：由题意，若，则，故在上单调递增，又因为，且由零点存在定理知，在上有且只有一个零点 10分 若，当，则在上单调递增；当，则在上单调递增所以，是在上的极大值点，也是最大值点，（i）当时，即，恒成立，则在上无零点；（ii）当时，即，则在上有一个零点；（iii）当时，即， 12分而当时，有，理由如下：令，则，所以在上单调递增，即，由（2）知，而，由在上的单调性及零点存在定理知，分别在和上各有一个零点，即在上有两个零点14分综上所述，当或时，在上有一个零点；当时，在上有两个零点；当时，在上没有零点16分附加题参考答案及评分标准21 解： （1）由，同理可求，猜想 -5分（2）证明：当时，猜想成立.假设当时，猜想成立，即，则当时，有，所以当时猜想成立综合，猜想对任何都成立. -10分评卷注意：在归纳如果没有扣1分.22解：（1）直线的方程为：，椭圆的方程为：4分（2）设，联立得，则有，所以 10分23解：（1）记“线路通畅”为事件，则事件包含或两种事件，且它们互斥，因为；所以 4分（2）由题意，可能的取值为5,6,7,8,9，； 8分其分布表如下：56789所以，的数学期望为： 10分24（1）记展开式的第项为当为奇数时，中间项为和，当为偶数时，中间项为 2分（注：没有分奇偶讨论，本问不得分）（2）由题意， 在等式两边分别对求导，得： ， （*）令，则有，所以 （*） 4分再在（*）两边分别对求导，得 6分再令，则有；由（*）得， 8分所以，= 10