高中数学 第二章 变化率与导数 2 导数的概念及其几何意义教学案 北师大版选修2-2

2 导数的概念及其几何意义 导数的概念一质点按规律s2t22t做直线运动(位移单位：米，时间单位：秒)问题1：试求质点在前3秒内的平均速度提示：8米/秒问题2：试求质点在3秒时的瞬时速度提示：142t，当t0时，14，故质点在3秒时的瞬时速度为14米/秒问题3：对于函数yf(x)，当x从x0变到x1时，求函数值y关于x的平均变化率提示：.问题4：当x趋于0时，平均变化率趋于一个常数吗？提示：是导数的概念1定义：设函数yf(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为，当x1趋于x0，即x趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数yf(x)在x0点的瞬时变化率在数学中，称瞬时变化率为函数yf(x)在x0点的导数2记法：函数yf(x)在x0点的导数，通常用符号f(x0)表示，记作f(x0)li li .导数的几何意义问题1：函数yf(x)在x0，x0x的平均变化率为，你能说出它的几何意义吗？提示：表示过A(x0，f(x0)和B(x0x，f(x0x)两点的直线的斜率问题2：当x变化时，直线如何变化？提示：直线AB绕点A转动问题3：当x0时，直线变化到哪里？提示：直线过点A与曲线yf(x)相切位置导数的几何意义1割线的定义：函数yf(x)在x0，x0x的平均变化率为，它是过A(x0，f(x0)和B(x0x，f(x0x)两点的直线的斜率，这条直线称为曲线yf(x)在点A处的一条割线2切线的定义：当x趋于零时，点B将沿着曲线yf(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l，直线l和曲线yf(x)在点A处“相切”，称直线l为曲线yf(x)在点A处的切线3导数的几何意义：函数yf(x)在x0处的导数，是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率1函数f(x)在点x0处的导数就是函数的平均变化率在当自变量的改变量趋于零时的极限，若li 存在，则函数yf(x)在点x0处就有导数2f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在切点(x0，f(x0)处的切线的斜率 求函数在某点处的导数例1求函数y在x2处的导数思路点拨由所给函数解析式求yf(xx0)f(x0)；计算；求li .精解详析f(x)，yf(2x)f(2)1，li li 1，f(2)1.一点通由导数的定义，求函数yf(x)在点x0处的导数的方法：求函数的增量yf(x0x)f(x0)；求平均变化率；取极限，得导数f(x0).1函数yx2在x1处的导数为()A2xB2xC2 D.1解析：yx2在x1处的导数为：f(1)2.答案：C2设函数f(x)axb，若f(1)f(1)2，则f(2)_.解析：函数f(x)axb在x1处的导数为f(1)li li li a，又f(1)2，得a2，而f(1)2，有ab2，于是b0，所以f(x)2x，有f(2)4.答案：43求函数f(x)x在x1处的导数解：y(1x)x，1，2，从而f(1)2.求曲线的切线方程例2已知曲线y3x2x，求曲线上的点A(1,2)处的切线斜率及切线方程思路点拨利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求得切线方程精解详析因为53x，当x趋于0时，53x趋于5，所以曲线y3x2x在点A(1,2)处的切线斜率是5.所以切线方程为y25(x1)，即5xy30.一点通求曲线在点(x0，f(x0)处的切线方程的步骤：(1)求出函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)4曲线yx2在点(1,1)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A. B.C1 D.2解析：f(1)li li li (2x)2.则曲线在点(1,1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.因为y2x1与坐标轴的交点为(0，1)，所以所求三角形的面积为S1.答案：A5求曲线f(x)在点(2，1)处的切线方程解：点(2，1)在曲线y上，曲线y在点(2，1)处的切线斜率就等于y在x2处的导数kf(2)li li li ，曲线y在点(2，1)处的切线方程为y1(x2)，整理得x2y40.导数几何意义的综合应用例3已知抛物线y2x21，求：(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45？(2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4xy20?(3)抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x8y30?精解详析设点的坐标为(x0，y0)，则y2(x0x)212x14x0x2(x)2.4x02x.当x趋于零时，趋于4x0.即f(x0)4x0.(1)抛物线的切线的倾斜角为45，切线的斜率为tan 451，即f(x0)4x01，得x0，该点为.(2)抛物线的切线平行于直线4xy20，切线的斜率为4，即f(x0)4x04，得x01，该点为(1,3)(3)抛物线的切线与直线x8y30垂直，切线的斜率为8，即f(x0)4x08，得x02，该点为(2,9)一点通解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标解题时注意解析几何中直线方程知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，直线的平行、垂直等6曲线yx23x在点P处的切线平行于x轴，则点P的坐标为_解析：根据题意可设切点为P(x0，y0)，y(xx)23(xx)(x23x)2xx(x)23x，2xx3.f(x)li li (2xx3)2x3.由f(x0)0，即2x030，得x0，代入曲线方程得y0.所以点P坐标为.答案：7已知函数yf(x)的图像在点M(1，f(1)处的切线方程是yx2，则f(1)f(1)_.解析：由导数的几何意义，易得f(1)，由切线方程得f(1)12，所以f(1)f(1)3.答案：38求经过点(2,0)且与曲线y相切的直线方程解：可以验证点(2,0)不在曲线上，设切点为P(x0，y0)由yli li li .故所求直线方程为yy0(xx0)由点(2,0)在所求的直线上，得xy02x0，再由P(x0，y0)在曲线y上，得x0y01，联立可解得x01，y01，所以直线方程为xy20.求曲线的切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上若在曲线上，可用切线方程的一般方法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标或切线斜率，从而得到切线方程 1函数yf(x)13x在x2处的导数为()A3B2C5 D.1解析：yf(2x)f(2)3x，3，x趋于0时，趋于3.答案：A2抛物线yx2在点Q(2,1)处的切线方程为()Axy10 Bxy30Cxy10 D.xy10解析：f(2)li li 1，过点(2,1)的切线方程为y11(x2)，即xy10.故选A.答案：A3.已知曲线C：yx3的图像如图所示，则斜率等于3，且与曲线C相切的直线有()A1条B2条C3条D不确定解析：由yx3得3x23xx(x)2，则yli3x23xx(x)23x2，由3x23，得x1，即存在2条斜率等于3且与曲线C相切的直线，故选B.答案：B4已知函数yf(x)的图像如图所示，则f(xA)与f(xB)的大小关系是()Af(xA)f(xB)Bf(xA)f(xB)Cf(xA)f(xB)D不能确定解析：由图像易知，点A，B处的切线斜率kA，kB满足kAkB0.由导数的几何意义，得f(xA)f(xB)答案：B5已知曲线y2x24x在点P处切线斜率为16，则点P坐标为_解析：设P(x0,2x4x0)，则f(x0)4x04，又f(x0)16，4x0416，x03，P(3,30)答案：(3,30)6.如图，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则li _.解析：由导数的概念和几何意义知，li f(1)kAB2.答案：27已知点P(2，1)在曲线f(x)上求：(1)曲线在点P处的切线的斜率；(2)曲线在点P处的切线方程解：(1)将P(2，1)的坐标代入f(x)，得t1，f(x).f(2)1，曲线在点P处的切线斜率为1.(2)由(1)知曲线在点P处的切线方程为y(1)x2，即xy30.8求与曲线yx2相切，且与直线x2y10垂直的直线方程？解：设切点为P