[信息与通信]第2讲随即信号处理.ppt

重点内容回顾 随机试验：抛一颗骰子，观察出现的点数 样本空间：全体样本点的集合 1,2,3,4,5,6 样本点：随机试验每个可能出现的结果：1、2、3、4、5、6 随机事件：随机实验中可能出现的结果 投掷结果为3的事件 A=3 投掷结果为奇数的事件 B=1,3,5 投掷结果为大数的事件 C=4,5,6 必然事件 D=1,2,3,4,5,6 不可能事件 E= 的子集 事件域 F 元素 P(A ) 概率空间 集合函数P 概率论的研究内容 ？ 高等数学的函数研究理论 随机变量 X 抽 象 P(x1 Xx2) AX 第二讲 随机变量 概率空间上随机变化量 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 1.2 随机变量 定义： 已知（, F, ），k，都有一个实数xkX(k )， xk （某个实数集）与之对应。 ，便可得到定义在上的单 值实函数X( )；若数集 ( ) x仍是F中的事件，则则称X( ) 为随机变量，简写X。 几点说明 随机变量 ( ) 是从原样本空间 到新空间I的一种 映射； 随机变量 ( ) 总对应一定的概率 空间（, F, ）； 随机变量 ( ) 是关于 的单值实 函数。 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 一、离散型随机变量（X取离散值） （1）分布律（分布列）随机变量X 取各个可能值的概率。 （2）分布函数 随机变量 X 取值落在 上的概率。 分布律也可用表格的形式表示: 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 （3）性质 右连续 X 0 1 2 p 1/3 1/6 1/2 求 ： 例 1.10 已知： 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 解： 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 解：由分布函数的图可得 右连续 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 二、连续型随机变量(X取连续值） 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 三、常用的连续型随机变量 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 1.3 多维随机变量及其分布 在实践中经常会遇到需要多个随机变量才能描述 清楚的随机现象。 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 一般 n 维随机变量： 也可以用 n 个分量的随机矢量表示为： 一、二维随机变量 1、定义 定义在同一个概率空间 上的两个随机变量(X,Y) 为二维随机 变量。 2、二维随机变量的分布函数 定义随机变量取值，X、Yy这样一个联合事件的概率 为(X,Y)的联合分布函数。 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 联合分布函数的性质： 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 3、联合概率密度 性质： 例1.15 设二维随机变量( X,Y)的概率密度 求：分布函数？落在如图所示的三角形域G内的概率？ 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 解：分布函数 落在三角形域G内的概率 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 利用阶跃函数 与冲激函数 ，离散型二维随机变量的 联合分布函数可以表示为 4、离散型二维随机变量 若二维随机变量( X,Y)所有可能取值为可列有限对或无限对 则联合分布律为： 其中 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 离散二维变量的联合概率密度可 表示为 离散变量的分布函数： 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 二、二维随机变量的边缘分布、条件分布 1、边缘分布函数和边缘概率密度 二维连续随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数为 二维连续随机变量(X,Y)关于X的边缘概率密度为 二维离散随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数为 二维离散型随机变量(X,Y)关于X的边缘分布律为 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 2、条件分布函数和条件概率密度 (1) 在给定 条件下，Y的条件分布函数为 在给定 条件下，Y的条件概率密度为 在给定 条件下，X的条件分布函数为 在给定 条件下，X的条件概率密度为 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 (2) 离散型随机变量的条件分布律 在给定 条件下，Y的条件分布律 因此有： (3) 性质 (4) 条件分布函数的性质 ： 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 条件概率密度的性质： 三、随机变量的统计独立 由于 所以独立的条件： 当X与Y相互独立时，有 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 离散型随机变量独立的条件： 思考：X与Y相互独立时，有 当 时： 是否有X与Y乘积的概率密度为 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 1. n 维随机变量的联合分布函数 性质：1）单调不减性 2） 3） 4） 2. n 维随机变量的联合概率密度 四、n 维随机变量 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 性质： 1） 4） 3） 2） 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 3. 边缘分布函数（思考有多少个？） 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 4、边缘概率密度 5、条件概率密度： n 维随机变量(X1, , Xn-1 , Xn)在X1, ,Xn-1给定的条件下的概率 密度： 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 2 维随机变量(X1, X2)在 X1 给定的条件下的概率密度： 得递推公式: n 维随机变量(X1, Xn-2, Xn-1)在 X1, ,Xn-2 给定的条件下的概率 密度： 3 维随机变量(X1, X2, X3)在 X1, X2 给定的条件下的概率密度： 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 如果X1,X2,Xk之间相互独立，则 所以X1, X2, Xn之间相互独立的条件为： 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 且随机变量 相互独立，则四维随机变量的概率密度 例1.16 四维随机变量(X1, X2, X3, X4)中各随机变量相互独立，且 都服从(0,1)上的均匀分布。 求：四维随机变量的联合概率密度 边缘概率密度 条件概率密度 和 解： Xi服从(0,1)上的均匀分布，则Xi的概率密度为 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 因为随机变量 相互独立，所以条件概率密度为 同理可知关于 的边缘概率密度为 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 1.4 随机变量函数的分布 由于概率是正值，所以取绝对值。 一、一维随机变量函数的分布 1、单值变换 dy dx x y fX(x) fY(x) Y=g(X) 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 2、多值变换 若一个Y对应多个 X1, X2, X3, ，则由概率的可加性得： 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 当 时， 为不可能事件，所以 其概率密度 ； 例1.18 已知随机变量X服从标准高斯分布， ,求随机变量 的概率密度？ 解：X与Y间的反函数关系为： 其反函数的导数 当 时， 为可能事件，反函数为 是双值变换。已知 X 服从标准高斯分布，则 Y的概率密度为 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 综合可得： 称之为 分布。 即：高斯变量的平方服从 分布。 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 二、二维随机变量函数的分布 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 1、单值变换 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 利用高等数学中的坐标变换Jacobian变换 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 求： 新二维随机变量(Y1, Y2)的联合概率密度 边缘概率密度 ，并说明Y1, Y2是否相互独立？ 解： 据(X1, X2)与(Y1,Y2)的函数关系，找出唯一反函数： 例1.19 设二维随机变量(X1, X2)的函数 ,(X1,X2)的联合概率密度： 则其雅柯比值为 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 可以根据( X1, X2)与(Y1,Y2)的函数关系，将(X1, X2)的值域映射到 y1y2平面，找 出(Y1, Y2)的值域。 可得： 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 将(X1, X2)的值域(x10, x20)映射到 y1y2平面，找出( Y1, Y2)的值域。 ( Y1, Y2 )的值域 （Y10, |y2|y1 ) 或 0|y2|y1 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论 因此 由边缘公式： 主 讲 教 师 ： 杨 金 锋 中国民航大学第一章 概率论