高中数学 3_1_2 两角和与差的正弦学案 新人教b版必修4

“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线3.1.2两角和与差的正弦1.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式.(难点)2.能利用公式解决简单的化简求值问题.(重点)基础初探教材整理两角和与差的正弦阅读教材P136内容，完成下列问题.1.公式：名称简记符号公式使用条件两角和的正弦Ssin()sin cos cos sin ，R两角差的正弦Ssin()sin cos cos sin ，R2.重要结论辅助角公式：yasin xbcos xsin(x)(a，b不同时为0)，其中cos ，sin .判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两角和与差的正弦公式中的角，是任意的.()(2)存在，R，使得sin()sin sin 成立.()(3)对于任意，R，sin()sin sin 都不成立.()(4)sin 54cos 24sin 36sin 24sin 30.()【解析】(1).根据公式的推导过程可得.(2).当45，0时，sin()sin sin .(3).当30，30时，sin()sin sin 成立.(4).因为sin 54cos 24sin 36sin 24sin 54cos 24cos 54sin 24sin(5424)sin 30，故原式正确.【答案】(1)(2)(3)(4)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_疑问4：_解惑：_小组合作型给角求值(1)()A.B.C. D.(2)求sin 157cos 67cos 23sin 67的值；(3)求sin(75)cos(45)cos(15)的值.【精彩点拨】(1)化简求值应注意公式的逆用.(2)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值.【自主解答】(1)sin 30.【答案】C(2)原式sin(18023)cos 67cos 23sin 67sin 23cos 67cos 23sin 67sin(2367)sin 901.(3)sin(75)cos(45)cos(15)sin(1560)cos(1530)cos(15)sin(15)cos 60cos(15)sin 60cos(15)cos 30sin(15)sin 30cos(15)sin(15)cos(15)cos(15)sin(15)cos(15)0.1.对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：(1)化为特殊角的三角函数值；(2)化为正负相消的项，消去，求值；(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值.2.在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换.再练一题1.化简下列各式：(1)sin2sincos；(2)2cos().【解】(1)原式sin xcos cos xsin 2sin xcos 2cos xsin cos cos xsin sin xsin xcos xsin xcos xcos xsin xsin xcos x0.(2)原式.给值求值(2016青岛高一检测)已知，cos()，sin()，求sin 2的值.【导学号：72010078】【精彩点拨】观察出角的关系，即2()()，然后求出sin()和cos()的值，利用两角和的正弦公式求解结果.【自主解答】因为，所以0，.又cos()，sin()，所以sin() ，cos() .所以sin 2sin()()sin()cos()cos()sin().解答此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来，一般注意以下几方面：(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两“已知角”的和与差的形式.(2)当“已知角”有一个时，应注意“所求角”与“已知角”的和与差的形式，“所求角”再用诱导公式变成“已知角”.(3)角的拆分方法不唯一，应根据题目合理拆分.(4)用同角三角函数的基本关系式求值时，一定要注意角的范围.再练一题2.本例中条件不变，试求sin 2的值.【解】由例题中解法知：sin()，cos().所以sin2sin()()sin()cos()cos()sin().探究共研型辅助角公式的应用探究1函数ysin xcos x(xZ)的最大值为2对吗？为什么？【提示】不对.因为sin xcos xsin，所以函数的最大值为.探究2函数y3sin x4cos x的最大值等于多少？【提示】因为y3sin x4cos x5，令cos ，sin ，则y5(sin xcos cos xsin )5sin(x)，所以函数y的最大值为5.探究3如何推导asin xbcos xsin(x)公式.【提示】asin xbcos x，令cos ，sin ，则asin xbcos x(sin xcos cos xsin )sin(x)(其中角所在象限由a，b的符号确定，角的值由tan 确定，或由sin 和cos 共同确定).当函数ysin xcos x(0x2)取得最大值时，x_.【精彩点拨】可先用公式S将函数化为yAsin(x)形式再求最大值对应的x值.【自主解答】函数为ysin xcos x222sin，当0x2时，x，所以当y取得最大值时，x，所以x.【答案】1.对于形如sin cos ，sin cos 的三角函数式均可利用特殊值与特殊角的关系，运用和差角正、余弦公式化简为含有一个三角函数的形式.2.在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角函数求值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则.再练一题3.函数f (x)sin xcos的值域为()A.2,2 B.C.1,1 D.【解析】f (x)sin xcossin xcos xsin xsin xcos xsin，所以函数f (x)的值域为，.故选B.【答案】B构建体系1.(2016清远期末)化简：sin 21cos 81cos 21sin 81等于()A. B.C. D.【解析】原式sin(2181)sin 60.故选D.【答案】D2.函数ysin xcos x的最小正周期是()A. B.C.2 D.4【解析】ysin xcos xsin，所以T2.【答案】C3.()A. B.C. D.【解析】sin 30.【答案】C4.(2016淮安高一检测)sin 155cos 35cos 25cos 235_.【解析】原式sin 25cos 35cos 25sin 35sin(2535)sin 60.【答案】5.已知，均为锐角，sin ，cos ，求.【导学号：72010079】【解】，均为锐角，sin ，cos ，sin ，cos .sin sin ，0，sin()sin cos cos sin ，.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(二十五)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.(2015全国卷)sin 20cos 10cos 160sin 10()A.B.C.D.【解析】sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin(2010)sin 30，故选D.【答案】D2.(2016北京高一检测)在ABC中，A，cos B，则sin C等于()A. B.C. D.【解析】因为cos B且0B，所以sin B又A，所以sin Csin(AB)sincos Bcossin B.【答案】A3.已知，sin ，则sin()A.1 B.2C. D.【解析】，cos ，sinsin cos .【答案】C4.(2016温州高一检测)在ABC中，若sin B2sin Acos C，那么ABC一定是()A.等腰直角三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等边三角形【解析】在ABC中，因为sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C2sin Acos C，所以sin Acos Ccos Asin C0，即sin(AC)0，因为0A，0C，所以AC，所以AC0，即AC，所以ABC一定是等腰三角形，故选B.【答案】B5.已知sin()，sin()，则()【导学号：72010080】A. B.C. D.【解析】由已知sin()，sin()，得sin cos cos sin ，sin cos cos sin ，两式分别相加减得sin cos ，cos sin ，所以，故选D.【答案】D二、填空题6.求值：_.【解析】2.【答案】27.(2016汕头高一检测)已知cos ，cos()，则_.【解析】由题意得：sin ，sin()，所以cos cos()cos()cos sin()sin ，又，所以.【答案】8.若8sin 5cos 6,8cos 5sin 10，则sin()_.【解析】由8sin 5cos 6，两边平方，得64sin280sin cos 25cos236.由8cos 5sin 10，两边平方，得64cos280 cos sin 25sin2100.，得642580(sin cos cos sin )136，sin().【答案】三、解答题9.已知：，且cos，求cos ，sin 的值.【解】因为，所以0.因为cos，所以sin.所以sin sinsincos cossin ，cos coscoscos sinsin .10.(2016普宁高一检测)已知，0，cos，sin，求sin()的值.【解】因为，所以，所以sin.又因为0，所以cos，所以sin()sin()sin.能力提升1.已知f (x)sincos，则f (1)f (2)f (2 016)的值为()A.2 B.C.1 D.0【解析】f (x)sincos2sin2sin x，因为周期为6，且f (1)f (2)f (6)0 ，所以f (1)f (2)f (2 016)0.【答案】D2.(2016衡水高一检测)使函数f (x)sin(2x)cos(2x)为奇函数，且在区间上为减函数的的一个值为()A.B.C.D.【解析】f (x)sin(2x)cos(2x)222sin为奇函数，所以k(kZ)，所以k(kZ)，排除A和D；因为f (x)2sin在区间上为减函数，又2x2xkkZ，所以k为奇数，故选C.【答案】C3.在ABC中，若4sin A2cos B1,2sin B4cos A3，则sin C的值为_.【解析】由已知得(4sin A2cos B)2(2sin B4cos A)228，即16416(sin Acos Bcos Asin B)28，2016sin(AB)28，sin(AB)，sin Csin(AB)sin(AB).【答案】4.若函数f (x)(1