[工学]第六章信号检测与估计理论.ppt

维纳（18941964），美国数学家，控制论的创始人。 N. 维纳对20世纪的数学发展作出了重大贡献。维纳 14(15)岁大学毕业，18岁获哈佛大学哲学博士学位。此后 到英国、德国，先后师从罗素、哈代、李特尔伍德和希尔 伯特学习。1919年到麻省理工学院任教直至退休。20年代 ，他在布朗运动理论和位势理论研究方面作出了独创性的 具有基本意义的贡献。30年代，他同E. 霍普夫共同研究 了一类给定在半无穷区间上的带差核的奇异积分方程，提 出了维纳-霍普夫方法，现在这类方程称为维纳-霍普夫方 程，其理论在多种领域中得到应用。 1 第二次世界大战期间，开始了创建控制论 的工作。1948年出版了他的名著控制论：或 关于在动物或机器中通讯的科学，对科学界 产生了巨大的影响。几十年来，控制论得到了 迅速发展，广泛应用于自动理论、计算机程序 、决策过程等各个方面。 2 1948年，美国科学家维纳发表控制 论，遭到科学界的冷遇，37岁的钱学森 却敏锐把握到这一理论的普遍意义，将这 一新理论运用到自己的喷气技术研究。 1954年，钱学森发表工程控制论一书 ，开创了一门新的技术科学。多年来，这 本著作为世界各国科学家广为引证、参考 ，成为自动控制领域引用率最高的经典著 作。 3 断 章 卞之琳 你站在桥上看风景 看风景的人在楼上看你 明月装饰了你的窗子 你装饰了别人的梦 因此引用杨振宁博士的话： “应该多对新的，活的东西，与现 象有直接有关的东西感兴趣。” 4 6.2连续过程的维纳滤波 维纳滤波也称为最小平方滤波或者最佳滤 波，其基本思想是要设计一个滤波器。一般是 根据信号s(t)与噪声n(t)的时域或频域特性， 选择适当的脉冲响应函数或系统函数，使得其 滤波输出与期望输出之间的误差平方和最小（ 均方误差最小）。 5 被噪声污染的信号波形恢复称为滤波。 大家熟悉的滤波器是采用电感、电容等分 立元件构成，它对于滤去某些干扰谱线有较好 的效果。对于混在随机信号中的噪声滤波，这 种简单的滤波器就不是最佳的滤波电路，这是 因为信号与噪声均可能具有连续的功率谱。 6 如下图所示。不管滤波器具有什么样的频率响应 K(j)，均不可能做到噪声完全滤掉，使信号波形的 不失真恢复。因此，需要寻找一种使误差最小的最 佳滤波方法，又称为最佳滤波准则。 7 维纳线性滤波理论是一种在最小均方误差准则 下的最佳线性滤波方法。（维纳滤波发展的两个方向 ） 由于维纳滤波器电路实现上的困难，在维纳滤波 基础上发展了一种基于状态空间方法的最佳线性递推 滤波方法，称为卡尔曼滤波。这种滤波器特别适用于 对离散时间序列的实时滤波，可以很方便用计算机处 理，因而是近代滤波理论的重要发展，在自动控制领 域起到了重要作用。 8 维纳滤波理论的另一发展方向是自适应滤 波，它可以自动地调节其自身参数，在设计时 ，只需要很少的，或根本不需要任何关于信号 和噪声的先验统计知识。因此，目前在模型识 别、通信信道的自适应均衡、生物医学信号中 周期干扰消除等方面均有重要应用。 9 真实信号 观测信号 加性噪声 线性估计问题 最小均方误差(MMSE)估计 (minimum mean-square error) 估计误差 维纳滤波问题描述 维纳滤波对真实信号的最小均方误差估计. 10 6.2 连续过程的维纳滤波 维纳滤波最基本的概念：从信号加性噪声中尽可能完整 地提取信号而最大限度地抑制噪声。实质上是研究维纳滤波 器的设计问题。 6.2.1最佳线性滤波 观测信号 其中， 是有用信号； 是观测噪声。我们可以对 ， ， ， 等信号波形进行估计。为统一分析， 将被估计信号波形统一记为 ，估计结果统一记为 。 11 设 和 都是零均值的随机过程，则 的线性估计可 以表示为 其中， 是 时刻 的采样； 是加权系数。 是 采样 的线性加权和。 为使估计波形 具有最小均方误差，由估计误差与观 测信号的正交性，有 由该式可以求出最佳加权系数 ，从而实现 的最 12 佳线性估计。 6.2.2式估计波形 的积分形式表示为 这说明，将 输入具有时变脉冲响应为 的线性滤波 器，其输出为 的估计为 ，见图6.1。 13 为使均方误差最小，利用正交性原理，即 求解线性时变滤波器的脉冲响应 。利用相关 函数表示上式，得 该式是实现信号波形线性估计，且均方误差最小 14 的线性时变滤波器的脉冲响应 应满足 的积分方程。它能实现非平稳随机信号波形 的线性最佳估计（但时变脉冲响应的解比较 困难）。 估计的均方误差就是估计误差的方差， 表示为 15 16 6.2.2 维纳霍夫方程 适用于非平稳随机信号波形最佳估计的线性时变滤波 器的 求解困难。为获得实用的结果，进行必要的约 束： 设 和 都是零均值的平稳随机过程，且二者联合平稳； 这意味着观测时间从 开始，而且滤波器是线性时不变。 考虑因果系统，滤波器在构造估计信号波形时，只用 时刻及以前时刻的观测信号。这样，线性时不变滤波器 的估计 为 见图6.2。 17 而(6.2.6)式变为 令 , , 则有 18 该式称为维纳霍夫方程。它是信号波形线性最小均方 误差估计的线性时不变滤波器的脉冲响应 应满足的积 分方程。这样的滤波器称为维纳滤波器，而由维纳滤波器 获得信号波形估计 ，称为维纳滤波。 19 估计误差的方差为 所以，要实现维纳滤波，需要设计维纳 滤波器，这就是维纳霍夫方程的解。 20 6.2.3 维纳霍夫方程的非因果解 (6.2.10)式中,限定 （正半轴）,即维纳滤波 器的脉冲响应满足 所以,它是因果系统。如果我们取 ，包 括整个时间轴则系统是非因果的. 21 此时，维纳霍夫方程6.2.10变为 22 故最佳滤波器的系统函数为 23 讨论： 若 ； 与 相互统计独立，即 ， 则 24 当噪声为0时，信号全部通过； 当信号为0时，噪声全部被抑制； 因此维纳滤波确有滤除噪声的能力。 25 26 27 （1）对13的频率范围内，由于Ps()=0，一定有H()=0，表 示由于没有信号，故滤波器增益为零，从而完全阻止噪声通过。 同样在这段频率内，均方误差的积分值也为零。 29 （3）对23的频率范围内，由于Ps()及Pn()均不为零， 则|H()|1，这一方面要防止噪声通过，又要保证信号通过。因 此随着增加，Pn()逐渐加大，|H()|逐渐减小，直至为零。 30 估计误差的方差为 31 32 33 34 重叠部分的影响 35 可见，维纳滤波能够实现信号波形的线性 最佳估计。非因果的维纳滤波器是物理不可实 现的。讨论目的：加深对维纳滤波概念理解； 提供了维纳滤波均方误差的下界，作为比较的 参考标准。 36 例 s(t)为马尔科夫过程，其功率谱密度为 观测噪声n(t)为白噪声，其Pn()=1，求维纳滤波器的 H()及h(t)。 37 解 已知 因此有 其最小均方误差为式 38 下面，计算冲激响应h (t)，对H（)作傅里叶变换得 39 6.2.4 维纳滤波器的因果解 1. 重写维纳霍夫方程 40 6.2.4 维纳滤波器的因果解 2. 分析:求解 的困难在于约束 若 ,则 。 这意味着，若 是自相关函数为 的白过程，则 。积分方程就可以直接 求解。 41 通常， 是非白过程，但上述结果提醒我们：若将非 白过程 首先通过白化滤波器 变为白过程 ，然后 针对白过程 ，设计维纳滤波器 ，则维纳滤波器的 因果解为 42 如图6.4所示。 下面讨论白化滤波器 和滤波器 的设计问题。 43 3. 白化滤波器 的设计 若观测信号 是具有有理功率谱 的平 稳随机过程，则用复频域表示为 式中， 的所有零极点在s平面的左半平面； 的所有零极点在s平面的右半平面 。 44 如要求白化滤波器能够将非白化过程白化，则 则其输出 是白过程。 因为 而 45 所以，有 从而得白化滤波器的系统函数 4. 滤波器 的设计 求解 的积分方程为 其中， 。所以 46 于是， 为 式中， 表示取 中零极点在 平面左半平面的部分， 这是由 决定的。 因为 47 两边取拉普拉斯变换，得 这样，维纳滤波器的系统函数 为 估计的均方误差为 下面我们通过例子来说明维纳滤波器的问题。 48 例6.2.1 设线性时不变滤波器输入的观测信号 x(t)是平稳随机过程，其功率谱为 设计物理可实现的白化滤波器 ，它的输出 功率谱密度为1。 49 解 所以 该白化滤波器由微分器和常增益器并联组成。 50 例6.2.2 设随机信号 加白噪声 通过一 线性滤波器。已知 和 的自相关函数 分别为 现考虑 的波形估计问题，要求估计的均 方误差最小。设计该滤波器，并计算波形估 计的均方误差。 51 解 据题意，待估计的波形 ，是维纳滤波问题。 首先对 和 进行双边拉普拉斯变换，得 令 52 则 故有 又有 然后求维纳滤波器的系统函数 和均方误差。 非因果的维纳滤波器 53 因果的维纳滤波器 54 例6.2.3维纳预测和平滑问题。设随机信号 加白 噪声 都是均值为0的平稳随机过程，二者互不 相关。自相关函数分别为 试求估计波形 及均方误差。 55 6.3 离散过程的维纳滤波 56 6.3.1 离散过程的维纳霍夫方程 57 58 59 离散形式 连续形式 60 61 离散过程的维纳-霍夫方程（因果关系） 62 6.3.2 离散维纳滤波器的解 离散维纳滤波器的z域解(频域) A 因果解 B 非因果解 离散维纳滤波器的时域解 63 1 离散维纳滤波器的z域解(非因果解) 64 65 66 可以看出，维纳滤波的最小均方误差不仅与观测（ 输入）信号的功率谱有关，而且和噪声和信号功率 谱的乘积有关，也就是说，最小均方误差与信号和 噪声功率谱的重叠部分的大小有关。 67 68 2 离散维纳滤波器的z域解(因果解) 69 1 70 对于非白色序列 71 72 3