[理学]32刘微到祖冲之.ppt

中世纪的中国数学 3.2从刘徽到祖冲之 3.2.1刘徽的数学贡献 l如果离开了刘徽的九章算术注去研究九 章算术，则很难深入理解九章算术的精 髓。 l刘徽的九章算术注对于阐发九章算术 的思想方法，发展九章算术的理论，完善 九章算术的体系，作出了杰出的贡献。 3.2.1刘徽的数学贡献 l刘徽，魏晋时期人，祖籍淄 乡（今山东临淄或淄川一带）， 生卒年月不详。 l经过多年的刻苦钻研，刘徽不仅逐步领会了 九章算术的精神实质，而且对其中的深奥玄 妙之处有了较透彻的理解，于是他决心把自己 的研究所得以对九章算术作注的形式一一 记载下来。 3.2.1刘徽的数学贡献 （一）割圆术。 l刘徽“割圆术”的基本思想是“化圆为方”，并借 助于极限的方法。 l“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至不可 割，则与圆合体而无所失矣”。 3.2.1刘徽的数学贡献 l刘徽从圆的内接正六边形出发，并取半径为1 尺，一直推算到圆的内接正192边形。得到圆 周率的近似值为3.14，为为分数就是 157/50，这就是著名的“徽率”。 3.2.1刘徽的数学贡献 l（二）体积理论 l（1）阳马术 “阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。” 3.2.1刘徽的数学贡献 l“阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。” 3.2.1刘徽的数学贡献 3.2.1刘徽的数学贡献 3.2.1刘徽的数学贡献 l刘徽在这里熟练地运用了出入相补原理和无穷 分求和原理。 3.2.1刘徽的数学贡献 l（2）球体积计算 l“牟合方盖”。 lV牟：V球=4： 3.2.1刘徽的数学贡献 l“牟合方盖”。 3.2.2祖氏父子的数学贡献 l祖冲之（429500），字文 远，祖籍范阳遒县（今河北涞 水县）。他生活在南北朝，家 学渊博，加上他自幼刻苦勤奋 ，对天文、数学有浓厚的兴趣 ，而成为一位博学多才的天文 学家与数学家、机械制造专家 、文学家。宋孝武帝时把他安 排在政府的学术机构华林 学省，从事学术研究工作。 3.2.2祖氏父子的数学贡献 l后来被调到南徐州做从事史，不久又被调回建 康任公府参军。还出任过娄县令，到齐灭刘宋 以后他又到齐政府中担任谒者仆射，晚年提升 为南朝首都建康的长水校尉。 l祖冲之的一生虽然担任过各种大小官职，行政 事务十分繁忙。可是他热爱科学，几十年中仍 利用一切空余时间孜孜不倦地从事天文历法和 数学的研究。 3.2.2祖氏父子的数学贡献 l他编制的大明历，首次考虑到岁差的计算 ，其日、月运行周期的数据也比当时颁行的历 法精确。 l此外，他还改造了指南车，制造了水碓磨、千 里船等。 l他的儿子祖暅，字景烁，也精通历法、数学。 父子俩都对九章算术与刘徽注有浓厚的兴 趣，他们的著作缀术在唐代被李淳风收入 “算经十书”作为数学教科书。 3.2.2祖氏父子的数学贡献 l祖冲之继承了刘徽的思想，其最突出的成就是 对圆周率值的推算。 l隋书律历志记载着他对圆周率的研究成 果3.1415926。由于中国古代习惯使用分数 ，故祖冲之又给出了圆周率的两个分数值：密 率为355/113；约率为22/7。其中密率在欧洲 由德国数学家奥托于1573年得到，这比祖冲之 要晚1100年之久。 3.2.2祖氏父子的数学贡献 l至于祖冲之是如何得到圆周率的，由于他的著 作已经失传，已无从了解了。但大多数人认为 ，他可能使用的就是刘徽的割圆术。 l刘徽：192边形。 l祖冲之：24576边形。 3.2.2祖氏父子的数学贡献 l祖氏父子在研究九章算术及刘徽注时发现 了刘徽遗留下的如何计算“牟合方盖”的体积问 题，并开始沿着刘徽开辟的道路继续探索，经 父子两代人不懈的努力，终于由祖暅解决了牟 合方盖体积的计算，得到牟合方盖与其外切正 方体的体积比为2/3。 3.2.2祖氏父子的数学贡献 l祖氏父子所用的方法论证严谨，推导完善，无 懈可击；同时，祖暅还将起推导过程中所用、 事实上也是刘徽已经使用过的不可分量原理， 总结提炼成一般的命题：“缘幂势既同，则积 不容异”。它被称为“祖暅原理”，这实际上也 就是西方数学界所谓的“卡瓦列利原理”。这一 原理在西方直到17世纪才由意大利数学家卡瓦 列利发现，比祖暅晚了1100多年。 3.2.2祖氏父子的数学贡献 3.2.2祖氏父子的数学贡献 3.2.2祖氏父子的数学贡献 3.2.2祖氏父子的数学贡献 3.2.2祖氏父子的数学贡献 3.2.3算经十书 l为了教学的需要，由数学家李淳风等人共同审 定并注释了十部算经作为数学教材，这十部著 作是周髀算经、九章算术、海岛算 经、孙子算经、张邱建算经、五 曹算经、五经算术、夏侯阳算经、 缀术和辑古算经，这就是历史上著名 的“算经十书”，其记载了汉唐的数学成就，并 成为后人数学教学与研究的重要源泉。 3.2.3算经十书 l孙子算经出现在4世纪，其具体的成书年 代与作者姓名已不可考，这是继九章算术 之后又一部重要的数学著作。 l孙子算经分上、中、下三卷，卷上叙述度 量衡制度、筹算记数和筹算乘除运算方法；卷 中举例说明筹算分数算法和开平方算法，以及 简单的面积、体积计算；卷下是各种应用问题 ，涉及田域、仓窖、营建、赋役、军旅等。 l从其内容特色来看，它以实际应用为主，注重 计算技术，题目通俗有趣，解法巧妙简便，在 中国古代数学著作中是很有代表性的。 （一）孙子算经与“物不知数 ” l孙子算经还记载了举世闻名的“孙子问题” ，这就是卷下第26题，也即全书的最后一题。 l“今有物不知数。三三数之剩二；五五数之剩 三；七七数之剩二，问物几何？” l虽然孙子算经记载的“孙子问题”似乎是一 个数字游戏，但古代产生这一问题的背景却是 非常深刻的，这主要是天文历法的需要。 卷下第31题，可谓是后世“鸡兔同 笼”题的始祖，后来传到日本，变成 “鹤龟算”。书中是这样叙述的：“今 有鸡兔同笼，上有三十五头，下有 九十四足，问鸡兔各几何？这四句 话的意思是：有若干只鸡兔同在一 个笼子里，从上面数，有35个头； 从下面数，有94只脚。求笼中各有 几只鸡和兔？ （二）张邱建算经和“百鸡问题” l张邱建算经三卷，为5世纪时期北魏人张 邱建所撰，其主要数学成就有：最大公约数与 最小公倍数的应用、等差数列、开带从平方和 不定方程。 l“百鸡问题” l“今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡 雏三，直钱一。凡百钱买鸡百只。问鸡翁、母 、雏各几何？” l此题相当于给出不定方程组： l这里的x,y,z分别为鸡翁、鸡母、鸡雏的只数。 算经十书 l张邱建给出了三组解 l这恰好是所有可能的三组正整数解。至于如何 得到这三组解，张邱建算经的“术”文是“ 鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三，即得 。” l这实际上指出了这个不定方程的通解公式为 （三）辑