二次函数的图像与性质及练习.doc

二次函数的图像与性质一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 【说明】这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值2. 的性质：上加下减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值3. 的性质：左加右减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值4. 的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值5. 二次函数的性质 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法二：沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）四、二次函数与的比较从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中五、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：（，为常数，）；2. 顶点式：（，为常数，）；3. 两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.六、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小2. 一次项系数 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴 在的前提下，当时，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的右侧 在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的左侧总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”总结： 3. 常数项 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负/ 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的 4.利用二次函数与轴的交点的个数来确定判别式的符号，利用特殊点的坐标确定特殊代数式的值的范围。有时还要利用等量代换来判断特殊代数式的值的范围。二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式二次函数的图像与性质应用举例：例1：小强从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）；（2） ；（3）；（4） ； （5）. 你认为其中正确信息的个数有（C）A2个 B3个 C4个 D5个11Oxy例2：已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：；/；其中所有正确结论的序号是（ C ）ABCD例3：小明从图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：；，你认为其中正确信息的个数有（ C ）A2个B3个C4个D5个分析：错误.由得；由前面的分析知，又由题图知当时，将代入中得.【练】已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ； ； ； ； ，（的实数）其中正确的结论有（ C ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个分析：由图可知，从而，错误；又当时，错误；由抛物线的对称轴为直线知，当与时函数值相等，所以正确；因为，所以正确；因为二次函数的对称轴为直线，所以当时，函数取得最大值，即当时的函数值小于当时的函数值，所以，得，所以正确.例4：如图，是二次函数 yax2bxc（a0）的图象的一部分， 给出下列命题 ：a+b+c=0；b2a；ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；a-2b+c0其中正确的命题是 （只要求填写正确命题的序号）分析：由图知正确且，所以，所以错误；由正确得，所以，所以错误.【练】1. 已知二次函数的部分图象如图所示，它的顶点的横坐标为1，由图象可知关于的方程的两根为 3 2.二次函数图象的对称轴是直线，其图象的一部分如图所示对于下列说法：0；0；0；当1x3时，y0其中正确的是 （把正确的序号都填上）分析：由图可知，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，得，与轴的另一个交点为，所以，.例5：在同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（ C ）xy O xy O xy O xy O 例6：（1）已知二次函数的图象以A（1，4）为顶点，且过点B（2，5）求该函数的关系式；求该函数图象与坐标轴的交点坐标； 答：，交点坐标（2）抛物线过（1，0），（3，0），（1，4）三点，求二次函数的解析式； 答：例7：已知函数是关于的二次函数，求：（1）求满足条件的的值；（2）为何值时，抛物线有最低点？最低点坐标是多少？当x为何值时，y随x的增大而增大？（3）m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？ 答：（1）或；例8：（1）利用配方求函数的对称轴、顶点坐标。（2）利用公式求函数的对称轴、顶点坐标。，例9：已知二次函数的图象的对称轴是，且最高点在直线上，求这个二次函数的解析式。答：例10.如图，二次函数的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（4，0）（1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在点P，满足，请直接写出点P的坐标答：，P的坐标为或例11.如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D.（1）求此抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上的一个动点，求使：5 ：4的点P的坐标。答：，C，D，所以，P的坐标为或.二次函数练习试题一、选择题1. 二次函数的顶点坐标是( )A.(2,11) B.（2，7） C.（2，11） D. （2，3）2. 函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )3. 已知二次函数的图象如图所示,则下列结论: a,b同号;当和时,函数值相等;当时, 的值只能取0.其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个4. 已知二次函数的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是（）. B.-2.3 C.-0.3 D.-3.35. 已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为（ ）A. B. C. 或 D. 或二、填空题6. 二次函数的对称轴是，则_。7. 已知抛物线，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是 .8. 一个函数具有下列性质：图象过点（1，2），当0时，函数值随自变量的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）。9. 抛物线的顶点为C，已知直线过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。三、解答题：10. 已知二次函数图象的对称轴是,图象经过(