函数奇偶性的性质应用.doc

函数奇偶性的应用一、利用函数的奇偶性判断函数的单调性1 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反2 奇函数、偶函数的单调性的对称规律在不同区间内的自变量对应的函数值比较大小中作用很大对于偶函数，如果两个自变量在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即自变量的正负不统一，应利用图象的对称性将自变量化归到同一个单调区间，然后再根据单调性判断例若奇函数f(x)在a，b上是增函数，且有最大值M，则f(x)在b，a上是增函数，且有最小值M.例若偶函数f(x)在(，0)上是减函数，则f(x)在(0，)上是增函数例 如果f(x)是R上的奇函数，且在3,6上有最大值4，最小值2，那么函数f(x)在6，3上的最大值和最小值各是多少？提示：奇函数的图象关于原点对称，联想图象可知函数f(x)在6，3上的最大值为2，最小值为4.例若函数yf(x)(xR)是奇函数，且f(1)f(2)，则必有()Af(1)f(2)Cf(1)f(1) Df(2)f(1)解析：f(1)f(2)又已知f(x)是奇函数，f(1)f(2)答案：B例 函数yf(x)(xR)是奇函数，图象必过点A （a, f(a) B（-a, f(a) C（a, f(a)D（-a, f(a)例设f(x)是R上的偶函数，且在0，)上单调递增，则f(2)，f()，f(3)的大小顺序是_解析：f(x)是R上的偶函数，f(2)f(2)，f()f()，又f(x)在0，)上递增，而23f(3)f(2)，即f()f(3)f(2)答案：f()f(3)f(2)例函数f(x)是R上的偶函数，且在0，)上单调递增，则下列各式成立的是()Af(2)f(0)f(1)Bf(2)f(1)f(0)Cf(1)f(0)f(2)Df(1)f(2)f(0)解析：f(x)是R上的偶函数，f(2)f(2)，又f(x)在0，)上递增，f(2)f(1)f(0)答案：B例已知函数f(x)在区间5,5上是奇函数，在区间0,5上是单调函数，且f(3)f(1)，则()Af(1)f(1)Cf(1)f(5)思路分析：要比较各函数值的大小，需判断函数在区间5,5上的单调性，根据题意，应首先判断函数在区间0,5上的单调性解析：函数f(x)在区间0,5上是单调函数，又31，且f(3)f(1)，故此函数在区间0,5上是减函数由已知条件及奇函数性质，知函数f(x)在区间5,5上是减函数选项A中，3f(1)选项B中，01，故f(0)f(1)，选项D中f(3)0，x2x30，x3x10，则()Af(x1)f(x2)f(x3)0Bf(x1)f(x2)f(x3)f(x3)解析：利用减函数和奇函数的性质判断x1x20，x1x2.又f(x)是定义在R上单调递减的奇函数，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)0.同理，可得f(x2)f(x3)0，f(x1)f(x2)0.2f(x1)2f(x2)2f(x3)0.f(x1)f(x2)f(x3)0.则当nN时，有()Af(n)f(n1)f(n1)Bf(n1)f(n)f(n1)Cf(n1)f(n)f(n1) Df(n1)f(n1)0得f(x)在x(，0为增函数又f(x)为偶函数，所以f(x)在x0，)为减函数又f(n)f(n)且0n1nn1，f(n1)f(n)f(n1)，即f(n1)f(n)0时，f(x)x32x3，求f(x)在x0时的解析式解：f(x)是偶函数，f(x)f(x)，x0，f(x)(x)32(x)3x32x3.f(x)x32x3(x0时，。试求此函数的解析式。 解：（1）当x0时，于是； （2）当x0时，f(x)x22x2.(1)求f(x)的解析式；(2)画出f(x)的图象，并指出f(x)的单调区间解(2)先画出yf(x)(x0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应yf(x)(x0时，f(x)x|x2|，求x0时，f(x)的表达式解：x0，f(x)(x)|(x)2|.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)(x)|(x)2|x|x2|.故当x0时，f(x)x|x2|. 于原点对称，已知f(a)求f(a)，可尝试利用函数的奇偶性 f(x)u(x)1，f(x)u(x)1， f(x)f(x)u(x)u(x)2 u(x)是奇函数，u(x)u(x)0， f(x)f(x)2，则 例. 设，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，求f(x)的表示式。 解：f(x)是奇函数，有；g(x)是偶函数，有，则 即 两式相减得例 设x(1，1)，f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)2lg(1x)，求10f(x)和10g(x)的表达式 解：法一：与上例同法二：x(1，1)关于原点对称，又f(x)是偶函数f(x)f(x)，g(x)是奇函数g(x)g(x)，设f(x)g(x)2lg(1x)F(x)，则F(x)2lg(1x)，而F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)， 2f(x)F(x)F(x) 2lg(1x)lg(1x) 2lg(1x2) 又2g(x)F(x)F(x) 2lg(1x)lg(1x)三. 解不等式例若函数f(x)满足f(x)f(x)，又在(0，)上单调递增，且f(3)0，则不等式xf(x)0的解集是_解析：f(x)f(x)，f(x)为奇函数，则f(x)的简图如右图所示当x0，则x(3,0)；当x0时，f(x)0，则x(0,3)答案：(3,0)(0,3) 例. （2004年上海卷）设奇函数f(x)的定义域是-5，5。当时，f(x)的图象如图1，则不等式f(x)0的解是_。图1 解：根据奇函数图象关于原点成中心对称的性质，画出函数在区间-5，5上的图象如图2，易知不等式的解是。图2四. 函数的奇偶性的综合应用题 解决有关函数的奇偶性、单调性以及求字母取值范围的综合问题时，一般先利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题需要注意的是：在转化时，自变量必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式例已知函数f(x)是定义域为实数集R的偶函数，且在区间0，)上是增函数，若f(m)f(2)，求实数m的取值范围解：函数f(x)是实数集R上的偶函数，且在0，)上是增函数，所以f(x)在(，0)上是减函数当m0.(1)若ab，试比较f(a)与f(b)的大小；(2)解不等式f(x)b，则ab0，依题意有0成立，f(a)f(b)0.又f(x)是奇函数，f(a)f(b)0，即f(a)f(b)(2)由(1)可知f(x)在1,1上是增函数则所求不等式等价于例：定义在R上的偶函数在是单调递减，若，则的取值范围是如何？例. 已知函数是奇函数，当x0时，f(x)有最小值2，其中，且 （1）试求f(x)的解析式； （2）问函数f(x)的图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求