高中数学 第一章 直线、多边形、圆 2_3 弦切角定理学案 北师大版选修4-1

23弦切角定理对应学生用书P191弦切角的定义顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角2弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半弦切角的三要素是什么？提示：(1)顶点在圆上；(2)一边与圆相交；(3)一边与圆相切对应学生用书P20弦切角的计算例1如图，AB为O的直径，CD切O于D，AB延长线交CD于点C，若CAD25，求C.思路点拨本题主要考查弦切角定义及定理的应用解此题时，需连接BD，创设弦切角CDB，然后求C.精解详析连接BD.AB为直径，则BDA90.又CD为O的切线，切点为D，BDC为弦切角BDCCAD25.CDA9025115.在ACD中，C180ACDA40.利用定义确定弦切角时要紧扣定义中的三要素确定大小时，要区分弦切角所夹的弧对应的是圆心角还是圆周角1.如图，CD是O的切线，T为切点，A是上的一点，若TAB100，则BTD的度数为()A20B40C60D80解析：选D如图，作四边形ABET，因为四边形ABET是圆内接四边形，所以E180A80，又CD是O的切线，T为切点，所以BTDE80.弦切角定理的应用例2如图，AB为O的弦，CD切O于P，ACCD于C，BDDC于D，PQAB于Q.求证：PQ2ACBD.思路点拨本题主要考查弦切角定理的应用，解题时连接PA、PB证明ACPPQB，BDPPQA后可证PQ2ACBD.精解详析连接PA，PB，如图所示CD切O于P，12.ACCD于C，PQAB于Q，ACPPQB90.ACPPQB.ACPQPABP.同理，BDPPQA，PQBDPABP.ACPQPQBD，即PQ2ACBD.利用弦切角定理证明问题的关键是根据条件创设弦切角，从而寻找角的等量关系2如图，OA和OB是O的半径，并且OAOB，P是OA上任一点，BP的延长线交O于点Q，过点Q的O的切线交OA延长线于点R.求证：RPRQ.证明：作直径BC，连接CQ，因为BC是O的直径，所以BC90，因为OAOB，所以BBPO90.所以CBPO.又BPORPQ，所以CRPQ.又因为RQ为O的切线，所以PQRC.所以PQRRPQ.所以RPRQ.例3如图，圆O的直径AB8，C为圆周上一点，BC4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，求线段AE的长思路点拨本题考查利用弦切角定理进行计算问题解此题时，连接BE，AC，OC.可知AEB为直角三角形，利用角的关系确定EBA30可求AE.精解详析连接OC，BE，AC，则BEAE.BC4，OBOCBC4，即OBC为正三角形，CBOCOB60.又直线l切O于C，DCACBO60，ADl，DAC906030，而OACACOCOB30，EAB60.在RtBAE中，EBA30，AEAB4.弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，利用弦切角定理时，注意结合条件添加适当的辅助线以构造弦切角3.如图，PA，PB是O的切线，点C在上，CDAB，CEPA，CFPB，垂足分别为D，E，F.求证：CD2CECF.证明：连接CA，CB.因为PA，PB是O的切线，所以CAPCBA，CBPCAB.又因为CDAB，CEPA，CFPB，所以RtCAERtCBD，RtCBFRtCAD，所以，所以，即CD2CECF.本课时常考查弦切角定理及应用，题目难度中等考题印证如图，O和O相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交O于点E.证明：(1)ACBDADAB；(2)ACAE.命题立意本题考查平面几何中的弦切角定理及相似三角形的判定与性质自主尝试(1)由AC与O相切于A，得CABADB，同理ACBDAB，所以ACBDAB.从而，即ACBDADAB.(2)由AD与O相切于A，得AEDBAD，又ADEBDA，得EADABD.从而，即AEBDADAB.结合(1)的结论，ACAE.对应学生用书P21一、选择题1如图，AB是O的直径，DB，DC分别切O于B，C两点，若ACE25，则D为()A50B55C60 D65解析：选A连接BC，根据弦切角定理，得ACEABC25.又因为ABBD，所以CBD90ABC65.因为DC，DB是圆的切线，所以CBDDCB65，所以D18026550.2过圆内接ABC的顶点A引O的切线交BC的延长线于点D，若B35，ACB80，则D为()A45 B50C55 D60解析：选A如图，AD为O的切线，DACB35.又ACB80，DACBDAC803545.3如图，AB是O的直径，EF切O于点C，ADEF于点D，AD2，AB6，则AC的长为()A2B3C2D4解析：选C连接BC，如图所示，EF是O的切线，ACDABC.又AB是O的直径，ACB90.又ADEF，ACBADC.ADCACB.AC2ADAB2612.AC2.4.已知如图，E是两相交圆M和N的一个交点，且ME NE，AB为外公切线，切点分别为A，B，连接AE，BE，则AEB的度数为()A145 B140C135 D130解析：选C连接AM，BN，因为BAEAME，ABEBNE，所以BAEABE(AMEBNE)，因为MAAB，NBAB，所以MANB，所以AMNBNM180.因为MEN90，所以EMNENM90，所以AMEBNE1809090 ，所以BAEABE9045，所以AEB18045135.二、填空题5.如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB7，C是圆上一点使得BC5，BACAPB，则AB .解析：由PA为O的切线，BA为弦，得PABBCA，又BACAPB，于是APBCAB，所以，而PB7，BC5，故AB2PBBC7535，即AB.答案：6如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，PBADBA.若ADm，ACn，则AB .解析：因为直线PB是圆O的切线，所以ABPC，又因为ABPABD，所以ABDC，又因为AA，所以ABDACB，所以，所以AB.答案：7.如图，四边形ABCD内接于O，ABBC.AT是O的切线，BAT55，则D等于 解析：如图，连接AC，由弦切角定理知ACBBAT55，因为ABBC，所以ACBCAB55，所以B1802ACB70，所以D180B110.答案：1108如图，PA切O于点A，割线PBC经过圆心O，OBPB1，OA绕点O逆时针旋转60到OD，则PD的长为 解析：过点D作DEPC，垂足为E.POD120，DOC60.可得OE，DE，在RtPED中，PD.答案：三、解答题9过O外一点P作O的切线PA，切点为A，连接OP与O交于点C，过C作AP的垂线，垂足为D.若PA12 cm，PC6 cm.求CD的长证明：连接AO，PA为圆的切线，PAO为直角三角形，设O的半径为r，则122r2(r6)2，r9.又CDPA，于是.CD(cm)10.如图，已知AB是O的直径，ABAC，BC交O于点D，DEAC，E为垂足(1)求证：ADEB.(2)过点O作OFAD，与ED的延长线相交于点F，求证：FDDAFODE.证明：(1)连接OD，因为OAOD，所以OADODA.因为AB是O的直径，所以ADB90，即ADBC.又因为ABAC，所以AD平分BAC，即OADCAD.所以ODADAEOAD.因为ADEDAE90，所以ADEODA90，即ODE90，ODEF.因为OD是O的半径，所以EF是O的切线所以ADEB.(2)因为OFAD，所以FADE.又因为DEAFDO90，所以FDODEA.所以，即FDDAFODE.11如图，O是以AB为直径的ABC的外接圆，点D是劣弧的中点，连接AD并延长，与过C点的切线交于P，OD与BC相交于点E.求证：(1)OEAC；(2).证明：(1)因为AB为O的直径，所以ACB90，即ACBC.因为D是弧 的中点，由垂径定理得ODBC，因此ODAC，又因