高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 第2讲 导数在研究函数中的应用 第3课时 导数与函数的综合应用课件 文 新人教版

第3课时 导数与函数的综合应用 考点一 用导数研究生活中的优化问题 x(3，4)4(4，6) f(x)0 f(x)单调递 增极大值42单调递 减 由上表可得，x4时，函数f(x)取得极大值，也是最大值， 所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42. 故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得 的利润最大. 规律方法 (1)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤： 设自变量、因变量，建立函数关系式yf(x)，并确定其 定义域； 求函数的导数f(x)，解方程f(x)0； 比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最 大(小)者为最大(小)值； 回归实际问题作答. (2)如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实 际意义该极值点就是最值点. 【训练1】 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度). 设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假 设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方 米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成 本为12 000元(为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该 蓄水池的 体积最大. 考点二 利用导数研究函数的零点或方程的根 【例2】 (2014全国卷)已知函数f(x)x33x2ax2，曲线y f(x)在点(0，2)处的切线与x轴交点的横坐标为2. (1)求a； (2)证明：当k0. 当x0时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调递 增， g(1)k10时，令h(x)x33x24，则g(x)h(x)(1k)xh(x). h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0，2)单调递 减，在(2，)单 调递增，所以g(x)h(x)h(2)0. 所以g(x)0在(0，)没有实根.综上，g(x)0在R有唯一实根 ，即曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点. 规律方法 (1)本题求解的关键是通过构造函数，把曲线与直 线交点问题转化为函数零点问题来解决. (2)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最 大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方 程根的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用. 【训练2】 (2016北京卷节选)设函数f(x)x3ax2bxc. (1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)设ab4，若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围. 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下： 考点三 导数在不等式中的应用(多维探究) 命题角度一 不等式恒成立问题 命题角度二 证明不等式 规律方法 (1)利用导数方法证明不等式f(x)g(x)在区间D上恒 成立的基本方法是构造函数h(x)f(x)g(x)，然后根据函数的 单调性或者函数的最值证明函数h(x)0. (2)不等式恒成立通常可以利用函数的单调性求出最值解决.解 答相应的参数不等式，如果易分离参数，可先分离变量，构 造函数，直接转化为函数的最值问题，避免参数的讨论. 思想方法 1.用导数方法证明不等式f(x)g(x)时，找到函数h(x)f(x)g(x) 的零点是解题的突破口. 2.在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x轴(或某直线)的 交点个数、不等式恒成立等问题时 ，常常需要求出其中参数 的取值范围，这类问题 的实质就是函数的单调性与函数的 极(最)值的应用.注意转化思想与数形结合思想的应用. 3.在实际问题 中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么 只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再 与端点的函数值比较. 易错防范 1.利用导数解决恒成立问题时 ，若分离参数后得到“af(x)恒 成立”，要根据f(x)的值确定a的范