八年级数学下册 第9章 中心对称图形—平行四边形优化思维训练题（含解析）（新版）苏科版

第九章中心对称图形一、选择题1矩形的一个内角平分线把矩形一条边分成3 cm和5 cm两部分，则矩形的周长为( ).A. 16 cm B. 22 cm C. 26 cm D. 22 cm和26 cm【考点】矩形的性质、分类思想 【分析】根据矩形的性质得到等腰三角形，根据分类思想，即可求出答案【解答】解：矩形的两边长为3、8或5、8，矩形的周长为22 cm和26 cm故选D【点评】本题主要考查对矩形的性质、分类思想的理解和掌握，能利用角平分线得到等腰三角形进行计算是解此题的关键2如图，在ABCD中，E是BC的中点，且AEC=DCE，则下列结论不正确的是( )ASAFD=2SEFBBBF=DFC四边形AECD是等腰梯形DAEB=ADC【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质 【分析】本题要综合分析，但主要依据都是平行四边形的性质【解答】解：A、ADBCAFDEFB=故SAFD=4SEFB；B、由A中的相似比可知，BF=DF，正确C、由AEC=DCE可知正确D、利用等腰三角形和平行的性质即可证明故选：A【点评】解决本题的关键是利用相似求得各对应线段的比例关系3如图，将沿着它的中位线DE折叠后，点落到点，若，则的度数是( ).A. 120 B. 112 C. 110 D. 108 【考点】三角形的内角和定理；中位线的性质 【分析】先利用三角形的内角和定理，再运用中位线的性质【解答】解：利用三角形的内角和定理得到B=340，再运用中位线的性质得到ADE=340=1800-340-340=1120故选：B4.将正三角形每条边四等分，然后过这些分点作平行于其他两边的直线，则以图中线段为边的菱形个数为( ).A. 15 B. 18 C. 21 D. 24【考点】数菱形 【分析】根据平行线的三种方向选两种组成平行四边形，再分边长为1、2两种。【解答】解：每种情况下边长为1的菱形有6个，3个6是18种，边长为2菱形有3个故选C【点评】本题分类是解题的关键5下列条件之一能使菱形ABCD是正方形的为( )ACBD BAD=90 AB=BC AC=BDABCD【考点】正方形的判定 【分析】直接利用正方形的判定方法，有一个角是90的菱形是正方形，以及利用对角线相等的菱形是正方形进而得出即可【解答】解：四边形ABCD是菱形，当BAD=90时，菱形ABCD是正方形，故正确；四边形ABCD是菱形，当AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故正确；故选：C【点评】此题主要考查了正方形的判定，正确掌握正方形的判定方法是解题关键6如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AG于点O则下列结论ABFCAE，AHC=120，AH+CH=DH中，正确的是( )ABCD【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质 【分析】由菱形ABCD中，AB=AC，易证得ABC是等边三角形，则可得B=EAC=60，由SAS即可证得ABFCAE；则可得BAF=ACE，利用三角形外角的性质，即可求得AHC=120；在HD上截取HK=AH，连接AK，易得点A，H，C，D四点共圆，则可证得AHK是等边三角形，然后由AAS即可证得AKDAHC，则可证得AH+CH=DH；易证得OADAHD，由相似三角形的对应边成比例，即可得AD2=ODDH【解答】解：四边形ABCD是菱形，AB=BC，AB=AC，AB=BC=AC，即ABC是等边三角形，同理：ADC是等边三角形B=EAC=60，在ABF和CAE中，ABFCAE（SAS）；故正确；BAF=ACE，AEH=B+BCE，AHC=BAF+AEH=BAF+B+BCE=B+ACE+BCE=B+ACB=60+60=120；故正确；在HD上截取HK=AH，连接AK，AHC+ADC=120+60=180，点A，H，C，D四点共圆，AHD=ACD=60，ACH=ADH，AHK是等边三角形，AK=AH，AKH=60，AKD=AHC=120，在AKD和AHC中，AKDAHC（AAS），CH=DK，DH=HK+DK=AH+CH；故正确；OAD=AHD=60，ODA=ADH，OADAHD，AD：DH=OD：AD，AD2=ODDH故正确故选D【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用7.如图，正方形的边长为2 . 是等边三角形，点在正方形内，在对 角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为( ). A. 2 B. C. D. 【考点】轴对称-最短路线问题 【分析】D关于AC的对称点是B PEB的长就是DP+EP的最小值，据此即可求解【解答】解：EB正好是等边三角形的边，所以EB=2故选A【点评】本题考查了轴对称，理解正方形的性质，对角线所在的直线是正方形的对称轴是关键8.如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，且，下列结论中，一定正确的个数是( ).是等腰三角形;四边形是菱形;.A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【考点】等腰三角形、中位线、菱形的性质 【分析】根据折叠，再利用相关性质【解答】解：显然无法根据菱形的性质判定四边形是菱形故选C9如图，周长为16的菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE=1，AF=3，P为BD上一动点，则线段EP+FP的长最短为( )A3B4C5D6【考点】轴对称-最短路线问题；菱形的性质 【分析】在DC上截取DG=FD=ADAF=43=1，连接EG，则EG与BD的交点就是PEG的长就是EP+FP的最小值，据此即可求解【解答】解：在DC上截取DG=FD=ADAF=43=1，连接EG，则EG与BD的交点就是PAE=DG，且AEDG，四边形ADGE是平行四边形，EG=AD=4故选B【点评】本题考查了轴对称，理解菱形的性质，对角线所在的直线是菱形的对称轴是关键10如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C1处，BC1交AD于点E，则线段DE的长为( )A3BC5D【考点】翻折变换（折叠问题） 【分析】首先根据题意得到BE=DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题【解答】解：设ED=x，则AE=6x，四边形ABCD为矩形，ADBC，EDB=DBC；由题意得：EBD=DBC，EDB=EBD，EB=ED=x；由勾股定理得：BE2=AB2+AE2，即x2=9+（6x）2，解得：x=3.75，ED=3.75故选：B【点评】本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答二、填空题11直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边中线长是 【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理 【分析】根据勾股定理求出斜边，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半计算即可【解答】解：直角三角形中，两直角边长分别为12和5，斜边=13，则斜边中线长是，故答案为：【点评】本题考查的是勾股定理的应用和直角三角形的性质的运用，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键12如图，一个含有30角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若1=25，则2= 【考点】平行线的性质 【分析】将各顶点标上字母，根据平行线的性质可得2=DEG=1+FEG，从而可得出答案【解答】解：四边形ABCD是矩形，ADBC，2=DEG=1+FEG=115故答案为：115【点评】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行内错角相等13如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为 cm【考点】菱形的性质、菱形的面积、勾股定理【分析】连接AC可得菱形ABCD的对角线AC=10【解答】解：四边形AECF是正方形，AC=10BD=24故答案为：13【点评】本题考查了菱形的性质、菱形的面积14.小明尝试着将矩形纸片 (如图(1) , )沿过点的直线折叠，使得点 落在边上的点处，折痕为 (如图(2);再沿过点的直线折叠，使得点落在边上的点处，点落在边上的点处，折痕为 (如图(3).如果第二次折叠后，点正好在的平分线上，那么矩形长与宽的比值为 .【考点】正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理【分析】先利用正方形的性质，再利用轴对称的性质，最后运用勾股定理【解答】解：运用好FC=MN,MG-FG.答案为：【点评】本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理 15ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，OAB的周长比OBC的周长大3，则AB=9【考点】平行四边形的性质 【分析】如图：由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，BC=AD，OA=OC，OB=OD；又由OAB的周长比OBC的周长大3，可得ABBC=3，又因为ABCD的周长是30，所以AB+BC=10；解方程组即可求得【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，BC=AD，OA=OC，OB=OD；又OAB的周长比OBC的周长大3，AB+OA+OB（BC+OB+OC）=3ABBC=3，又ABCD的周长是30，AB+BC=15，AB=9故答案为9【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角线互相平分解题时要注意利用方程思想与数形结合思想求解16如图，正方形ABCD的对角线长为8，E为AB上一点，若EFAC于F，EGBD于G，则EF+EG=4【考点】正方形的性质 【分析】正方形ABCD的对角线交于点O，连接0E，由正方形的性质和对角线长为8，得出OA=OB=4；进一步利用SABO=SAEO+SEBO，整理得出答案解决问题【解答】解：如图：四边形ABCD是正方形，OA=OB=4，又SABO=SAEO+SEBO，OAOB=OAEF+OBEG，即44=4（EF+EG）EF+EG=4故答案为：4【点评】此题考查正方形的性质，三角形的面积计算公式；利用三角形的面积巧妙建立所求线段与已知线段的关系，进一步解决问题三、解答题17如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB，BC的中点，MPAB交边CD于点P，连接NM，NP（1）若B=60，这时点P与点C重合，则NMP=30度；（2）求证：NM=NP；（3）当NPC为等腰三角形时，求B的度数【考点】四边形综合题 【分析】（1）根据直角三角形的中线等于斜边上的一半，即可得解；（2）延长MN交DC的延长线于点E，证明MNBENC，进而得解；（3）NC和PN不可能相等，所以只需分PN=PC和PC=NC两种情况进行讨论即可【解答】解：（1）MPAB交边CD于点P，B=60，点P与点C重合，NPM=30，BMP=90，N是BC的中点，MN=PN，NMP=NPM=30；（2）如图1，延长MN交DC的延长线于点E，四边形ABCD是菱形，ABDC，BMN=E，点N是线段BC的中点，BN=CN，在MNB和ENC中，MNBENC，MN=EN，即点N是线段ME的中点，MPAB交边CD于点P，MPDE，MPE=90，PN=MN=ME；（3）如图2四边形ABCD是菱形，AB=BC，又M，N分别是边AB，BC的中点，MB=NB，BMN=BNM，由（2）知：MNBENC，BMN=BNM=E=CNE，又PN=MN=NE，NPE=E，设BMN=BNM=E=CNE=NPE=x，则NCP=2x，NPC=x，若PN=PC，则PNC=NCP=2x，在PNC中，2x+2x+x=180，解得：x=36，B=PNC+NPC=2x+x=363=108，若PC=NC，则PNC=NPC=x，在PNC中，2x+x+x=180，解得：x=45，B=PNC+NPC=x+x=45+45=90【点评】本题主要考查了菱形的性质，以及直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键，有很强的综合性，要注意对等腰三角形进行分类讨论，注意认真总结18如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，连接CE、AF，DCE=BAF试判断四边形AECF的形状并加以证明【考点】平行四边形的判定；矩形的性质 【分析】证得FACE后利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判断即可【解答】解：四边形AECF是平行四边形证明：矩形ABCD中，ABDC，DCE=CEB，DCE=BAF，CEB=BAF，FACE，又矩形ABCD中，FCAE，四边形AECF是平行四边形【点评】考查了平行四边形的判定及矩形的性质，解题的关键是牢记平行四边形的五种判定方法，难度不大19如图，ABC是等腰三角形，AB=BC，点D为BC的中点（1）用圆规和没有刻度的直尺作图，并保留作图痕迹：过点B作AC的平行线BP；过点D作BP的垂线，分别交AC，BP，BQ于点E，F，G（2）在（1）所作的图中，连接BE，CF求证：四边形BFCE是平行四边形【考点】作图复杂作图；等腰三角形的性质；平行四边形的判定 【分析】（1）作出与C相等的内错角即可得到AC的平行线，过直线外一点作已知直线的垂线即可；（2）首先证得ECDFBD，从而得到CE=BF，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可【解答】解：（1）如图：（2）证明：如图：BPAC，ACB=PBC，在ECD和FBD中，ECDFBD，CE=BF，四边形ECFB是平行四边形【点评】本题考查了基本作图的知识及平行四边形的判定，解题的关键是能够掌握一些基本作图，难度不大20如图，在菱形ABCD中，AB=2，DAB=60，点E是AD边的中点点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形； 当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的判定 【分析】（1）利用菱形的性质和已知条件可证明四边形AMDN的对边平行且相等即可；（2）有（1）可知四边形AMDN是平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即DMA=90，所以AM=AD=1时即可；当平行四边形AMND的邻边AM=DM时，四边形为菱形，利用已知条件再证明三角形AMD是等边三角形即可【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形，NDAM，NDE=MAE，DNE=AME，又点E是AD边的中点，DE=AE，NDEMAE，ND=MA，四边形AMDN是平行四边形；（2）解：当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形理由如下：AM=1=AD，ADM=30DAM=60，AMD=90，平行四边形AMDN是矩形；故答案为：1；当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形理由如下：AM=2，AM=AD=2，AMD是等边三角形，AM=DM，平行四边形AMDN是菱形，故答案为：2【点评】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质、矩形的判定、以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握特殊图形的判定以及重要的性质21如图，在平行四边形ABCD中，AEBC于E，AFCD于F，BD分别与AE、AF相交于G、H（1）在图中找出与ABE相似的三角形，并说明理由；（2）若AG=AH，求证：四边形ABCD是菱形【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定 【分析】（1）利用平行四边形的性质求出相等的角，然后判断出ABEADF；（2）判断出四边形ABCD是平行四边形，再加上条件AB=AD可以判断出四边形ABCD是菱形【解答】解：（1）ABEADF理由如下：AEBC于E，AFCD于F，AEB=AFD=90 四边形ABCD是平行四边形，ABE=ADFABEADF（2）证明：AG=AH，AGH=AHGAGB=AHDABEADF，BAG=DAHBAGDAHAB=AD，四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，平行四边形ABCD是菱形【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的判定，熟悉图形特征是解题的关键22如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DEAC，CEBD求证：四边形OCED是菱形【考点】菱形的判定；矩形的性质 【分析】首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论【解答】证明：DEAC，CEBD，四边形OCED是平行四边形，四边形ABCD是矩形，OC=OD，四边形OCED是菱形【点评】此题主要考查了菱形的判定，矩形的性质，关键是掌握菱形的判定方法：菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形23如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积【考点】平行四边形的判定；矩形的性质 【分析】根据折叠易得全等【解答】（1）证明：折叠，AM=AB，CN=CD，FNC=D=90，AME=B=90，ANF=90，CME=90，四边形ABCD为矩形，AB=CD，ADBC，AM=CN，AMMN=CNMN，即AN=CM，在ANF和CME中，ANFCME（ASA），AF=CE，又AFCE，四边形AECF是平行四边形；（2）解：AB=6，AC=10，BC=8，设CE=x，则EM=8x，CM=106=4，在RtCEM中，（8x）2+42=x2，解得：x=5，四边形AECF的面积的面积为：ECAB=56=30【点评】本题主要考查了平行四边形的判定、矩形的性质难度适中24.（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE求证：CE=CF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果GCE=45，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B=90，AB=BC，E是AB上一点，且DCE=45，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；直角梯形 【分析】（1）由四边形是ABCD正方形，易证得CBECDF（SAS），即可得CE=CF；（2）首先延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由（1）知CBECDF，易证得ECF=BCD=90，又由GCE=45，可得GCF=GCE=45，即可证得ECGFCG，继而可得GE=BE+GD；（3）首先过C作CGAD，交AD延长线于G，易证得四边形ABCG为正方形，由（1）（2）可知，ED=BE+DG，即可求得DG的长，设AB=x，在RtAED中，由勾股定理DE2=AD2+AE2，可得方程，解方程即可求得AB的长，继而求得直角梯形ABCD的面积【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，BC=CD，B=CDF=90，ADC=90，FDC=90B=FDC，BE=DF，CBECDF（SAS）CE=CF （2）证明：如图2，延长AD至F，使DF=BE，连接CF由（1）知CBECDF，BCE=DCFBCE+ECD=DCF+ECD，即ECF=BCD=90，又GCE=45，GCF=GCE=45CE=CF，GC=GC，ECGFCGGE=GF，GE=GF=DF+GD=BE+GD （3）解：如图3，过C作CGAD，交AD延长线于G在直角梯形ABCD中，ADBC，A=B=90，又CGA=90，AB=BC，四边形ABCG为正方形AG=BCDCE=45，根据（1）（2）可知，ED=BE+DG10=4+DG，即DG=6设AB=x，则AE=x4，AD=x6，在RtAED中，DE2=AD2+AE2，即102=（x6）2+（x4）2解这个方程，得：x=12或x=2（舍去）AB=12S梯形ABCD=（AD+BC）AB=（6+12）12=108即梯形ABCD的面积为108【点评】此题考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用25如图，在ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作平行四边形AGDB交CB的延长线于点G（1）求证：DEBF；（2）若G=90，求证：四边形DEBF是菱形【考点】菱形的判定；平行四边形的性质 【分析】（1）根据已知条件证明BE=DF，BEDF，从而得出四边形DFBE是平行四边形，即可证明DEBF，（2）先证明DE=BE，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结