静定杆系结构内力分析.ppt

第四章 静定杆系结构内力分析 4.1杆件的基本变形及内力 4.2单跨静定梁的内力计算与内力图 4.3多跨静定梁的内力计算与内力图 4.4静定平面刚架的内力计算与内力图 4.5静定三铰拱 4.6静定平面桁架 4.1杆件的基本变形及内力（页52） 内力：在外力作用下，结构内部产生变形，从而使结构内部相邻部分产生相 互作用力，这种因外力作用而引起的结构内部的相互作用力即为内力。 内力是结构对荷载的一种响应，是荷载在构件内部的传递方式。荷载传递的 同时，结构还将产生变形，变形为结构对荷载的另一种响应。 研究结构内力时的几种假定： 1、计算结构构件的内力时，可不考虑杆件的变形； 2、连续与均匀：材料内部没有空隙，性质各自相同。 3、各向同性：所有方向上均具有相同的力学性能。 4、线弹性：材料在荷载作用下会发生变形，若缷去荷载后材料可完全恢复 原状的称为弹性变形。如荷载与弹性变形始终成正比则称为线弹性变形。 从第4章到第8章，所研究的对象均假定为满足连续、均匀、各向同性的线弹 性平面杆系结构。 研究内力采用截面法：即在结构的 某截面处，假想一平面将结构堪两 部分，任取其中 一部分为隔离体 ，用平衡条件进行分析内力的大小 和方向（页53）。 1、直杆在与杆轴线重合的外力 作用下产生拉伸或压缩的杆件称为轴向 受力杆，又称轴力杆、二力杆或桁杆，通常用N表示轴力。 FF 拉伸 FF 压缩 拉力为正，压力为负 2、直杆在与杆轴线垂直的外力 作用下微段产生相互错动的变形称为剪 切变形，微段侧面横向切向内力的合力为剪力，通常用V表示，以使微段 的两侧面发生顺时针方向错动的剪力为正，反之为负(左上，右下外力为 正，否则相反)。 钢结构中的焊缝连接、螺栓连接、铆钉连接均可产生剪切破坏（页54） 。 3、直杆在与杆轴线垂直的外力 作用下还会受到横向荷载的力矩作用， 杆件横截面的力偶矩就称为弯矩。通常用M表示，工程上常规定使下侧 纤维受拉的弯矩为正，反之为负（页55） 。 建筑结构中，弯曲变形是最常 见、最重要的一种基本变形， 一般结构中的梁及板变形均为 弯曲为主，又称受弯构件。 4、杆件受到一对大小相等、转向相反、位于垂直于轴线的两平面的力偶 作用时，杆的两相邻横截面绕轴线将产生相对转动，称这种变形为扭转 ，对应的横截面上的内力为扭矩，记作T。 建筑结构中如下图所示的边梁、雨篷等，除产生弯曲变形，同时还产生 扭转变形（页55） 。逆时针为正，顺时针为负。 变变形内力 轴轴向拉伸轴轴向拉力 轴轴向压缩压缩轴轴向压压力 剪切剪力 弯曲弯矩 扭转转扭矩 FF 拉伸 FF 压缩 拉力为正，压力为负 顺时针为正，逆时针为负(左上 ，右下外力为正，否则相反) + M M 上压下拉为正、上拉下压为负 MM 扭矩 顺时针为负，逆时针为正 4.2单跨静定梁的内力计算与内力图 梁一般承受垂直于杆件轴线的横向荷 载，并将荷载沿杆轴线通过弯曲和剪 切变形横向传递至支座或其他支撑构 件（页56）。 梁的变形以挠曲为主，又称挠度。 几种常见的单跨静定梁结构形式。 单跨静定梁结构指定截面内力的计算 1、作梁的受力图并计算支座反力； 2、截取截面并选取隔离体，即沿指定截面将原结构切开，选取一部分作为 隔离体； 3、绘隔离体受力图，即将隔离体受到的外力、支座反力及截开截面暴露出 的内力等绘制在隔离休整上。截面上未知的剪力可假设为正，未知弯矩可 设为使杆件下侧受拉； 4、列平衡方程，求解未知内力。 A B C q aa 例 题1 求A截面右侧、B截面 左右侧的剪力和弯矩 （1）计算支反力 C q YA YB A B aa （2）计算各截面内力 A右截面 B左截面 B右截面 MB左 VB左 B C q a MB右 VB右 MA右 YA A VA右 A YA B a V为左上，右下外力为正，否则相反。M为上压下拉为正、上拉下压为负 为把握内力沿整个杆件的分布情况，可采用内力方程 即内力沿杆件轴线的变化函数的形式，也可采用更为 直观的内力图的方式。 内力图一般以杆件轴线为基线，以垂直于基线的竖标 表示对应位置处梁截面的内力值。 正的剪力和轴力一般绘于基线的上方，弯矩绘于杆件 受拉一侧。 例题2 简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图（见页60图4-13b）。 解：1.求约束反力由对称关系，可得： 2、建立内力方程 3、依方程作剪力图和弯矩图 Vmax= Mmax (0xl) 例3 简支梁受集中荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图（见页60图4-13a） 。 1.求约束反力 2、分段建立方程 AC段： CB段： 3、依方程而作图 V V 例题4 简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力 图和弯矩图（见页60图4-13c） 。 解：1.求约束反力 2.列剪力方程和弯矩方程 AC段: CB段： 3、依方程而作图 V V 见页60图4-13 见页61图4-14 由图可知结构最大受力处在何处 v v v v v v v v v 见页59表4-1 利用上述规律： 1、可以检查剪力图和弯矩图是否正确。 2、可以快速的绘制剪力图和弯矩图，步骤如下： （1）将梁正确分段 （2）根据各段梁上的荷载情况，判断剪力图和弯矩图的 形状 （3）寻找控制面，算出各控制面的V和M （4）逐段绘制出V和M图即梁的V和M图 快速绘制剪力图和弯矩图 4.5 1.5 5.5 kN kNm 当作用在结结构上的荷载载情形较较复杂时杂时 ，可将梁上的弯矩图视为图视为 各部分的 叠加。叠加时，宜先画直线形的弯矩图，再叠加曲线形或折线形的弯矩图 。 + - + - 叠加法作弯矩图 FL 1/2qL2 1/2qL2+FL + - + - 斜简支梁：房屋建筑中的楼梯，如果采用梁式结构方案， 则支承踏步板的边梁为一倾斜梁，如图a所示。实际工程计 算中常将楼梯斜梁的两端按简支条件处理，其计算简图如 图b所示。 现讨论简支斜梁计算中的 两个问题，并同时与水平 简支梁比较。 1. 简支斜梁的内力表达式 FAX =0 FAY= （） FBy （） MK 2.简支斜梁内力图的绘制 4.3多跨静定梁的内力计算与内力图 多跨静定梁从组成上分析，可分为基本部分和附属部分。基本部分指 多跨静定梁中为静定或因可独立承担荷载而可视作静定结构的部分； 附属部分指必须依靠基本部分才能维持其几何不变的梁段，这些梁段 因缺少约束而无法独立承担荷载。 如上图所示多跨静定梁，其中CE为附属部分，荷载通 过附属部分传递给基本部分AB，而基本部分AB的荷载 不会传递给附属部分CE。 C A E （a）（b）E A C B B 多跨静定梁的内力计算 1、作层次图，以确定力的传递途径； 2、计算附属部分向基本部分传递的作用力与支座反力； 3、按先“附属”部分，后“基本”部分的顺序逐段绘内力图； 4、将第3步绘制的各当做的内力图拼接，以作出全结构的内力图； 5、校核：利用微分关系校核内力图或支座结点平衡条件校核支座反力。 AB C D E F GH P q AB F GH q E C D P DE F q CAB P CABDE F Pq 分析下列多跨连续梁结构几何构造关系，并确定内力计算顺序。 例1：作图a)多跨静定梁的弯矩图和 剪力图。 解 （1） AB为基本部分，BC为附属 部分，作层次图如图b所示。计算时 应从附属部分BC梁开始，然后再计算 AB梁。 （2）按照上述顺序，依次计算各 单跨梁的支座反力和约束反力，它们 各自的隔离体图分别如图c、d所示。 整个计算过程不再详述，结果都表示 在图c、d中。 （3）作内力图。根据各梁的荷载及 反力情况，分段画出各梁的弯矩图和 剪力图，最后分别把它们连成一体， 即得多跨静定梁的弯矩图和剪力图， 如图e、f所示。 例2：作图a所示多跨静定梁 的内力图 解：AC、DF为基本部分 ，CD为附属部分，层次图如 图b所示。从层次图b看出， 只有DF基本部分作用着荷载 ，其余的基本部分或附属部 分都没有荷载作用，故AC、 CD部分内力为零，只有DF部 分有内力。其反力计算如图c 、d所示，此多跨静定梁的内 力图如图e、f所示。 4.4 静定平面刚架的内力计算与内力图 由若干梁和柱等超标主要用刚结点组成的结构称为刚架。 当刚架的所有杆轴和荷载都在同一平面且为无多余约束的几何不变体系 时，称为静定平面刚架。 悬臂刚架 简支刚架 三铰刚架 主从刚架 主从刚架 刚架的内力计算方法与梁完全相同，只是多了一项轴力计算。因此 有关梁的内力图形状特征的描述和按叠加法作弯矩图等，同样适用 于刚架中的各杆。因此在对刚架进行内力分析时，首先是把刚架从 结点处分为若干杆件，把每根杆件看作一根梁，然后逐杆用截面法 求两端内力，再结合每根杆件所作用荷载，便可作出内力图。 作内力图时，规定弯矩图画在杆件的受拉一侧，以下侧受拉为正， 但内力图中不注正、负号；剪力以使隔离体顺时针方向转动的为正 ，反之为负；轴力仍以拉力为正、压力为负。剪力图和轴力图可画 在杆轴的任意一边，但需注明正负号。为了避免出现符号错误，以 后取隔离体画受力图时，不管实际情况如何，截面内力一律假设成 正的。 a) 例1 作图a所示刚架的内力图 解 悬臂刚架的内力计算与悬臂梁基 本相同，一般从自由端开始，逐杆计 算各杆控制截面内力，结合杆上荷载 即可作出内力图。 10 10 10 30 10 M图 (kN.m) 10 10 V图 (kN) N图 (kN) 10 16kN FAy=44kN FBx=48kN 2m2m 3m3m 8kN/m A C B D 28 N图 (kN) 36 108 88 M图 (kN.m) 144 44 28 48 V图 (kN) 例2:试绘制右上图所 示刚架的内力图。 例2:试绘制下图所示刚架的弯矩图。 30kN 20kNm 2m2m 4m 10kN20kN 10kN10kN AB C D E 10kN 10kN 40kNm A D B E 10kN 20kN 40kNm D 20 40 E 40 DCE 20kNm40kNm 40 20 40 M图（kNm） 4.5静定三铰拱 一、拱的形式及特点一、拱的形式及特点 拱结构是工程中应用比较广泛的结构形式之一，在房屋建筑、桥涵建筑 和水工建筑中常被采用。拱结构的计算简图通常有三种：无铰拱（图a） 、两铰拱（图b）、三铰拱（图c），前二者为超静定结构，后者为静定 结构。 三铰拱为静定结构，其计算简图及各部分名称如图右。在竖 向荷载作用下，拱在支座处将产生水平推力，导致拱中各截 面的弯矩比相应简支梁对应截面的弯矩小得多，故拱结构以 承受压力为主，所用材料多为抗压强度高而抗拉强度低的砖 、石、混凝土等传统建筑材料建造。 二、静定三铰拱支座反力及内力特点 以图a所示在竖向荷载作用下的三铰拱为例 ，来说明它的反力和内力的计算方法。为了 便于比较，同时给出了同跨度、同荷载的相 应简支梁相对照，如图b所示。 支座反力 三铰拱与相应简支梁内力的关系 水平推力 由计算结果可知，三铰拱的内力值不仅与 荷载及三个铰的位置有关，还与拱軕线的 形状有关。与简支梁比较，三铰拱的弯矩 和毅力都将减小，竖向荷载通过支座推力 效应而在杆件中产生较大轴压力。 三、合理拱轴线 在一定荷载作用下，当拱所有截面的弯矩都等于零（可以证明从而剪力也 为零）而只有轴力时，截面上的正应力是均匀分布的，材料能得以最充分 的利用。单从力学观点看，这是最经济的，故称这时的拱轴线为合理拱轴 线。 合理拱轴线可根据弯矩为零的条件来确定。在竖向荷载作用下，三铰拱的 合理拱轴线方程可由下式求得： MMFHy0由此得 y 例如，承受均布竖向荷载q的三铰拱，跨度l，拱高f，其对应简支梁的弯矩 方程为qlx/2qx/2，FH为ql/(8f)，则其合理拱轴线为： 4.6静定平面桁架 桁架是指由若干直杆在其两端用铰联接而成的格构式结构。 在平面桁架中，通常引用如下假定： （1）各杆两端用绝对光滑而无摩擦的理想铰相互联接。 （2）各杆的轴线都是绝对平直，且在同一平面内并通过铰的几何中心。 （3）荷载和支座反力都作用在结点上并位于桁架平面内。 显然可见，桁架的各杆都是只承受轴力的二力杆（见图b），我们称它为理 想桁架。由于各杆只受轴力，截面上应力是均匀分布的，可同时达到容许值 ，材料能得到充分利用。因而与梁相比，桁架的用料较省，自重减轻，在大 跨度结构中多被采用。 图a就是根据上述假定作出 的一个桁架的计算简图， 各杆均用轴线表示。 桁架的杆件，依其所在位置的不同，可分为弦杆和腹杆两大类。弦杆是 指桁架上下外围的杆件，上边的杆件称为上弦杆，下边的杆件称为下弦 杆。桁架上弦杆和下弦杆之间的杆件称为腹杆。腹杆又分为竖杆和斜杆 。弦杆上两相邻结点之间的区间称为节间，其间距d称为节间长度。两支 座间的水平距离为跨度。支座连线至桁架最高点的距离h称为桁高。如图 所示。 一、桁架结构的形式 三角形桁架 1、按外形不同可分为三角形屋架、梯形屋架、抛物线屋架、 拆线形屋架、平行弦屋架。 梯形桁架 抛物线桁架折线形桁架矩形桁架（平行弦桁架） 2、桁架按几何组成方式 可分为： 1）简单桁架：由一个基 本铰接三角形依次增加二 元体而组成的桁架；如图 a)、 b)、 c)。 2）联合桁架：由几个简 单桁架按几何不变体系的 简单组成规则联合组成； 如图d)。 3）复杂桁架：不同于前 两种的其他静定桁架，如 图e) 。 a) b) c) d) e) 二、结点法 所谓结点法就是取桁架的结点为隔离体，利用结点的静力平 衡条件来计算杆件内力的方法。 因为桁架各杆件都只承受轴力，作用于任一结点的各力（包 括荷载、反力和杆件轴力）组成一个平面汇交力系。平面 汇交力系可以建立两个独立的平衡方程，解算两个未知量 。用这种方法分析桁架内力时，可先由整体平衡条件求出 它的反力，然后再以不超过两个未知力的结点分析，依次 考虑各结点的平衡，直接求出各杆的内力。 在计算时，通常都先假定杆件内力为拉力，若所得结果为负 ，则为压力。 例 试用结点法求图示桁架各杆的内力。 解 （1）计算支座反力 由于结构和荷载均对称，故 F1yF8y40kN（） F1x0 由 Fy0 FN13 400 得 FN1366.67kN（拉） 由 Fx0 FN12FN130 得 FN1253.33kN（压） （2）计算各杆的内力 图b 反力求出后，可截取结点解算 各杆的内力。从只含两个未知 力的结点开始，有1、8两个结 点，故先从结点1开始，然后 依次分析其相邻结点。取结点 1为隔离体如图b所示 取结点2为隔离体如图c所示。 由 Fx0 FN2453.330 得 FN2453.33 kN（压） 由 Fy0 得 FN230 图c） 取结点3为隔离体如图d所示。 由 Fy0 FN3466.67300 得 FN3416.67kN（压） 由 Fx0 FN35FN3466.670 得 FN3566.67 kN（拉） 图d） 取结点5为隔离体如图e所示。 由 Fy 0 得 FN540 由 Fx0 FN576670 得 FN5766.67 kN（拉） 图e) 至此桁架左半边各杆的内力均已求出。因桁架为对称桁架 ，其受力亦对称，因此继续取8、6、7等结点为隔离体， 可求得桁架右半边各杆的内力，其值分别与1、2、3点的 内力相等。各杆的轴力示于图上。 由该图可以看出，对称桁架在对称荷载作用下，对称位置 杆件的内力也是对称的。因此，今后在解算这类桁架时， 只需计算半边桁架的内力即可。 零杆的判断方法 1.一节点上有三根杆件，如果节点上 无外力的作用，其中两根共线，则另 一杆为零杆（在下弦节点比较多,因 荷载一般加在上弦）； 2.一节点上只有两根不共线杆件，如 果节点上无外力的作用，则两杆件均 为零杆（一般在桁架两端靠近支座处 ）； 3.一节点上只有两根不共线杆件，如 果作用在节点上的外力沿其中一杆， 则另一杆为零杆（一般在桁架两端靠 近支座处）。 此外，还存在其它形式的情形。 在分析桁架时，利用上述结论判定出 零杆或某些杆的内力（或找出某些杆 件内力之间的关系），这样就可减少 未知量的数目，使计算得到简化。 FN1=FN2=0 FN1=FN2 FN3 =0 FN1 FN2 FP FN1=-FP FN2 =0 FN1=FN2 FN3 = FN4 FN2FN1 FN1=FN2 FN1FN2 利用结点的特殊性分析下列两结构中一些杆件的内力 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 先判断23杆为为零杆，再推出34 杆为为零杆，依次推出45杆、56杆 、67杆为零杆，因此该桁架只要 计算12杆、13杆、24杆、35杆、 46杆、57杆。 先判断12杆、24杆、8-10杆、9- 10杆、89杆、79杆为为零杆，再 推出67杆、68杆为为零杆，再推 出46杆为零杆，因此该桁架只要 计算14杆、13杆、34杆、35杆 、45杆、56杆、78杆。 三、截面法 除结点法外，计算桁架内力的另一基本方法是截面法 。所谓截面法是通过需求内力的杆件作一适当的截面 ，将