《数域的判定》word版.docx

题目：数域的判定研究问题：数域方法：定义法例题：例1.证明两个数域之交是一个数域设A和B是两个数域，若存在两个数x,yAB,且y0,则由于x,yA,x/yA;x,yB,x/yB,所以x/yAB.即AB是一个数域.例2.证明两个数域“之并”未必是数域.如：A=x|x=a+b2,a,bQB=x|x=a+b3,a,bQ看它们的并集中分别取A、B中一个元素相加,看还在并集里吗?事实证明是不一定的，所以两个数域“之并”未必是数域例3.判断下列说法是否正确。（1） 自然数集N及整数集Z都不是数域。 解：对的，自然数集和整数集不是数域，有理数集是数域，因为自然数和整数不一定存在逆元a*a（-1）=1 不满足这一条。（2） 奇数集不是数域。 解：对的例4.证明多项式f(x)=1-(x-1)(x-2)(x-3)(x-n)在有理数域上不可约。方便起见,不妨改为证明f(x) = (x-1)(x-2)(x-3).(x-n)-1不可约.用反证法,假设f(x) = g(x)h(x),其中g(x),h(x)都是次数不小于1的有理系数多项式.由Gauss引理,不妨设g(x)与h(x)都是首1的整系数多项式.依次带入x = 1,2,.,n,可知g(k)h(k) = f(k) = -1,对k = 1,2,.,n.而g(k)与h(k)都是整数,可知g(k)和h(k)只能是1.且g(k) = 1时h(k) = -1,而g(k) = -1时h(k) = 1.因此总有g(k)+h(k) = 0,对k = 1,2,.,n.多项式g(x)+h(x)有n个不同的根,但其次数 n (g(x)与h(x)的次数都小于n),于是g(x)+h(x)恒等于0,但这与g(x),h(x)的最高次项系数为1矛盾.所以f(x)不可约.例5.设A为数域P上的n阶矩阵,数a为A的n重特征值,证明A=aE为数量矩阵由已知,存在可逆矩阵Q满足 Q-1AQ = diag(a,a,.,a) = aE所以 A = Q(aE)Q-1 = aQQ-1 = aE例6.设A是数域P上的n阶矩阵,数a为A的n重特征值,如果A在P上相似于对角矩阵,证明A=aE为数量矩阵由于A可对角化,故A的最小多项式无重根（这是个定理）又由于a为A的n重特征根,故A有n个初等因子,都为-a故A的若当标准型为diag(a,a,.,a)故存在可逆矩阵P使得P(-1)AP=diag(a,a,.,a)=aE（此也为定理）故A=PaEP(-1)=aE例7.设 A是数域P 上一个N*N 阶矩阵,证明 A与 AT相似设x1 x2 .xn 为A的特征值a1,a2,.,an对应的特征向量,记X=x1,x2,.,xn 其是可逆的则有 X(-1)AX=diag(a1,a2,.,an)又有XAX(-1)=diag(a1,a2,.,an)故有XAX(-1)=X(-1)AX进而有 (XX)A(XX)(-1)=A故有A和A 相似例8.设A 是数域F上的n阶方阵,并且有n个特征值.证明,存在数域F上的可逆矩阵T使得T-1AT为上三角矩阵.证明：设1,.,s为A的所有不同的实特征根,且可知A与某一Jordan标准型矩阵J相似,即存在可逆实矩阵P使得P(-1)AP=J,其中,J1 i 1J2 iJ= .Ji=.1Jn 为Jordan标准型,而 i ,i=1,2,.,s由于i都为实数,所以J为上三角形实矩阵.又由QR分解原理,矩阵P可以分解为TS,其中T为正交矩阵,S为上三角形矩阵,则有P(-1)AP=S(-1)T(-1)ATS=J,即T(-1)AT=SJS(-1)由于S,J,S(-1)均为上三角形矩阵,故结论成立.证毕.例9.设V是有理数域上的线性空间，V的维数是n，A与B是V的线性变换，B可对角化，AB-BA=A,证：存在正整数m，使得A的m次幂是零变换证明：对B的任何一个特征向量X, 设BX = X, 即X是B的属于特征值的特征向量.由AB-BA = A, 有ABX-BAX = AX, 故AX-BAX = AX, B(AX) = (-1)AX.若AX非零, 则AX是B的属于特征值-1的特征向量.重复上述过程, 若AX非零, 则AX是B的属于特征值-2的特征向量.依此类推, 直至第n次: 若(An)X非零, 则(An)X是B的属于特征值-n的特征向量.但V的维数为n, B不可能有n+1个特征值, -1,., -n.所以对某个k n, 有(Ak)X = 0, 从而也有(An)X = 0.由B可对角化, 其特征向量构成V的一组基.An在V的一组基上都取0, 所以An = 0.例10.设A为数域P上的线性空间V的线性变换，证明：A可逆则A无0特征值；A可逆，则A1与A有相同的特征向量，若0为A的特征值，则0-1为A-1的特征值证明：（1）用反证法。若0是特征值，是对应的特征向量，那么：A0于是，一方面：A(-1)A=A(-1)0=0另一方面：A(-1)A=A(-1)A=0这就得出矛盾。因此，A可逆则A无0特征值。（2）设是0对应的特征向量，那么： A0两边作用A(-1)得：A(-1)A=A(-1)00A(