[工学]机械优化设计孙靖民主编课件.ppt

最优化设计 第二章 最优化设计 的基本理论 第二章 最优化设计的基本理论 主要内容： 1，目标函数和约束函数的某些性质。 2，目标函数达到设计最优解的某些规律。 第二章 最优化设计的基本理论术 2.1 目标函数的性态分析 一、目标函数的等值面（线） 目标函数是一种可计算函数。 F(X) = F(x1 , x2 , x3 ,. x n ) 给定一个设计方案X (x1 , x2 , x3 ,. x n )的值时，F(X)必 有一定的数值相对应。 反过来，若给定F(X) = C值，便有无限多组的(x1 , x2 , x3 ,. x n )与F(X) = C相对应。即：当F(X)等于常数时，X在设计 空间中有一个点集。 一般情况下，此点集是一超维曲面，称之为目标函数的 等值面。当给定一系列的C值，C=C1,C2时，便可以得到一 组曲面族等值面族。 当然，在一个特定的等值面上，每个设计方案的目标函 数值都是相等的。 2.1 目标函数的性态分析 当n=2时，得到等值线。如图所示： 目标函数的等值线族方程为： 此曲线族是以（2，0）为圆 心， 为半径的同心圆。 给定一个 x1 , x2 值，可以算得相应的()。但给 定一个()= Ci ，就得到了一个圆。这个圆实际上是 无穷多个点组成起来的，是无穷多个点的集合，是无穷多 个设计方案的集合。 2.1 目标函数的性态分析 同一圆上的所有设计点所对应 的目标函数值都是相等的。 当n=3时，得到等值面。 2.1 目标函数的性态分析 非圆形的等值面（等值线）是 实际问题中常见的。可以用地形图 中的等高线来比喻。等值线的中心 一般是目标函数的极值，等值线越 密，该处的函数变化率越大。 等值线（面）的分布律表示了 目标函数的变化情况。 对于有中心的曲线族，求目标 函数的极值就是寻找等值线族的共 同中心。 怎么找到目标函数等值线的共 同中心呢？ 2.1 目标函数的性态分析 中心 而最优化设计的最关键问题就是确定行进方向S和行进 步长的步长因子。 这两个参数定得好，几步就可以找到极值点，达到事半 功倍的效果。S和定得不好，就有可能始终找不到*,甚至 越算越糟。 怎么找，得对有些数学知识给予复习。 2.1 目标函数的性态分析 最优化设计都是采用迭代的办法。由一个初始点 (0)，想法找到一个方向S(0)，向前迈进一步， (0) = (0) S(0) 走到一个新点： (1) =(0) +(0) S(0) 比较F（(0)）和F（(1)），如果 F（(0)）F（(1)），则把（(1)）当成新的初始点重新 开始第二次迭代。 1， 偏导数 某个坐标轴方向上函数值的变化率称之为函数的偏导数。 2.1 目标函数的性态分析 二、函数的方向导数 等值面或等值线只是从几何方面定性地表达了目标函 数的变化规律。这是不够的，必须对目标函数的性态作定 量的分析，以便进一步探明目标函数沿某个指定方向的函 数值的变化率是多少，沿哪个方向变化率最大。（现代设 计方法的发展趋势之一，就是由定量取代定性。）为此， 需要引入方向导数和梯度的概念。 2.1 目标函数的性态分析 对于二维目标函数(x1,x2)， 设在(0)=x1 (0) ，x2 (0)T处，若 保持 x2 = x2(0) 不变， F（x1，x2）沿x1方向的变化率 就称为（）沿x1方向的偏导数。定义为： 它的几何意义是曲面F(x1，x2)被平面 x2 = x2(0)所截成的曲线F（x1，x2 (0) ）在点处 的切线的斜率。 2.1 目标函数的性态分析 同理，若保持 x1 = x1(0) 不变， () 沿x2方向的偏导数： 它也是曲面() 被平面x1= x1(0) 所截成的 曲线（x1 (0) ，x2 ）在点处的切线的斜率。 2.1 目标函数的性态分析 推而广之，对于n维目标函数()在(0) 点， (0) = x1 (0) ,x2 (0), x n (0)T的一阶偏导 数分别为： 表示目标函数()在X(q)点沿x j 轴的一阶偏导数。此时注意； xi (q) (i=1,2,n)中 ij 的任何轴都不变化，只有x j轴变化。 2.1 目标函数的性态分析 2，方向导数 对于目标函数(x1,x2)， 在其设计平面(x1,x2)内，有 一已知设计点(0)。现从这一 已知点沿S方向前进，这个S方向与x1 轴的夹角为1， 与x2 的夹角为 2 。在S方向上取任一点(1)， (1) = x1 (0) +x1 ，x2 (0) + x2T ， (0)点到 (1) 之间的距离为(0)的模。 记为： 2.1 目标函数的性态分析 另：常用向量的范数 属于数学专业范函分析的一部分 在R n欧氏区间内，有一向量， =x1,x2,x3x nT，那么的范数 p 就为 ： 2.1 目标函数的性态分析 最常用的是如下三个范数： （1）X的范数1 （2）X的范数2 由于范数2用得非常多,故把X2写成X。 2.1 目标函数的性态分析 （3）X的范数无穷 （ (0) ）是一个有方向的矢量， (0) 而为标量。 2.1 目标函数的性态分析 目标函数在点沿方向的平均变化率为： 如果上式极限存在，则称这个极限值为目标 函数()在点沿S方向的方向导数。 2.1 目标函数的性态分析 记作 在式子的中间，加上又减去同一个数 把上式变为： 2.1 目标函数的性态分析 这就是二维的方向导数计算公式。 对于三维函数(x1，x2，x3)，若S方向与3个 坐标轴方向间的夹角分别为 1，2，3，则函 数在点 (0) 沿S方向的方向导数为： 而对于n维函数，可以以此类推出： 2.1 目标函数的性态分析 式中 称为S的方向余弦。 例1：优化钻杆问题 设方向S 1 ， S 2分别为 求在点 (0) = 1，1T 沿 S 1 和 S 2 方向的 方向导数。 2.1 目标函数的性态分析 解： 2.1 目标函数的性态分析 计算结果表明，在同一点上，函数沿不同 方向的方向导数值是不等的，实际上说明函数 在该点的不同方向上有不同的变化率。 2.1 目标函数的性态分析 因为一个行向量(a1,a2,a3 a n)乘一个列向量 (b1,b2,b3 b n)T 就等于(a1b1+a2b2 +a3b3+ a n b n)， 于是可以将前面的 改写为另外一 种形式。 2.1 目标函数的性态分析 三、梯度 梯度主要解决F(X)在某点沿什么方向时，其方 向导数值为最大，沿什么方向，其方向导数最小。 式子中， 代表了一个单位向量，S的模为： 2.1 目标函数的性态分析 在二维坐标中， x1垂直于x2 ，必有： c o s 21 + c o s 22=1 2.1 目标函数的性态分析 在三维坐标中，x1、x2、x3两两正交， S 与x1、x2、x3的夹角分别为1、2、3，根 据空间解析几何，必有： c o s 21 + c o s 22+ c o s 23=1 也是一个向量，用T来表 示， T和 S 方向无关，完全 由函数性质决定。于是，根据向 量的数量积公式得到： 2.1 目标函数的性态分析 定义：方向导数取得最大值的向量称为函数 在该点的梯度，记作 梯度方向即是函数值增长最快的方向。 2.1 目标函数的性态分析 函数的最大变化率为： 2.1 目标函数的性态分析 如果推广到多元函数，函数()的梯度 可表示为： ，设()定义于R n内，而且是连续的。若 (k)为其中一设计点，则()在 (k) 点的梯度 就是对设计变量一阶导数组成的一个向量，记作 ： 2.1 目标函数的性态分析 梯度的性质 ，梯度 (k) )是目标函数 ()在 (k) 点的最陡的上升方向，其数值因点而异 ，所以这是一种局部性质，即只反映()在 点 (k) 附近的性态。 2.1 目标函数的性态分析 ，梯度 (k) )与过 (k) 点的等值面 （线）是正交的。 ，负梯度- (k) )是函数 F ()在 (k) 点的最快速下降方 向。 2.1 目标函数的性态分析 而此时S和反向，与 -同向。也就是S与 -(k) )方