高中数学 第三章 概率章末小结与测评教学案 新人教a版必修3

第三章 概率互斥事件和对立事件是针对两个事件而言的，它们既有区别又有联系在一次试验中，两个互斥事件最多只发生一个；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生所以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥若事件A1，A2，An彼此互斥，则P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)应用互斥事件的概率的加法公式解题时，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和对于较复杂事件的概率，可以转化为求对立事件的概率求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，若A与B互为对立事件，则利用公式P(A)1P(B)求解典例1黄种人群中各种血型的人所占的比例如下：血型ABABO该血型的人所占比例(%)2829835已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，张三是B型血，若张三因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给张三的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给张三的概率是多少？解：(1)对任一人，其血型为A，B，AB，O的事件分别记为A，B，C，D，由已知，有P(A)0.28，P(B)0.29，P(C)0.08，P(D)0.35，因为B，O型血可以输给张三，所以“任找一人，其血可以输给张三”为事件BD.依据互斥事件概率的加法公式，有P(BD)P(B)P(D)0.290.350.64.(2)法一：由于A，AB型血不能输给B型血的人，所以“任找一人，其血不能输给张三”为事件AC，依据互斥事件概率的加法公式，有P(AC)P(C)P(A)0.280.080.36.法二：因为事件“任找一人，其血可以输给张三”与事件“任找一人，其血不能输给张三”是对立事件，所以由对立事件的概率公式，有P(AC)1P(BD)1P(B)P(D)10.640.36.对点训练1某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1 000张奖券为一个开奖单位设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)抽取1张奖券中奖的概率；(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率解：(1)每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，P(A)，P(B)，P(C).(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D，则P(D)P(A)P(B)P(C).(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，则P(E)1P(A)P(B)1.古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，在高考题中，经常出现此种概型的题目，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性对于古典概型概率的计算，关键是分清基本事件个数n与事件A中包含的结果数m，有时需用列举法把基本事件一一列举出来，再利用公式P(A)求出事件的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏典例2一辆小客车上有5个座位，其座位号为1,2,3,4,5，乘客P1，P2，P3，P4，P5 的座位号分别为1,2,3,4,5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车，乘客P1 因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座，如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位，如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位(1)若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，此时共有4种坐法，下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表格空格处)；(2)若乘客P1坐在了2号座位，其他的乘客按规则就座，求乘客P5 坐到5号座位的概率.乘客P1P2P3P4P5座位号3214532451解：(1)余下两种坐法如下表所示：乘客P1P2P3P4P5座位号3241532541(2)若乘客P1 坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐则所有可能的坐法可用下表表示为：乘客P1P2P3P4P5座位号2134523145234152345123541243152435125341于是，所有可能的坐法共8种设“乘客P5 坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4.所以P(A).乘客P5 坐到5号座位的概率是.对点训练2现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率解：(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：1,2，1,3，1,4，1,5，1,6，2,3，2,4，2,5，2,6，3,4，3,5，3,6，4,5，4,6，5,6，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共6个，所以P(A).(2)基本事件同(1)，用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有1,5，1,6，2,5，2,6，3,5，3,6，4,5，4,6，共8个，所以P(B).若试验同时具有基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性两个特征，则此试验为几何概型，由于其结果的无限性，概率就不能应用P(A)求解，而需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解，体现了数形结合的数学思想典例3已知关于x的一元二次方程x22(a2)xb2160.(1)若a、b是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求方程有两个正实数根的概率；(2)若a2,6，b0,4，求一元二次方程没有实数根的概率解：(1)基本事件(a，b)共有36个，且a，b1,2,3,4,5,6，方程有两个正实数根等价于a20,16b20，0，即a2，4b4，(a2)2b216.设“一元二次方程有两个正实数根”为事件A，则事件A所包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P(A).(2)试验的全部结果构成区域(a，b)|2a6,0b4，设“一元二次方程无实数根”为事件B，则构成事件B的区域为B(a，b)|2a6,0b4，(a2)2b216，如图可知构成事件的区域面积为S()16.构成事件B的区域面积为：S(B)424，故所求的概率为P(B).对点训练3设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是4 cm.现用直径为2 cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率解：记事件A“硬币落下后与格线无公共点”，则硬币圆心落在如图所示的小三角形内，小三角形的边长为2.P(A).统计和古典概型的综合是高考解答题的一个命题趋势和热点，此类题很好地结合了统计与概率的相关知识，并且在实际生活中应用也十分广泛，能很好地考查学生的综合解题能力，在解决综合问题时，要求同学们对图表进行观察、分析、提炼，挖掘出图表所给予的有用信息，排除有关数据的干扰，进而抓住问题的实质，达到求解的目的典例4(2015安徽高考)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：40,50)，50,60)，80，90)，90,100(1)求频率分布直方图中a的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在40,50)的概率解：(1)由频率分布直方图可知：(0.004a0.0180.02220.028)101，解得a0.006.(2)由频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.0220.018)100.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在50,60)的有：500.006103(人)，记为A1，A2，A3；受访职工中评分在40,50)的有：500.004102(人)，记为B1，B2.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，B1，B2又因为所抽取2人的评分都在40,50)的结果有1种，即B1，B2，故所求的概率为.对点训练4随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示.(1)直接根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率解：(1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160 cm179 cm之间，而乙班身高集中于170 cm179 cm之间因此乙班平均身高高于甲班；(2)甲班的平均身高170(cm)甲班的样本方差s2(158170)2(162170)2(163170)2(168170)2(168170)2(170170)2(171170)2(179170)2(179170)2(182170)257.2(cm2)(3)设“身高为176 cm的同学被抽中”为事件A，从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件：(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，P(A).即身高为176 cm的同学被抽中的概率为.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列说法正确的是()A随机事件的概率总在0,1内B不可能事件的概率不一定为0C必然事件的概率一定为1D以上均不对解析：选C随机事件的概率总在(0,1)内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.2下列事件中，随机事件的个数为()在某学校校庆的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；在明天下午体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；在标准大气压下，水在4 时结冰A1 B2 C3 D4解析：选C在某学校校庆的田径运动会上，学生张涛有可能获得100米短跑冠军，也有可能未获得冠军，是随机事件；在明天下午体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，李凯不一定被抽到，是随机事件；从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，不一定恰为1号签，是随机事件；在标准大气压下，水在4 时结冰是不可能事件故选C.3甲、乙、丙三人随意坐一排座位，乙正好坐中间的概率为()A. B. C. D.解析：选B甲、乙、丙三人随意坐有6个基本事件，乙正好坐中间，甲、丙坐左右两侧有2个基本事件，故乙正好坐中间的概率为.4从一批产品中取出三件产品，设A“三件产品全不是次品”，B“三件产品全是次品”，C“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是()AA与C互斥 BB与C互斥C任何两个均互斥 D任何两个均不互斥解析：选B因为事件B是表示“三件产品全是次品”，事件C是表示“三件产品不全是次品”，显然这两个事件不可能同时发生，故它们是互斥的，所以选B.5(2016郑州高一检测)函数f(x)x2x2，x5,5，那么任取一点x0，使得f(x0)0的概率是()A. B. C. D.解析：选A由f(x0)0，即xx020，得1x02，其区间长度为3，由x5,5，区间长度为10，所以所求概率为P.6如图，在矩形ABCD中，点E为边CD的中点若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自ABE内部的概率等于()A. B. C. D.解析：选C不妨设矩形的长、宽分别为a、b，于是S矩形ab，SABEab，由几何概型的概率公式可知P.7给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是()A. B. C. D.解析：选B给三人打电话的不同顺序有6种可能，其中第一个给甲打电话的可能有2种，故所求概率为P.故选B.8如图，EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，则P(A)()A. B.C2 D.解析：选D豆子落在正方形EFGH内是随机的，故可以认为豆子落在正方形EFGH内任一点是等可能的，属于几何概型因为圆的半径为1，所以正方形EFGH的边长是，则正方形EFGH的面积是2，又圆的面积是，所以P(A).9在区间，内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)x22axb22 有零点的概率为()A. B1 C. D.1解析：选B要使函数有零点，则(2a)24(b22)0，a2b22，又a，b，所以基本事件的范围是2242，函数有零点所包含的基本事件的范围是423.所以所求概率为1.故选B.10如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是()A. B. C. D.解析：选C设被污损的数字是x，则x0,1,2,3,4,5,6,7,8,9甲的平均成绩为甲(8889909192)90，乙838387(90x)99，设甲的平均成绩超过乙的平均成绩为事件A，则此时有90，解得x8，则事件A包含x0,1,2,3,4,5,6,7，共8个基本事件，则P(A).11掷一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现2点”，B表示“出现奇数点”，则P(AB)等于()A. B. C. D.解析：选B由古典概型的概率公式得P(A)，P(B).又事件A与B为互斥事件，由互斥事件的概率和公式得P(AB)P(A)P(B).12节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A. B. C. D.解析：选C由于两串彩灯第一次闪亮相互独立且4秒内任一时刻等可能发生，所以总的基本事件为如图所示的正方形的面积，而要求的是第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的基本事件，即如图所示的阴影部分的面积，根据几何概型的计算公式可知它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13(2016青岛高一检测)一个口袋内装有大小相同的10个白球，5个黑球，5个红球，从中任取一球是白球或黑球的概率为_解析：记“任取一球为白球”为事件A，“任取一球为黑球”为事件B，则P(AB)P(A)P(B).答案： 14如图所示，在正方形内有一扇形(见阴影部分)，点P随意等可能落在正方形内，则这点落在扇形外且在正方形内的概率为_解析：设正方形的边长为1，则正方形的面积S1，扇形的面积S112，根据几何概型公式得，点P落在扇形外且在正方形内的概率为1.答案：115已知集合A(x，y)|x2y21，集合B(x，y)|xya0，若AB的概率为1，则a的取值范围是_解析：依题意知，直线xya0与圆x2y21恒有公共点，故1，解得a.答案：，16从1,2,3,4这四个数字中，任取两个，这两个数字都是奇数的概率是_，这两个数字之和是偶数的概率是_解析：从1,2,3,4四个数字中任取两个共有6种取法取的两个数字都是奇数只有1,3一种情况，故此时的概率为.若取出两个数字之和是偶数，必须同时取两个偶数或两个奇数，有1,3；2,4两种取法，所以所求的概率为.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(10分)从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表求：(1)甲被选中的概率；(2)丁没被选中的概率解：(1)从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，共有甲、乙，甲、丙，甲、丁，乙、丙，乙、丁，丙、丁6个基本事件，甲被选中的事件有甲、乙，甲、丙，甲、丁共3个，若记甲被选中为事件A，则P(A).(2)记丁被选中为事件B，则P()1P(B)1.18(12分)袋子中装有大小和形状相同的小球，其中红球与黑球各1个，白球n个从袋子中随机取出1个小球，取到白球的概率是.(1)求n的值；(2)记从袋中随机取出的一个小球为白球得2分，为黑球得1分，为红球不得分现从袋子中取出2个小球，求总得分为2分的概率解：(1)由题意可得，解得n2.(2)设红球为a，黑球为b，白球为c1，c2，从袋子中取出2个小球的所有基本等可能事件为：(a，b)，(a，c1)，(a，c2)，(b，c1)，(b，c2)，(c1，c2)，共有6个，其中得2分的基本事件有(a，c1)，(a，c2)，所以总得分为2分的概率为.19(12分)一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求nm2的概率解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件有1和2,1和3，共2个因此所求事件的概率P.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个又满足m2n的事件的概率为P1，故满足nm2的事件的概率为1P11.20(12分)已知集合Z(x，y)|x0,2，y1,1(1)若x，yZ，求xy0的概率；(2)若x，yR，求xy0的概率解：(1)设“xy0，x，yZ”为事件A，x，yZ，x0,2，即x0,1,2；y1,1，即y1,0,1.则基本事件有：(0，1)，(0,0)，(0,1)，(1，1)，(1,0)，(1,1)，(2，1)，(2,0)，(2,1)共9个其中满足“xy0”的基本事件有8个，P(A).故x，yZ，xy0的概率为.(2)设“xy0，x，yR”为事件B，x0,2，y1,1，则基本事件为如图四边形ABCD区域，事件B包括的区域为其中的阴影部分P(B)，故x，yR，xy0的概率为.21(12分)(2015福建高考)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.组号分组频数14,5)225,6)836,7)747,83(1)现从融合指数在4,5)和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在7,8内的概率；(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数解：(1)融合指数在7,8内的3家“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在4,5)内的2家“省级卫视新闻台”记为B1，B2.从融合指数在4,5)和7,8内的5家“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：A1，A2，A1，A3，A2，A3，A1，B1，A1，B2，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，B1，B2，共10个其中，至少有1家融合指数在7,8内的基本事件是：A1，A2，A1，A3，A2，A3，A1，B1，A1，B2，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，共9个所以所求的概率P.(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数为455.56.57.56.05.22(12分)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两种卡片颜色不同且标号之和小于4的概率解：(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.(2)记F是标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共8种所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.模块综合检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1从2 006名世博会志愿者中选取50名组成一个志愿者团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2 006人中剔除6人，余下的2 000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会()A不全相等 B均不相等C都相等 D无法确定答案：C2在线段0,3上任取一点，则此点坐标大于1的概率是()A. B. C. D.解析：选B根据几何概型可知，在线段0,3上任取一点，则此点坐标大于1的坐标就是15? Bi5? Ci4? Di4?解析：选D根据程序框图，要使得输出的结果是112122123124，那么判断框内的条件必须是“i4？”.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4,12,8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为_解析：丙组中应抽取的城市数为：82.答案：214利用秦九韶算法，求当x23时，多项式7x33x25x11的值的算法第一步：x23，第二步：y7x33x25x11，第三步：输出y；第一步：x23，第二步：y(7x3)x5)x11，第三步：输出y；算6次乘法，3次加法；算3次乘法，3次加法以上描述正确的序号为_解析：利用秦九韶算法，y(7x3)x5)x11，算3次乘法，3次加法，故正确答案：15执行如图所示的程序框图，输出的T_.解析：按照程序框图依次执行为S5，n2，T2；S10，n4，T246；S15，n6，T6612；S20，n8，T12820；S25，n10，T201030S，输出T30.答案：3016已知直线l过点(1,0)，l与圆C：(x1)2y23相交于A、B两点，则弦长|AB|2的概率为_解析：显然直线l的斜率存在，设直线方程为yk(x1)，代入(x1)2y23中得，(k21)x22(k21)xk220，l与C相交于A、B两点，4(k21)24(k21)(k22)0，k23，k，又当弦长|AB|2时，圆半径r，圆心到直线的距离d，即，k21，1k1.由几何概型知，事件M：“直线l与圆C相交弦长|AB|2”的概率P(M).答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(10分)一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球，从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率解：记事件A1任取1球为红球，A2任取1球为黑球，A3任取1球为白球，A4任取1球为绿球，则P(A1)，P(A2)，P(A3)，P(A4).由题意知，事件A1，A2，A3，A4 彼此互斥(1)取出1球为红球或黑球的概率为：P(A1A2)P(A1)P(A2).(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为：法一：P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3).法二：P(A1A2A3)1P(A4)1.18(12分)甲、乙两艘货轮都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，试求两船中有一艘在停泊位时，另一艘船必须等待的概率解：设甲、乙两船到达泊位的时刻分别为x，y.则作出如图所示的区域区域D(正方形)的面积S1242，区域d(阴影)的面积S2242182.P.即两船中有一艘在停泊位时另一船必须等待的概率为.19(12分)在一次数学统考后，某班随机抽取10名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如图所示(1)计算样本的平均成绩及方差；(2)在这10个样本中，现从不低于84分的成绩中随机抽取2个，求93分的成绩被抽中的概率解：(1)这10名同学的成绩是：60,60,73,74,75,84,86,93,97,98，则平均数80.方差s2(9880)2(9780)2(9380)2(8680)2(8480)2(7580)2(7380)2(7480)2(6080)2(6080)2174.4.即样本的平均成绩是80分，方差是174.4.(2)设A表示随机事件“93分的成绩被抽中”，从不低于84分的成绩中随机抽取2个结果有：(98,84)，(98,86)，(98,93)，(98,97)，(97,84)，(97,86)，(97,93)，(93,84)，(93,86)，(86,84)，共10种而事件A含有4个基本事件：(98,93)，(97,93)，(93,84)，(93,86)所以所求概率为P.20(12分)某培训班共有n名学生，现将一次某学科考试成绩(单位：分)绘制成频率分布直方图，如图所示其中落在80,90)内的频数为36.(1)请根据图中所给数据，求出a及n的值；(2)从如图5组中按分层抽样的方法选取40名学生的成绩作为一个样本，求在第一组、第五组(从左到右)中分别抽取了几名学生的成绩；(3)在(2)抽取的样本中的第一与第五组中，随机抽取两名学生的成绩，求所取两名学生的平均分不低于70分的概率解： (1)第四组的频率为：10.050.0750.2250.350.3，a0.03，n120.(2)第一组应抽：0.05402(名)，第五组应抽：0.075403(名)(3)设第一组抽取的2个分数记作A1、A2，第五组的3个分数记作B1、B2、B3，那么从这两组中抽取2个的结果有：A1A2，A1B1，