高考数学专题复习 专题3 导数及其应用 第21练 利用导数研究不等式问题练习 理

我们在这里，召开私营企业家联谊会，借此机会，我代表成都市渝中工商局、渝中区私营企业协会，祝各位领导新年快乐、工作愉快、身体健康，祝各位企业家事业兴旺（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题3 导数及其应用 第21练 利用导数研究不等式问题练习 理训练目标(1)利用导数处理与不等式有关的题型；(2)解题步骤的规范训练训练题型(1)利用导数证明不等式；(2)利用导数解决不等式恒成立问题及存在性问题；(3)利用导数证明与数列有关的不等式解题策略(1)构造与所证不等式相关的函数；(2)利用导数求出函数的单调性或者最值再证明不等式；(3)处理恒成立问题注意参变量分离.1已知函数f(x)x2axaln x(aR)(1)若函数f(x)在x1处取得极值，求a的值；(2)在(1)的条件下，求证：f(x)4x.2(2016淮安模拟)已知函数f(x)ax1ln x，aR.(1)讨论函数的单调区间；(2)若函数f(x)在x1处取得极值，对x(0，)，f(x)bx2恒成立，求实数b的取值范围3(2016山西四校联考)已知f(x)ln xxa1.(1)若存在x(0，)，使得f(x)0成立，求a的取值范围；(2)求证：在(1)的条件下，当x1时，x2axaxln x成立4设函数f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)若曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y4x2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x2时，f(x)kg(x)，求k的取值范围5(2016陕西质量监测)设函数f(x)exax1.(1)当a0时，设函数f(x)的最小值为g(a)，求证：g(a)0；(2)求证：对任意的正整数n，都有1n12n13n1nn1(n1)n1.答案精析1(1)解f(x)2xa，由题意可得f(1)0，解得a1.经检验，a1时f(x)在x1处取得极值，所以a1.(2)证明由(1)知，f(x)x2xln x，令g(x)f(x)3xln x，由g(x)x23x33(x1)(x0)，可知g(x)在(0,1)上是减函数，在(1，)上是增函数，所以g(x)g(1)0，所以f(x)4x成立2解(1)在区间(0，)上，f(x)a.若a0，则f(x)0，f(x)是区间(0，)上的减函数；若a0，令f(x)0得x.在区间(0，)上，f(x)0，函数f(x)是减函数；在区间(，)上，f(x)0，函数f(x)是增函数综上所述，当a0时，f(x)的单调递减区间是(0，)，无单调递增区间；当a0时，f(x)的单调递增区间是(，)，单调递减区间是(0，)(2)因为函数f(x)在x1处取得极值，所以f(1)0，解得a1，经检验满足题意已知f(x)bx2，则x1ln xbx2,1b，令g(x)1，则g(x)，易得g(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，)上单调递增，所以g(x)ming(e2)1，即b1.3(1)解原题即为存在x0，使得ln xxa10，aln xx1，令g(x)ln xx1，则g(x)1.令g(x)0，解得x1.当0x1时，g(x)0，g(x)为减函数，当x1时，g(x)0，g(x)为增函数，g(x)ming(1)0，ag(1)0.故a的取值范围是0，)(2)证明原不等式可化为x2axxln xa0(x1，a0)令G(x)x2axxln xa，则G(1)0.由(1)可知xln x10，则G(x)xaln x1xln x10，G(x)在(1，)上单调递增，G(x)G(1)0成立，x2axxln xa0成立，即x2axaxln x成立4解(1)由已知得f(0)2，g(0)2，f(0)4，g(0)4.而f(x)2xa，g(x)ex(cxdc)故b2，d2，a4，dc4.从而a4，b2，c2，d2.(2)由(1)知，f(x)x24x2，g(x)2ex(x1)设函数F(x)kg(x)f(x)2kex(x1)x24x2，则F(x)2kex(x2)2x42(x2)(kex1)由题设可得当x2时，F(0)0，即k1.令F(x)0，得x1ln k，x22.若1ke2，则2x10.从而当x(2，x1)时，F(x)0；当x(x1，)时，F(x)0.即F(x)在(2，x1)上单调递减，在(x1，)上单调递增故F(x)在2，)上的最小值为F(x1)而F(x1)2x12x4x12x1(x12)0.故当x2时，F(x)0，即f(x)kg(x)恒成立若ke2，则F(x)2e2(x2)(exe2)从而当x2时，F(x)0，即F(x)在(2，)上单调递增而F(2)0，故当x2时，F(x)0，即f(x)kg(x)恒成立若ke2，则F(2)2ke222e2(ke2)0.从而当x2时，f(x)kg(x)不可能恒成立综上，k的取值范围是1，e25证明(1)由a0及f(x)exa可得，函数f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故函数f(x)的最小值为g(a)f(ln a)eln aaln a1aaln a1，则g(a)ln a，故当a(0,1)时，g(a)0；当a(1，)时，g(a)0，从而可知g(a)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，且g(1)0，故g(a)0.(2)由(1)可知，当a1时，总有f(x)exx10，当且仅当x0时等号成立，即当x0时，总有exx1.于是，可得(x1)n1(ex)n1e(n1)x.令x1，即x，可得n1en；令x1，即x，可得n1e(n1)；令x1，即x，可得n1e(n2)；令x1，即x，可得n1e1.对