[医学]分子动理论.ppt

J.C.Maxwell(1831-1879) 然而从大量分子的整体来看，在平衡态下，它们的速率 分布却遵从着一定的统计规律。1859年由麦克斯韦应用统计 概念首先导出。 一. 分布的概念 平衡态下，气体系统是由大量分子组成， 而各分子的速 率通过碰撞不断地改变， 不可能逐个加以描述, 只能给 出分子数按速率的分布。 问题的提出 分布的概念 例如学生人数按年龄的分布 年龄 15 16 17 18 19 20 2122 人数按年龄 的分布 2000 3000 4000 1000 人数比率按 年龄的分布 20% 30% 40% 10% 7.3 麦克斯韦速率分布定律 速率v1 v2 v2 v3 vi vi +v 分子数按速率 的分布 N1 N2 Ni 分子数比率 按速率的分布 N1/N N2/N Ni/N 例如气体分子按速率的分布 Ni 就是分子数按速率的分布 二. 速率分布函数 f(v) 设某系统处于平衡态下， 总分子数为 N ，则在vv+ dv 区 间内分子数的比率为 f(v) 称为速率分布函数 四. 麦克斯韦速率分布定律 理想气体在平衡态下分子的速率分布函数 ( 麦克斯韦速率分布函数 ) 式中m为分子质量，T 为气体热力学温度， k 为玻耳兹曼常量 k = 1.3810-23 J / K 1. 麦克斯韦速率分布定律 意义： 分布在速率v 附近单位速率间隔内的分子数与总 分子数的比率。那么，对于单个分子来说，它又代表 什么呢？ 说明 (1) 麦克斯韦速率分布定律对处于平衡态下的混合气体的各 组分分别适用。 (2) 在通常情况下实际气体分子的速率分布和麦克斯韦速率 分布能很好的符合。 理想气体在平衡态下，气体中分子速率在vv+ dv 区间 内的分子数与总分子数的比率为 这一规律称为麦克斯韦速率分布定律 vO T ( 速率分布曲线 ) 曲线下面的总面积， 等于分布在整个速 率范围内所有各个 速率间隔中的分子 数与总分子数的比 率的总和 最概然速率v p (most probable speed) f(v) 出现极大值时, 所对应的速率称为最概然速率 。 (归一化条件) f(v) 物理意义：在一定温度下，速度大小与其相近的气体分 子的百分率为最大。 五. 分子速率的三种统计平均值 1. 平均速率 (mean speed) 式中M 为气体的摩尔质量，R 为摩尔气体常量 思考： 是否表示在v1 v2 区间内的平均速率 ？ 2. 方均根速率 3. 最概然速率 m 一定,T 越大, 这时曲线向右移动 T 一定, m越大, 这时曲线向左移动 v p 越大, v p 越小, T1 f(v) vO T2( T1) 1 f(v) vO 2( 1) 由于曲线下的面积不变,由此可见 T (1) 一般三种速率用途各 不相同 讨论分子运动平均距离用 说明 讨论分子的平均平动动 能用 讨论速率分布一般用 f(v) vO (2) 同一种气体分子的三种速率的大小关系: 有N 个粒子，其速率分布函数为 (1) 作速率分布曲线并求常数 a (2) 速率大于v0 和速率小于v0 的粒子数 解 例 求 (1) 由归一化条件得 O (2) 因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内的分 与总分子数的比率，所以 因此，vv0 的分子数为 ( 2N/3 ) 同理 vv0 的分子数为 ( N/3 ) 的分子数与总分子数的比率为 根据麦克斯韦速率分布率，试证明速率在最概然速率 vpvp+v 区间内的分子数与温度 成反比( 设v 很小) 将最概然速率代入麦克斯韦速率分布定律中，有 例 证 金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动，与容器中的 气体分子很类似。设金属中共有N 个电子，其中电子的最大 速率为vm，设电子速率在vv+dv 之间的几率为 式中A 为常数 解 例 求 该电子气的平均速率 因为仅在（0 ，vm）区间分布有电子，所以 氢气分子在室温下（300K）的最概然速率为1578M/S， 那么在小于最概然速率范围内分子数所占比率为42.78%，小 于3.3倍最概然速率范围内分子数占99.99%以上，而在3*104- -3*108M/S（光速）范围内的概率为4.36*10-151。 7.4 气体分子的平均自由程 一个分子单位时间内 和其它分子碰撞的平 均次数，称为分子的 平均碰撞频率。 一. 分子的平均碰撞频率 假设 每个分子都可以看成直径为d 的弹性小球，分子间的碰撞 为完全弹性碰撞。大量分子中，只有被考察的特定分子A 以平均相对速率 运动，其它分子都看作静止不动。 运动分子单位时间内扫过一个 圆柱体，凡是中心在该圆柱体 内的其他分子，都将和运动分 子发生碰撞，由于碰撞，运动 分子的速度方向要有改变，所 以圆柱体不是直线的，但是曲 折的存在不会很大地影响圆柱 体体积，因此不必修正体积。 单位时间内与分子 A 发生碰撞的分子数为 考虑到所有分子实际上都在运动，则有 平均碰撞频率为 用宏观量 p 、T 表示的平均碰撞频率为 分子在连续两次碰撞之间自由运动的平均路程，称为分子 的平均自由程 。 二. 分子的平均自由程 用宏观量 p 、T 表示的分子平均自由程为 说明 在标准状态下，各种气体分子的平均碰撞频率的数量级 约为 109 s-1，平均自由程的数量级约为10-7 10-8 m 。 估算氢气分子在标准状态下的平均碰撞频率 常温常压下，一个分子在一秒内平均要碰撞几十亿次，可 见气体分子之间的碰撞是多么的频繁！ 解 例 在标准状态下，有 对氢气分子取 ，则 真空管的线度为 10-2 m ，其中真空度为 1.33 10-3 Pa 。 设空气分子的有效直径为 310-10 m 。 27 时单位体积内的空气分子数、平均自由程、平均碰撞 次数 。 解 例 求 由气体的状态方程, 有 在这种情况下气体分子相互之间很少发生碰撞，只是不断 地来回碰撞真空管的壁，因此气体分子的平均自由程就应 该是容器的线度。 即 12.8 玻耳兹曼分布律 一. 重力场中粒子按高度的分布 麦克斯韦速率分布律是关于无外力场时，气体分子 的速率分布。此时，分子在空间的分布是均匀的。 若有外力场存在，分子按密度如何分布呢？ 问题： (非均匀的稳定分布) 平衡态下气体的温度处处 相同，气体的压强为 h h+dh h O n 在重力场中，粒子数密度随高度增大而减小， 越大，n 减小越迅速；T 越高，n 减小越缓慢。 (等温气压公式) 式中 p0 是高度为零处的压强 实验测得常温下距海平面不太高处，每升高10 m，大气压 约降低133.3 Pa。试用恒温气压公式验证此结果（海平面 上大气压按1.013105 Pa 计，温度取273K）。 解 例 等温气压公式 将上式两边微分，有 二. 玻耳兹曼分布律 平衡态下温度为T 的气体中，位于空间某一小区间 xx+dx ， yy+dy ， zz+dz 中的分子数为 这是粒子关于位置的分布的规律. 常称为玻耳兹曼分布律。 它适用于任何形式的保守力场 式中p 是位于（x、y、z）处分子 的势能 它表明，在势场中的分子总是优先占据势能较低的状态。 三. 麦克斯韦玻耳兹曼分布律 平衡态下温度为 T 的气体中，位置在 xx+dx， yy+dy， zz+dz 中, 且速度在 vx vx+dvx , vy vy+dvy ,vz vz+dvz 区间的分子数为 式中 =k+p 是分子的总能量， C 是与位置坐标和速度无关的 比系系数。 这一结论，称为麦克斯韦玻耳兹曼分布定律。它给出了 分子数按能量的