高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题2 三角函数解三角形平面向量 第10讲 高考中的三角函数专题限时集训 理

专题限时集训专题限时集训( (十一十一) ) 高考中的三角函数高考中的三角函数 (建议用时：45 分钟) 1(2014江苏高考)已知，sin . ( 2 ，) 5 5 (1)求 sin的值； ( 4 ) (2)求 cos的值 ( 5 6 2) 解 (1)因为，sin ， ( 2 ，) 5 5 所以 cos . 4 分 1sin2 2 5 5 故 sinsincos cossin ( 4 ) 4 4 . 6 分 2 2 ( 2 5 5 ) 2 2 5 5 10 10 (2)由(1)知 sin 22sin cos 2 ，cos 5 5 ( 2 5 5 ) 4 5 212sin212 2 ， 10 分 ( 5 5) 3 5 所以 coscoscos 2sinsin 2 ( 5 6 2) 5 6 5 6 Error!. 14 分 ( 3 2) 3 5 1 2 ( 4 5) 2(2016苏锡常镇调研二)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向 量m m(cos B，cos C)，n n(4ab，c)，且m mn n. (1)求 cos C的值； (2)若c，ABC的面积S，求a，b的值 3 15 4 解 (1)m mn n，ccos B(4ab)cos C， 由正弦定理，得 sin Ccos B(4sin Asin B)cos C， 化简，得 sin(BC)4sin Acos C 4 分 ABC，sin Asin(BC) 又A(0，)，sin A0，cos C . 6 分 1 4 (2)C(0，)，cos C ，sin C. 10 分 1 41cos2C 1 1 16 15 4 Sabsin C，ab2. 1 2 15 4 c，由余弦定理得 3a2b2ab， 12 分 3 1 2 a2b24， 由，得a44a240，从而a22，a(舍负)，所以b， 22 ab. 14 分 2 3(2016南通二调)在斜三角形ABC中，tan Atan Btan Atan B1. (1)求C的值； (2)若A15，AB，求ABC的周长 2 解 (1)因为 tan Atan Btan Atan B1，即 tan Atan B1tan Atan B， 2 分 因为在斜三角形ABC中，1tan Atan B0， 所以 tan(AB)1， 4 分 tan Atan B 1tan Atan B 即 tan(180C)1，亦即 tan C1， 因为 0C180，所以C135. 6 分 (2)在ABC中，A15，C135，则B180AC30，7 分 由正弦定理，得 BC sin A CA sin B AB sin C 2， 10 分 BC sin 15 CA sin 30 2 sin 135 故BC2sin 152sin(4530)2(sin 45cos 30cos 45sin 30) ，CA2sin 301. 12 分 6 2 2 所以ABC的周长为ABBCCA1. 14 分 2 6 2 2 2 6 2 2 4(2016镇江期中)广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观， 设计成的平面图由半径为 2m的扇形AOB和三角区域BCO构成，其中C，O，A在一条直线上， ACB，记该设施平面图的面积为S(x) m2，AOBx rad，其中x. 4 2 图 104 (1)写出S(x)关于x的函数关系式； (2)如何设计AOB，使得S(x)有最大值？ 解 (1)由已知可得CBOx，S扇形AOBlr2x， 2 分 4 1 2 在BCO中，由正弦定理可得： ，所以CO2(sin xcos x)， CO sinCBO BO sin C 从而SCBOBOCOsinBOC2sin2x2sin xcos x， 4 分 1 2 所以S(x)2sin2x2sin xcos x2x2sin x(sin xcos x)2x. 6 ( 2 x) 分 (2)S(x)2(sin 2xcos 2x)22sin2， 7 分 2 (2x 4) 由S(x)0，解得x， 3 4 令S(x)0，解得x，所以增区间是； 9 分 2 3 4 ( 2 ，3 4 ) 令S(x)0，解得x，所以减区间是； 11 分 3 4 ( 3 4 ，) 所以S(x)在x处取得最大值是 2 m2. 13 分 3 4 3 2 答：设计成AOB时，该设施的平面图面积最大是 2 m2. 14 分 3 4 3 2 5在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 2(tan Atan B) tan A cos B . tan B cos A (1)证明ab2c； (2)求 cos C的最小值 【导学号：19592034】 解 (1)证明：由 2(tan Atan B)得 tan A cos B tan B cos A ， 3 分 2sin C cos Acos B sin A cos Acos B sin B cos Acos B 2sin Csin Asin B， 4 分 由正弦定理得 ab2c. 6 分 (2)由 cos C a2b2c2 2ab ab22abc2 2ab 11 3c2 2ab 3c2 2(ab 2 )2 1 . 13 分 3 2 1 2 cos C的最小值为 . 14 分 1 2 6如图 105，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直， 它们的高度分别是 9 m 和 15 m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角CAD45. 图 105 (1)求BC的长度； (2)在线段BC上取一点P(点P与点B，C不重合)，从点P看这两座建筑物的视角分别 为APB，DPC，问点P在何处时，最小？ 解 (1)作AECD，垂足E，则CE9，DE6，设BCx， 2 分 则 tanCADtan(CAEDAE)1， tan CAEtanDAE 1tanCAE tanDAE 9 x 6 x 19 x 6 x 4 分 化简得x215x540， 解得x18 或x3(舍). 6 分 (2)设BPt，则CP18t(00，f(t)是增函数， 10 分 6 所以，当t1527 时，f(t)取得最小值，