高中数学 第3章 概率章末小结与测评教学案 北师大版必修3

第3章 概率1频率与概率概率是一个常数，频率是一个变数，它随着试验次数的变化而变化，试验次数越多，频率就越接近于概率2古典概型(1)古典概型的特点是：有限性和等可能性(2)对于古典概型概率的计算，关键要分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，再利用公式P(A)求出概率有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重、不漏3互斥事件与对立事件(1)互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件(2)应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定事件彼此是否互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和，求较复杂的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)1P()(事件A与互为对立事件)求解4几何概型(1)几何概型的特点是：无限性和等可能性(2)对于几何概型试验的计算，关键是求得事件A所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式求解典例1(江西高考)如图，从A1(1，0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0，1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点(1)求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；(2)求这3点与原点O共面的概率解从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：x轴上取2个点的有A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，共4种；y轴上取2个点的有B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，共4种；z轴上取2个点的有C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共4种所选取的3个点在不同坐标轴上有A1B1C1，A1B1C2，A1B2C1，A1B2C2，A2B1C1，A2B1C2，A2B2C1，A2B2C2，共8种因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种(1)选取的这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有A1B1C1，A2B2C2，共2种，因此，这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P1.(2)选取的这3个点与原点O共面的所有可能结果有A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共12种，因此，这3个点与原点O共面的概率为P2.借题发挥要正确理解P(A)中的基本事件，准确求出m、n的个数，求基本事件个数的常用方法有：列举法、列表法和树状图法对点训练1. (北京高考)如图，茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示甲组乙组9 90X 8 91 110(1)如果X8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率(注：方差s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中为x1，x2，xn的平均数)解：(1)当X8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10，所以平均数为：；方差为：s22222.(2)记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)，用C表示“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：(A1，B4)，(A2，B4)，(A3，B2)，(A4，B2)故所求概率为P(C).典例2黄种人群中各种血型的人所占比例如下：血型ABABO该血型的人占的比例(%)2829835已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明是B型血，若小明因病需要输血，则：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解(1)对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A，B，C，D，它们是互斥的，由已知，得：P(A)0.28，P(B)0.29，P(C)0.08，P(D)0.35.因为B、O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件BD，根据互斥事件的加法公式，有P(BD)P(B)P(D)0.290.350.64.(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输血给B型血的人”为事件AC，且P(AC)P(A)P(C)0.280.080.36.所以，任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36.借题发挥准确理解互斥事件与对立事件的定义是正确应用公式的前提，如果事件A与事件B互斥，则P(AB)P(A)P(B)，注意应用加法公式的前提条件是事件A与事件B互斥；若事件A与事件B是对立事件，则P(A)1P(B)对点训练2据统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1.求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过1次的概率解：法一：设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”，又A与B是互斥事件，P(AB)P(A)P(B)0.40.50.9.法二：设事件A为“一个月内被投诉不超过1次”，为“一个月内被投诉次数超过1次”，A与为对立事件P()0.1，又P(A)P()1，P(A)1P()0.9.典例3在等腰RtABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率解在AB上截取ACAC.于是P(AMAC)P(AMAC).所以AM的长小于AC的长的概率为.借题发挥若试验同时具有：基本事件的无限性；每个事件发生的等可能性两个特征，则此试验为几何概型由于其结果的无限性，概率就不能应用P(A)求解，故需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解对点训练3一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯亮；(2)黄灯亮；(3)不是红灯亮解：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型(1)P；(2)P；(3)P.(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列事件：如果a，b是实数，那么baab；某地1月1日刮西北风；当x是实数时，x20；一个电影院某天的上座率超过50%，其中是随机事件的有()A1个B2个 C3个 D4个解析：选B 由题意可知是必然事件，是随机事件2下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是()A频率就是概率B频率是客观存在的，与试验次数无关C随着试验次数的增多，频率一般会越来越接近概率D概率是随机的，在试验前不能确定解析：选C 由频率与概率关系知C正确3从含有3个元素的集合中任取一个子集，所取的子集是含有两个元素的集合的概率是()A. B. C. D.解析：选D 所有子集共8个；其中含有2个元素的为a，b，a，c，b，c4从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g的概率为0.3，质量小于4.85 g的概率为0.32，那么质量在4.8，4.85)(g)范围内的概率是()A0.62 B0.38 C0.02 D0.68解析：选C 其中质量小于4.85 g包括质量小于4.8 g和质量在4.8,4.85)范围内两种情况，所以所求概率为0.320.30.02.5若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点P(m，n)在直线xy4上的概率是()A. B. C. D.解析：选D 由题意知(m，n)的取值情况有(1,1)，(1,2)，(1,6)；(2,1)，(2,2)，(2,6)；(6,1)，(6,2)，(6,6)共36种情况而满足点P(m，n)在直线xy4上的取值情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3种情况，故所求概率为.6(北京高考)设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A. B. C. D.解析：选D 画草图易知区域D是边长为2的正方形，到原点的距离大于2的点在以原点为圆心，以2为半径的圆的外部，所以所求事件的概率为P.7从集合A1,1,2中随机选取一个数记为k，从集合B2,1,2中随机选取一个数记为b，则直线ykxb不经过第三象限的概率为()A. B. C. D.解析：选A 直线ykxb不经过第三象限，即k0，b0，总的基本事件个数是339；k0，b0包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，共2个，所以直线不经过第三象限的概率是P.8ABCD为长方形，AB2，BC1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为()A. B1 C. D1解析：选B 长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为，因此取到的点到O的距离小于1的概率为2，取到的点到O的距离大于1的概率为1.9下列概率模型：从区间10,10内任取一个数，求取到1的概率；从区间10,10内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；从区间10,10内任取一个整数，求取到大于1且小于5的数的概率；向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离正方形的中心不超过1 cm的概率其中是几何概型的个数为()A1 B2 C3 D4解析：选C 是，因为区间10,10内有无限多个数，对应数轴上无限多个点，且取到“1”这个数对应的点的概率为0；是，因为区间10,10和1,1内都有无限多个数可取(无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的可能性相同(等可能性)；不是，因为区间10,10内的整数只有21个，不满足无限性；是，因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数多个点(无限性)，且这两个区域内的任何一个点都有可能被投到(等可能性)10甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b1,2,3,4,5,6，若|ab|1，就称甲乙“心有灵犀”现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为()A. B. C. D.解析：选D 首先要弄清楚“心有灵犀”的实质是|ab|1，由于a，b1,2,3,4,5,6，则满足要求的事件可能的结果有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16种，而依题意得基本事件的总数有36种因此他们“心有灵犀”的概率为P.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分把答案填写在题中的横线上)11如图，EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，则P(A)_.解析：圆的半径是1，则正方形的边长是，故正方形EFGH的面积为()22.又圆的面积为，则由几何概型的概率公式，得P(A).答案：12在区间0,4上任取一实数a，使方程x22xa0有实根的概率是_解析：当44a0即a1时方程有实根，故所求的概率为P.答案：13(福建高考)利用计算机产生01之间的均匀随机数a，则事件“3a10”发生的概率为_解析：因为0a1，由3a10得0”发生的概率为.答案：14某射击选手射击一次，击中10环、9环、8环的概率分别为0.3,0.4,0.1，则该射击选手射击一次，击中大于或等于9环的概率是_，击中小于8环的概率是_解析：设“击中10环”“击中9环”“击中8环”分别为事件A，B，C，则P(A)0.3，P(B)0.4，P(C)0.1，P(AB)P(A)P(B)0.7，P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.8，P10.80.2.答案：0.70.2三、解答题(本大题共4小题，满分50分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(12分)对某班一次测验成绩进行统计，如下表所示：分数段1009190818071706160515041概率0.150.250.360.170.040.02(1)求该班成绩在81,100内的概率；(2)求该班成绩在61,100内的概率解：记该班的测试成绩在10091)，9081)，8071)，7061)内依次为事件A，B，C，D，由题意知事件A，B，C，D是彼此互斥的(1)该班成绩在81,100内的概率是P(AB)P(A)P(B)0.150.250.4.(2)该班成绩在61,100内的概率是P(ABCD)P(A)P(B)P(C)P(D)0.150.250.360.170.93.16(12分)设有一个等边三角形网格，其中每个最小等边三角形的边长都是4 cm，现用直径等于2 cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率解：记A硬币落下后与格线没有公共点，在每个最小等边三角形内再作小等边三角形使其三边与原等边三角形三边距离都为1，则新作小等边三角形的边长为2.P(A).17(12分)为迎接2017全运会，某班开展了一次“体育知识竞赛”，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩(满分为100分，分数均为整数)进行统计，制成如下的频率分布表：序号分组(分数段)频数(人数)频率10,60)a0.1260,75)150.3375,90)25b490,100cd合计501(1)求a，b，c，d的值；(2)若得分在90,100之间的有机会进入决赛，已知其中男女比例为23，如果一等奖只有两名，求获得一等奖的全部为女生的概率解：(1)a500.15，b0.5，c50515255，d10.10.30.50.1.(2)把得分在90,100之间的五名学生分别记为男1，男2，女1，女2，女3.事件“一等奖只有两名”包含的所有事件为(男1，男2)，(男1，女1)，(男1，女2)，(男1，女3)，(男2，女1)，(男2，女2)，(男2，女3)，(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共10个基本事件；事件“获得一等奖的全部为女生”包含(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共3个基本事件所以，获得一等奖的全部为女生的概率为P.18(14分)有编号为A1，A2，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10直径1.511.491.491.511.491.511.471.461.531.47其中直径在区间1.48,1.52内的零件为一等品(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；(2)从一等品零件中，随机抽取2个用零件的编号列出所有可能的抽取结果；求这2个零件直径相等的概率解：(1)由所给数据可知，一等品零件共有6个，设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A，则P(A).(2)设一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6.从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：A1，A2，A1，A3，A1，A4，A1，A5，A1，A6，A2，A3，A2，A4，A2，A5，A2，A6，A3，A4，A3，A5，A3，A6，A4，A5，A4，A6，A5，A6，共有15种“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B)的所有可能结果有：A1，A4，A1，A6，A4，A6，A2，A3，A2，A5，A3，A5，共有6种所以P(B).模块综合检测(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1一个年级共有12个班，每个班学生的学号都从1到50，为了交流学习经验，要求每班学号为14的同学留下，这里运用的是()A分层抽样法 B抽签法 C随机数表法 D系统抽样法答案：D2一个容量为20的样本，已知某组的频率为0.25，则该组的频数为()A5 B15 C2 D80解析：选A 由频数、频率的概念，设该组的频数为n，则n200.255.3. 如图所示，随机地在图中撒一把豆子，则豆子落到阴影部分的概率是()A. B. C. D.解析：选C 此题是几何概型问题，P.4已知x，y的取值如下表所示，x234y546如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为ybx，则b等于()A B. C D.解析：选B 由表格数据知3，5，又线性回归方程过(，)，即过点(3,5)，53b.b.5某县有30个乡，其中山区有6个，丘陵地区有12个，平原地区有12个，要从中抽取5个乡进行调查，则应在丘陵地区、平原地区和山区各抽取的乡的个数分别是()A2,2,1 B1,2,2 C1,1,3 D3,1,1解析：选A 由分层抽样的定义知，抽样比为，则丘陵地区，平原地区和山区抽取的个数分别为：2,2,1.6某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为()A0.95 B0.7 C0.35 D0.05解析：选D “抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.650.30.95，“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件，故其概率为10.950.05.7阅读下列程序：输入xIfx0Then y-2*x+5 Else y=0 End IfEnd If输出y.如果输入x=-2，则输出结果为()A0 B1 C2 D9解析：选B 输入x2，则2105，解得n15(n14舍去)，故n16，k15.答案：1513 若执行如图所示的框图，输入x11，x22，x33，2，则输出的数等于_解析：算法的功能是求解三个数的方差，输出的是S.答案：14(浙江高考)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为的概率是_解析：设此正方形为ABCD，中心为O，则任取两个点的取法有AB，AC，AD，BC，BD，CD，AO，BO，CO，DO，共10种；取出的两点间的距离为的取法有OA，OB，OC，OD，共4种，故所求概率为.答案：三、解答题(本大题共4小题，共50分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(12分)在2013辽宁全运会上两名射击运动员甲、乙在比赛中打出如下成绩：甲：9.4,8.7,7.5,8.4,10.1,10.5,10.7,7.2,7.8,10.8；乙：9.1,8.7,7.1,9.8,9.7,8.5,10.1,9.2,10.1,9.1；(1)用茎叶图表示甲、乙两个人的成绩；并根据茎叶图分析甲、乙两人成绩；(2)分别计算两个样本的平均数和标准差s，并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较稳定解：(1)如图所示，茎表示成绩的整数环数，叶表示小数点后的数字.由图知，甲的中位数是9.05，乙的中位数是9.15，乙的成绩大致对称，可以看出乙发挥稳定性好，甲波动性大(2)甲(9.48.77.58.410.110.510.77.27.810.8)9.11，s甲1.3，乙(9.18.77.19.89.78.510.19.210.19.1)9.14，s乙0.9，由s甲s乙，这说明了甲运动员的波动大于乙运动员的波动，所以我们估计乙运动员比较稳定16(12分)以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋面积x的数据：房屋面积x(m2)11511080135105销售价格y(万元)24.821.618.429.222(1)画出数据对应的散点图；(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；(3)根据(2)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格解：(1)数据对应的散点图如下图所示：(2)109，(xi)21 570，23.2，(xi)(yi)308.设所求回归直线方程为ybxa，则b0.196 2，ab23.21090.1 9621.814 2.故回归直线方程为y0.196 2x1.814 2，回归直线在(1)中的散点图中(3)据(2)知当x150 m2时，销售价格估计为：y0.196 21501.814 231.244 231.2(万元)17(12分)下表为某班英语及数学的成绩分布，全班共有学生50人，成绩分为15五个档次，例如表中所示英语成绩为4分，数学成绩为2分的学生共5人，设x、y分别表示英语成绩和数学成绩.yx数学54321英语51310141075132109321b60a100113(1)x4的概率是多少？x4且y3的概率是多少？x3的概率是多少？(2)x2的概率是多少？ab的值是多少？解：(1)P(x4)；P