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第3章 离散傅里叶变换 (Discrete Fourier TransformDFT) 3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义 3.2 离散傅里叶变换的性质 3.3 频率域采样 3.4 DFT的应用举例 傅里叶变换的离散性和周期性 1.连续时间周期信号的傅里叶级数连续时间、离散频率 结论：时域周期-频域离散；时域连续-频域非周期 2.连续时间非周期信号的傅里叶变换连续时间、连续频率 结论：时域非周期-频域连续；时域连续-频域非周期 3. 序列的傅里叶变换离散时间、连续频率 结论：时域非周期-频域连续；时域离散-频域周期 4. 离散傅里叶变换离散时间、离散频率 结论：时域周期-频域离散；时域离散-频域周期 3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义 一、离散傅里叶变换(DFT)的定义 二、DFT与FT及ZT的关系 三、DFT的隐含周期性 四、用MATLAB计算序列的DFT x(n)为周期序列的主值序列 X(k)为周期序列的主值序列 “借用” 的主值序列X(k)定义为“ 离散傅里叶变换(DFT)”。目的是使 傅里叶分析可以利用数字计算机。 一、离散傅里叶变换(Discrete Fourier TransformDFT) 二、DFT与傅里叶变换和z变换的关系 DFT的物理意义1：序列x(n)的N点DFT是x(n)的z变换在单位圆 上的N点等间隔采样。 有限长序列x(n)点数为M DFT的物理意义2：X(k)为x(n)的傅里叶变换在区间0, 2 上的N点等间隔采样。 二、DFT与傅里叶变换和z变换的关系 三、DFT的隐含周期性 DFT物理意义3：有限长序列的N点离散傅里叶变换X(k)正好是x(n)的 周期延拓序列x(n)N的离散傅里叶级数系数的主值序列，X(k)实质上 是x(n)的周期延拓序列 的频谱特性。 【例3.1.1】x(n)=R4(n)，求x(n)的4点和8点DFT。 Xk = fft(xn,N) xn = ifft(Xk,N) 四、用MATLAB计算序列的DFT 【例3.1.2】 3.2 离散傅里叶变换的性质 一、线性性质 二、循环移位性质 1. 序列的循环移位 N=8 m=2 2. 时域循环移位性质 3. 频域循环移位性质（调制性质） 二、循环移位性质 1. 两个有限长序列循环卷积的定义 三、循环卷积定理 循环倒相序列 L点循环卷积 循环右移一个样值点 x(n)的L点循环卷积矩阵 【例3.2.1】 1. 两个有限长序列循环卷积的定义 2. 时域循环卷积定理 三、循环卷积定理 L点循环卷积 3. 频域循环卷积定理 四、复共轭序列的DFT 五、DFT的共轭对称性 1. 有限长共轭对称序列和共轭反对称序列 任何有限长序列都可以表示成有限长共轭对称序列与有限 长共轭反对称序列之和 2. DFT的共轭对称性 (1) 将有限长序列x(n)表示为 有限长序列x(n)实部的DFT为X(k)的共轭对称分量，虚部和j一 起的DFT为X(k)的共轭反对称分量。 2. DFT的共轭对称性 (2)将有限长序列x(n)表示为 有限长序列x(n)的共轭对称分量的DFT为X(k)的实部，共轭 反对称分量的DFT为X(k)的虚部乘以j。 2. DFT的共轭对称性 (3) 有限长实序列DFT的共轭对称性 【例3.2.2】利用DFT的共轭对称性，设计一种高效算法，通 过计算一个N点DFT，就可以计算出两个实序列x1(n)和x2(n) 的N点DFT。 六、离散帕塞瓦尔定理 证明： 3.3 频率域采样 由于所以 频域采样定理： 假设序列x(n)的长度为M，只有当频率域采样点数NM时， 才有xN(n)=IDFTX(k)=x(n)，即可由频域采样序列X(k)恢复 原序列x(n)，否则产生时域混叠现象。 3.4 DFT的应用举例 一、用DFT计算线性卷积 二、用DFT对信号进行谱分析 当LN+M-1时，yc(n)=yl(n) 线性卷积与循环卷积的关系： yl(n)的长度为N+M-1 yc(n)的长度为L 一、用DFT计算线性卷积 证明： x(n)的L点循环卷积矩阵 时域循环 卷积定理 1. 用DFT对连续时间非周期信号x(t)进行谱分析 (1) 对x(t)以采样间隔T采样得序列 x(n)= x(nT) (2) 将序列x(n)=x(nT)截断成从t=0开始长度为Tp的有限长序列，Tp=NT (3) 为了数值计算，在频域也要离散化，一个周期Fs等间隔采样N点，每 个样点间隔为 F，N=Fs/F，F=Fs/N=1/TN=1/Tp 二、用DFT对信号进行谱分析 图3.4.6 用DFT分析连续信号频谱的原理示意图 用DFT近似计算模拟信号频谱的计算步骤： (1) 首先确定用DFT对模拟信号频谱进行近似计算的三个参 数，即频率分辨率F、 采样频率Fs、 记录时间Tp。 (2) 用已确定的Fs对模拟信号采样。采样后得到时域离散信 号为x(n)=xa(t)|t=nT=xa(nT)。 (3) 在计算机上调DFT(FFT)函数对信号x(n)进行频谱计算。 【例3.4.2】对实时信号进行谱分析，要求谱线间距(分辨率 )F10Hz，信号最高频率fc=2.5kHz，试确定最小记录时间 Tpmin、最大采样间隔Tmax、最少的采样点数Nmin。如果fc 不变，要求谱分辨率F增加1倍，Nmin和Tpmin是多少？ 【例3.4.3】用DFT对模拟信号进行谱分析，设模拟信号xa(t)的最 高频率为200Hz，以采样频率Fs=400Hz采样得到时域离散序列 x(n)=xa(nT)，要求频率分辨率为10Hz。模拟信号频谱Xa(j)如下 图所示，试画出X(ej)=FTx(n)和X(k)=DFTx(n) 谱线图，并标 出每个k=0,20,40对应的数字频率k和模拟频率fk的值。 2. 对连续时间周期信号的傅里叶级数的DFS逼近 (2) 将频域离散序列加以截断，截断长度为一个周期N (1) 时域抽样 二、用DFT对信号进行谱分析 【例】假设时域连续信号x(t)=x1(t)+x2(t)+x3(t)，其中 x1(t)=3sin(30t)， x2(t)=2sin(40t)， x3(t)=sin(60t)。 (1) 如果用DFT对x(t)进行频谱分析，问采样频率Fs和采样点数 N应如何选择，才能精确求出x1(t)、x2(t)、x3(t)的频率； (2) 按照你选择的Fs、N对x(t)等间隔采样，得到x(n)，用DFT 进行频谱分析求出各频率分量的幅值，计为X(k)，画出幅 度谱，并说明x1(t)、x2(t)、x3(t)的信号频率出现在k的什么 位置。 3. 用DFT对序列进行谱分析 (2) 对周期序列进行谱分析 (1) 对有限长序列进行谱分析 二、用DFT对信号进行谱分析 4. 用DFT进行谱分析的误差问题 (1) 频谱混叠 (2) 栅栏效应 二、用DFT对信号进行谱分析 (3) 截断效应 图3.4.12 矩形窗的幅度谱 (a) 50 Hz正弦波的幅频曲线； (b) 50 Hz正弦波加窗后的幅频曲线(Tp=0.09 s); (c) 50 Hz正弦波加窗后的幅频曲线(Tp=0.18 s) 【例3.4.5】50Hz正弦波