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周六自主招生培训讲座第一讲：凸函数与琴生不等式一、函数的凹凸性：定义：设连续函数的定义域为 (a，b)，如果对于 (a，b)内任意两数x1，x2，都有则称为 (a，b)上的下凸函数注：若把式的不等号反向，则称这样的为区间 (a，b)上的上凸函数（或凹函数） 下凸函数的几何意义：过曲线上的任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上 方（或曲线上） 的二阶导数，则为下凸函数；的二阶导数，则 为上凸函数。常见的上凸（凹）函数，常见的（下）凸函数，二、琴生不等式性质：若在区间为下凸函数，则对，总有；当且仅当时取到等号。若在区间为上凸函数，则对，总有。当且仅当时取到等号。三、加权形式：附：应用，此时是下凸函数，可得倒数平方和的不等式，等号成立条件。而与此对应的另一个倒数和再平方的不等式，是利用调和平均和平方平均的关系，得到的，等号成立条件。常用不等式：例1 证明：(1) 在上是上凸函数(2) 在上是上凸函数(3) 上是下凸函数 证明：(1) 对(2) 对即：(3) 当时 （）即：例2 设是锐角的三个内角，求证：例3 ，且a + b + c = 3，求证：证明：设，则上的凹函数由琴生： 例4 设是的三个内角，是非负常数，求的最大值。例5 用琴生不等式证明均值不等式，即：证：设，则为上的上凸函数由琴生不等式：即例6 已知，求证：证： 例7 已知：求证：.例8 设均大于0，证明：，其中，且.例9例10 （2011, 湖北）（）已知函数求函数的最大值；（）设均为正数，证明：（i）若，则（ii）若，则。解：（）max=f(1)=0（）证明（i）令g(x)=lnx(x0), 则g”(x)=g (x) 在（0，+）上是凹函数，对于ak(0, +), (k=1,2,，n)，由琴生不等式：(ii) 由(i)知，g(x)=lnx在 上是凹函数，由琴生不等式： 10 对于bk(0,1), 且 （*）例11 (2012，湖北22题)（）已知函数，其中为有理数，且. 求的最小值；（）试用（）的结果证明如下命题：设，为正有理数. 若，则；（）请将（）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.注：当为正有理数时，有求导公式.解析： （II） 证明：令g(x)=lnx(x0), 则g(x) 在上为凹函数（1题已证）10 当，中至少有一个为0时，则成立；20 若，0时，由琴生不等式： ln综上，原不等式成立。（III） 命题形式： 设 则证明：10 当,an中至少有一个为0时，原不等式显然成立。20 当ak0时，由琴生不等式：综上，原不等式成立。 例12 设半径为1
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