高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题4 立体几何 突破点10 空间几何体表面积或体积的求解专题限时集训 理

系统掌握蕴含其中的马克思主义立场观点方法，要在系统学习、深刻领会、科学把握习近平教育思想上下功夫。精心组织开展学习宣传贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神知识问答活动。专题限时集训(十) 空间几何体表面积或体积的求解 建议A、B组各用时：45分钟 A组高考达标一、选择题1(2016石家庄二模)一个三棱锥的正视图和俯视图如图1011所示，则该三棱锥的侧视图可能为()图1011D分析三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD平面BCD，故选D.2(2016潍坊二模)已知某几何体的三视图如图1012所示，则该几何体的体积为()图1012A.B.C.D(2)B由三视图可知该几何体由半球内挖去一个同底的圆锥得到，所以该几何体的体积为V13121.3(2016烟台模拟)某几何体的三视图如图1013所示，则该几何体的体积与其外接球的体积之比为()图1013A13B.C13D1D由三视图可知，几何体是一个三棱柱，体积V12224，设外接球的半径为R，则4R222222212，所以R.所以球的体积V2R34，体积比V1V2441.4(2016湖北七市模拟)已知某几何体的三视图如图1014所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为()图1014A.B2 C3D4B分析题意可知，该几何体是由如图所示的三棱柱ABCA1B1C1截去四棱锥ABEDC得到的，故其体积V22322，故选B.5(2016广州二模)如图1015，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为()图1015A884B882C22D.A在正方体中还原出该四面体CA1EC1如图所示，可求得该四面体的表面积为884.二、填空题6(2016昆明一模)已知三棱锥PABC的顶点P，A，B，C在球O的球面上，ABC是边长为的等边三角形，如果球O的表面积为36，那么P到平面ABC距离的最大值为_32依题意，边长是的等边ABC的外接圆半径r1.球O的表面积为364R2，球O的半径R3，球心O到平面ABC的距离d2，球面上的点P到平面ABC距离的最大值为Rd32.7(2016山东省实验中学模拟)三棱锥PABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥DABE的体积为V1，PABC的体积为V2，则_.如图，设SABDS1，SPABS2，E到平面ABD的距离为h1，C到平面PAB的距离为h2，则S22S1，h22h1，V1S1h1，V2S2h2，所以.8(2016海口二模)半径为2的球O中有一内接正四棱柱(底面是正方形，侧棱垂直底面)当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是_16()设内接正四棱柱底边长为a，高为h，那么162a2h22ah，正四棱柱的侧面积S4ah16，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是16()三、解答题9(2016合肥二模)如图1016，P为正方形ABCD外一点，PB平面ABCD，PBAB2，E为PD的中点图1016(1)求证：PACE；(2)求四棱锥PABCD的表面积解(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF，则EFADBC，即EF，BC共面PB平面ABCD，PBBC，又BCAB且PBABB，BC平面PAB，BCPA.3分PBAB，BFPA，又BCBFB，PA平面EFBC，PACE.6分(2)设四棱锥PABCD的表面积为S，PB平面ABCD，PBCD，又CDBC，PBBCB，CD平面PBC，CDPC，即PCD为直角三角形，8分由(1)知BC平面PAB，而ADBC，AD平面PAB，故ADPA，即PAD也为直角三角形SABCD224，SPBCSPABSPDA222，SPCD22，10分S表SABCDSPBCSPDASPABSPCD102.12分10(2016湖北七市模拟)如图1017，一个侧棱长为l的直三棱柱ABCA1B1C1容器中盛有液体(不计容器厚度)若液面恰好分别过棱AC，BC，B1C1，A1C1的中点D，E，F，G.图1017(1)求证：平面DEFG平面ABB1A1；(2)当底面ABC水平放置时，求液面的高解(1)证明：因为D，E分别为棱AC，BC的中点，所以DE是ABC的中位线，所以DEAB.又DE平面ABB1A1，AB平面ABB1A1，所以DE平面ABB1A1.同理DG平面ABB1A1，又DEDGD，所以平面DEFG平面ABB1A1.6分(2)当直三棱柱ABCA1B1C1容器的侧面AA1B1B水平放置时，由(1)可知，液体部分是直四棱柱，其高即为原直三棱柱ABCA1B1C1容器的高，即侧棱长l，当底面ABC水平放置时，设液面的高为h，ABC的面积为S，则由已知条件可知，CDEABC，且SCDES，所以S四边形ABEDS.9分由于两种状态下液体体积相等，所以V液体ShS四边形ABEDlSl，即hl.因此，当底面ABC水平放置时，液面的高为l.12分B组名校冲刺一、选择题1(2016济宁模拟)如图1018所示，四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，且PD2，底面是边长为2的菱形，M是CD的中点，平面PMB平面PCD，则该四棱锥的体积为()图1018A.B4C.D4A过点D在平面PCD内作DNPM于点N，又平面PMB平面PCD，平面PMB平面PCDPM，所以DN平面PMB，所以DNBM.又由PD平面ABCD，得PDBM，又PD与DN是平面PDC内的两条相交直线，所以BM平面PDC，则BMCD.又点M是CD的中点，BCCD，所以BCD60，所以底面菱形ABCD的面积为22sin 602，故该四棱锥的体积为22.2(2016重庆二模)某几何体的三视图如图1019所示，则该几何体的体积为()图1019A.B.C.D.B根据三视图可知，几何体是由一个直三棱柱与一个三棱锥所组成的，其中该直三棱柱的底面是一个直角三角形(直角边长分别为1,2，高为1)；该三棱锥的底面是一个直角三角形(腰长分别为1,2，高为1)，因此该几何体的体积为211211，选B.3(2016唐山二模)某几何体的三视图如图1020所示，则该几何体的体积为()图1020A64B4C.D2D由三视图知，该几何体为一个底面半径为1，高为1的圆柱体，与底面半径为1，高为2的半圆柱体构成，所以该三视图的体积为1211222，故选D.4(2016江西上饶三模)从点P出发的三条射线PA，PB，PC两两成60角，且分别与球O相切于A，B，C三点，若OP，则球的体积为()A.B.C.D.C设OP交平面ABC于O，由题得ABC和PAB为正三角形，所以OAABAP.因为AOPO，OAPA，所以，所以OA1，即球的半径为1，所以其体积为13.选C.二、填空题5(2016广州二模)一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点在同一个球面上，则该球的体积为_. 【导学号：67722038】由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r1, 其高h1，球半径为R，该球的体积VR33.6(2016开封一模)在三棱锥PABC中，ABBC，AC6，PC平面ABC，PC2，则该三棱锥的外接球表面积为_. 【导学号：67722039】由题可知，ABC中AC边上的高为，球心O在底面ABC的投影即为ABC的外心D，设DADBDCx，x232(x)2，解得x，R2x221(其中R为三棱锥外接球的半径)，外接球的表面积S4R2.三、解答题7如图1021，矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直，BADADC90，ABADCD，BEDF.图1021(1)若M为EA中点，求证：AC平面MDF；(2)若AB2，求四棱锥EABCD的体积解(1)证明：设EC与DF交于点N，连接MN，在矩形CDEF中，点N为EC中点，因为M为EA中点，所以MNAC.2分又因为AC平面MDF，MN平面MDF，所以AC平面MDF.4分(2)取CD中点为G，连接BG，EG，平面CDEF平面ABCD，平面CDEF平面ABCDCD，AD平面ABCD，ADCD，所以AD平面CDEF，同理ED平面ABCD，7分所以ED的长即为四棱锥EABCD的高.8分在梯形ABCD中，ABCDDG，ABDG，所以四边形ABGD是平行四边形，BGAD，所以BG平面CDEF.又DF平面CDEF，所以BGDF，又BEDF，BEBGB，所以DF平面BEG，DFEG.10分注意到RtDEGRtEFD，所以DE2DGEF8，DE2，所以VEABCDS梯形ABCDED4.12分8如图1022，在多面体ABCDM中，BCD是等边三角形，CMD是等腰直角三角形，CMD90，平面CMD平面BCD，AB平面BCD，点O为CD的中点，连接OM.图1022(1)求证：OM平面ABD；(2)若ABBC2，求三棱锥ABDM的体积解(1)证明：CMD是等腰直角三角形，CMD90，点O为CD的中点，OMCD.1分平面CMD平面BCD，平面CMD平面BCDCD，OM平面CMD，OM平面BCD.2分AB平面BCD，OMAB.3分AB平面ABD，OM平面ABD，OM平面ABD.4分(2)法一：由(1)知OM平面ABD，点M到平面ABD的距离等于点O到平面ABD的距离.5分过点O作OHBD，垂足为点H.AB平面BCD，OH平面BCD，OHAB.6分AB平面ABD，BD平面ABD，ABBDB，OH平面ABD.7分ABBC2，BCD是等边三角形，BD2，OD1，OHODsin 60.9分V三棱锥ABDMV三棱锥MABDABBDOH22.11分三棱锥ABDM的体积为.12分法二：由(1)知OM平面ABD，点M到平面ABD的距离等于点O到平面AB