高中数学 第二章 参数方程 三 直线的参数方程教学案 新人教a版选修4-4

三 直线的参数方程1直线的参数方程(1)过点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数为(t为参数)(2)由为直线的倾斜角知0，)时，sin 0.2直线参数方程中参数t的几何意义参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M0的距离(1)当M0M与e(直线的单位方向向量)同向时，t取正数(2)当M0M与e反向时，t取负数，当M与M0重合时，t0. 直线的参数方程例1已知直线l的方程为3x4y10，点P(1,1)在直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5,4)的距离思路点拨由直线参数方程的概念，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正、余弦值，从而得到直线参数方程解由直线方程3x4y10可知，直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则tan ，sin ，cos .又点P(1,1)在直线l上，所以直线l的参数方程为(t为参数)因为354410，所以点M在直线l上由1t5，得t5，即点P到点M的距离为5.理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t的几何意义，即直线上动点M到定点M0的距离等于参数t的绝对值是解决此类问题的关键1设直线l过点A(2，4)，倾斜角为，则直线l的参数方程为_解析：直线l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)答案：(t为参数)2一直线过P0(3,4)，倾斜角，求此直线与直线3x2y6的交点M与P0之间的距离解：设直线的参数方程为将它代入已知直线3x2y60，得3(3t)2(4t)6.解得t，|MP0|t|.直线参数方程的应用例2已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角，(1)写出直线l的参数方程(2)设l与圆x2y24相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积思路点拨(1)由直线参数方程的概念可直接写出方程；(2)充分利用参数几何意义求解解(1)直线l过点P(1,1)，倾斜角为，直线的参数方程为即为所求(2)因为点A，B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2，则点A，B的坐标分别为A(1t1,1t1)，B(1t2,1t2)，以直线l的参数方程代入圆的方程x2y24整理得到t2(1)t20，因为t1和t2是方程的解，从而t1t22.所以|PA|PB|t1t2|2|2.求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交点坐标，根据直线参数方程中参数t的几何意义即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷3直线l通过P0(4,0)，倾斜角，l与圆x2y27相交于A、B两点(1)求弦长|AB|；(2)求A、B两点坐标解：直线l通过P0(4,0)，倾斜角，可设直线l的参数方程为代入圆方程，得(4t)2(t)27.整理得t24t90.设A、B对应的参数分别t1和t2，由根与系数的关系得t1t24，t1t29|AB|t2t1|2.解得t13，t2，代入直线参数方程得A点坐标(，)，B点坐标(，)4.如图所示，已知直线l过点P(2,0)，斜率为，直线l和抛物线y22x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：(1)P，M间的距离|PM|；(2)点M的坐标解：(1)由题意，知直线l过点P(2,0)，斜率为，设直线l的倾斜角为，则tan ，cos ，sin ，直线l的参数方程的标准形式为(t为参数)*直线l和抛物线相交，将直线l的参数方程代入抛物线方程y22x中，整理得8t215t500，15248500.设这个二次方程的两个根为t1，t2，由根与系数的关系得t1t2，t1t2.由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得|PM|.(2)因为中点M所对应的参数为tM，将此值代入直线l的参数方程的标准形式(*)，得即M.一、选择题1直线的参数方程为M0(1,2)和M(x，y)是该直线上的定点和动点，则t的几何意义是()A有向线段M0M的数量B有向线段MM0的数量C|M0M|D以上都不是解析：参数方程可化为答案：B2曲线的参数方程为(t是参数)，则曲线是()A线段B双曲线的一支C圆 D射线解析：由yt21得y1t2，代入x3t22，得x3y50(x2)故选D.答案：D3直线(t为参数)上对应t0，t1两点间的距离是()A1B.C10 D2解析：因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t不具有几何意义，故不能直接由101来得距离，应将t0，t1分别代入方程得到两点坐标(2，1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即.答案：B4若直线(t为参数)与圆(为参数)相切，那么直线倾斜角为()A. B.C. D.或解析：直线化为tan ，即ytan x，圆方程化为(x4)2y24，由2tan2，tan ，又0，)，或.答案：D二、填空题5直线(t为参数)上到点M(2，3)的距离为且在点M下方的点的坐标是_解析：把参数方程化成标准形式为把t看作参数，所求的点在M(2，3)的下方，所以取t，即t，所以所求点的坐标为(3，4)答案：(3，4)6若直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的斜率为_解析：由参数方程可知，cos ，sin .(为倾斜角)tan ，即为直线斜率答案：7已知直线l1：(t为参数)，l2：(s为参数)，若l1l2，则k_；若l1l2，则k_.解析：将l1，l2的方程化为普通方程，得l1：kx2y4k0，l2：2xy10，l1l2k4.l1l2(2)()1k1.答案：41三、解答题8设直线的参数方程为(t为参数)(1)求直线的普通方程；(2)将参数方程的一般形式化为参数方程的标准形式解：(1)把t代入y的表达式得y10，化简得4x3y500，所以直线的普通方程为4x3y500.(2)把参数方程变形为令t5t，即有(t为参数)为参数方程的标准形式9已知斜率为1的直线l过椭圆y21的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长度解：因为直线l的斜率为1，所以直线l的倾斜角为.椭圆y21的右焦点为(，0)，直线l的参数方程为(t为参数)，代入椭圆方程y21，得21，整理，得5t22t20.设方程的两实根分别为t1，t2，则t1t2，t1t2，|t1t2| ，所以弦AB的长为.10已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l经过定点P(3,5)，倾斜角为.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|PB|的值解：(1)曲线C：(x1)2(y2)216，直线l：(t为参数)(2)将直线l的参数方程代