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任何事物都没有真正正确的 解释，解释是为人们理解而 服务的一种媒介。解释的价 值是使得他人可以更富有成 果地思考。 Andreas Buja 1 第四章 数据离散程度的测度 （measures of dispersion） 1.1. 数据分布的另一个重要特征数据分布的另一个重要特征 2.2. 反映各变量值远离其中心值的程度（离中趋势）反映各变量值远离其中心值的程度（离中趋势） 3.3. 从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度 4.4. 不同类型的数据有不同的离散程度测度值不同类型的数据有不同的离散程度测度值 2 2 4.1 全距、四分位距与百分位距( 顺序数据) 4.2 平均差 4.3 方差与标准差(定量数据) 4.4 相对差异量 4.5 偏态量及峰态量 内容梗概内容梗概 3 3 数据分布的特征和测度 数据的特征和测度数据的特征和测度 分布的形状集中趋势离散程度 众众 数数 中位数中位数 均均 值值 平均差平均差 方差和标准差方差和标准差 峰峰 度度 百分位距百分位距 四分位距四分位距 偏偏 态态 4 4 4. 1 全距与百分位差 5 5 全距、极差 (range) 一组数据的最大值与最小值之差 离散程度的最简单测度值 易受极端值影响 未考虑数据的分布 7 7 8 8 9 9 10107 7 8 8 9 9 10 10 R R = max(= max(x x i i ) - min() - min(x x i i ) ) 5.5. 计算公式为计算公式为 6 6 四分位距的概念 依一定顺序排列的一组数据中间部位 50%个频数距离的一半作为差异量指 标 也称为内距或四分间距 3、反映了中间50%数据的离散程度 不受极端值的影响 用于衡量中位数的代表性 7 7 四分位距的计算方法 n1、原始数据计算方法： n例如，25、22、29、12、40、15、 14、39、37、31、33、19、17、 20、35、30，求四分位距。 n12、14、15、17、19、20、22、25、29 、30、31、33、35、37、39、40 8 8 n2、频数分布表计算法： n用内插法求出第一个四分位数及第三个四 分位数，然后带入公式。 9 9 四分位距的应用及其优缺点 n优点：四分位距简明易懂，计算简便，较少手 两极端数值的影响，比全距可靠。 n缺点：忽略了左右共50%数据的差异，不适合 代数运算。 1010 三、百分位距 n百分位距是指两个百分位数之差。 n计算方法 ： 1111 4.2 平均差、 1212 一、平均差的概念 各变量值与其均值离差绝对值的平均数 能全面反映一组数据的离散程度 数学性质较差，实际中应用较少 4 4 . . 计算公式为计算公式为 未分组数据未分组数据 组距分组数据组距分组数据 1313 二、平均差的计算方法 n1、原始数据计算法： n例如，求原始数据78、83、69、75、 97、88、86 的平均差。 n2、频数分布表计算法； 1414 平均差 (例题分析) 例4.3 某电脑电脑 公司销销售量数据平均差计计算表 按销销售量分组组组组中值值(Mi)频频数(fi) 140 150 150 160 160 170 170 180 180 190 190 200 200 210 210 220 220 230 230 240 145 155 165 175 185 195 205 215 225 235 4 9 16 27 20 17 10 8 4 5 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 160 270 320 270 0 170 200 240 160 250 合计计1202040 1515 平均差 (例题分析) 含义：含义：每一天的销售量平均数相比，每一天的销售量平均数相比， 平均相差平均相差1717台台 1616 三、平均差的优缺点 1717 4.2 4.2 方差和标准差方差和标准差 1818 方差和标准差 (variance and standard deviation) 数据离散程度的最常用测度值 方差是指离差平方的算术平均数 反映了各变量值与均值的平均差异 根据总体数据计算的，称为总体方差（2 ）或标准差（）；根据样本数据计算的 ，称为样本方差（s2）或标准差（s） 4 6 8 10 124 6 8 10 12 x x = = 8.38.3 1919 方差和标准差的计算方法 n1、原始数据计算法 n2、频数分布表计算法 2020 样本方差和标准差 (simple variance and standard deviation) 未分组数据未分组数据： 分组数据：分组数据： 方差的计算公式方差的计算公式 标准差的计算公式标准差的计算公式 2121 样本标准差 (例题分析) 例4.4 某电脑电脑 公司销销售量数据平均差计计算表 按销销售量分组组组组中值值(Mi)频频数(fi) 140150 150 160 160 170 170 180 180 190 190 200 200 210 210 220 220 230 230 240 145 155 165 175 185 195 205 215 225 235 4 9 16 27 20 17 10 8 4 5 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 160 270 320 270 0 170 200 240 160 250 合计计12055400 2222 样本标准差 (例题分析) 含义：含义：每一天的销售量与平均数相比，每一天的销售量与平均数相比， 平均相差平均相差21.4921.49台台 2323 方差和标准差的性质和意义 一组数据中每个数据都加或减去同一个数 后，得到的方差等于原方差。 一组数据中每个数据都乘以一个数后，得 到的方差等于原方差乘以这个数的平方。 方差与标准差是表示一组数据离散程度的 最好指标。其值越大，说明频数分布的离 散程度越大，该组数据较分散；其值越小 ，说明频数分布比较集中，离散程度小。 2424 各种差异量的数值关系 nR=6QX=7.5MD=9QD 2525 4.4 4.4 相对差异量相对差异量 2626 差异系数 (coefficient of variation) n标准差与其相应的均值的百分比 CV，也 称为变异系数。 对数据相对离散程度的测度。 消除了数据水平高低和计量单位的影响。 n用于对不同组别数据离散程度的比较。 n计算公式为： 2727 差异系数的用途 n1、比较不同单位资料的差异程度 n2、比较单位相同而平均数相差较大的两 组资料的差异程度 n3、可判断特殊差异情况 2828 差异系数 (例题分析) 某管理局所属8家企业业的产产品销销售数据 企业编业编 号 产产品销销售额额（万元） x1 销销售利润润（万元） x2 1 2 3 4 5 6 7 8 170 220 390 430 480 650 950 1000 8.1 12.5 18.0 22.0 26.5 40.0 64.0 69.0 【 例例4.5 4.5 】某管理局抽查了所属的某管理局抽查了所属的8 8家企业，其产品销售家企业，其产品销售 数据如表。试比较产品销售额与销售利润的离散程度数据如表。试比较产品销售额与销售利润的离散程度 2929 差异系数 (例题分析) 结论：结论： 计算结果表明，说明产品销售额的离散计算结果表明，说明产品销售额的离散 程度小于销售利润的离散程度。程度小于销售利润的离散程度。 v v1 1= = 536.25536.25 309.19309.19 = =0.5770.577 v v2 2= = 32.521532.5215 23.0923.09 = =0.7100.710 3030 经验法则与异常值的取舍 n经验法则表明：当一组数据对称分布时 n约有68%的数据在平均数加减1个标准差的范围 之内 n约有95%的数据在平均数加减2个标准差的范围 之内 n约有99%的数据在平均数加减3个标准差的范围 之内 n如果数据落在平均数加减3个标准差的范围之外， 则在整理数据时，可将此数据作为异常值舍弃。 3131 不同测度的选用 n不同类型的数据可供选用的测度不同。 n各种测度都有优缺点。 n集中趋势的测度和离散程度的测度联合使用。 n集中趋势的测度描述的频数分布的典型性，指