高中数学 第四章 导数应用 2_1 实际问题中导数的意义课件 北师大版选修1-1

第四章 2 导数在实际问题中的应用 2.1 实际问题中导数的意义 学习目标 1.利用实际问题加强对导数概念的理解. 2.能利用导数求解有关实际问题. 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点 实际问题中导数的意义 某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位： s)的函数，设这个函数可以表示为WW(t)t34t210t. (1)t从1 s到4 s时W关于t的平均变化率是多少？ 答案 思考 (2)上述问题的实际意义是什么？ 它表示从t1 s到t4 s这段时间内，这个人平均 每秒做功11 J. 答案 (3)W(1)的实际意义是什么？ W(t)3t28t10， W(1)5表示在t1 s时每秒做功5 J. 答案 (1)在物理学中，通常称力在单位时间内 为功率，它的单位是 .功率是功关于 的导数. (2)在气象学中，通常把单位时间(如1时，1天等)内的 称作降雨 强度，它是反映一次降雨大小的一个重要指标.降雨强度是降雨量关 于时间的 . (3)在经济学中，通常把生产成本y关于 x的函数yf(x)的导函数 称为 .边际成本f(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加 速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需要增加 f(x0)个单位的成本. 梳理 做的功 瓦特时间 降雨量 导数 产量 边际成本 题型探究 例1 某质点的运动方程为ss(t)2t23t，其中s是位移(单位：m)， t是时间(单位：s). (1)求当t从1 s变到3 s时，位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的 实际意义； 类型一 导数在物理学中的意义 解答 当t从1 s变到3 s时，s关于t的平均变化率为 它表示从t1 s到t3 s这段时间内，该质点平均每秒的位移是11 m. (2)求s(1)，s(2)，并解释它们的实际意义.解答 由导数公式表和导数的运算法则可得s(t)4t3，则s(1)43 7 m/s，s(2)42311 m/s. s(1)表示的是该质点在t1 s时的瞬时速度，也就是该质点在t1 s 这个时刻的瞬时速度为7 m/s. s(2)表示的是该质点在t2 s时的瞬时速度，也就是该质点在t2 s 这个时刻的瞬时速度为11 m/s. 根据导数的实际意义，在物理学中，除了我们所熟悉的位移、速度 与时间的关系，功与时间的关系，还应了解质量关于体积的导数为 密度，电量关于时间的导数为电流强度等.因此，在解释某点处的导 数的物理意义时，应结合这些导数的实际意义进行理解. 反思与感悟 跟踪训练1 某河流在一段时间x min内流过的水量为y m3，y是x的函数 ，且yf(x) (1)当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？ 解答 当x从1变到8时，y关于x的平均变化率为 (2)求f(27)，并解释它的实际意义. 解答 例2 某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产 品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数关系为C(x) x260x2 050.求当 日产量由10件提高到20件时，总成本的平均改变量，并说明其实际意义. 类型二 导数在经济生活中的应用 当x从10件提高到20件时，总成本C从C(10)2 675元变到C(20)3 350元. 此时总成本的平均改变量为 其表示日产量从10件提高到20件时平均每件产品的总成本的改变量. 解答 引申探究 1.若本例条件不变，求当日产量为75件时的边际成本，并说明其实际意义. 它指的是当日产量为75件时，每多生产一件产品，需增加成本97.5元. 解答 所以日产量为75件时的边际成本大于97.5， 解得a60. 解答 生产成本y关于产量x的函数yf(x)中，f(x0)指的是当产量为x0时 ，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位 的产量，需增加f(x0)个单位的成本. 反思与感悟 跟踪训练2 已知某商品的成本函数为C(Q)100 (Q为产品的数量). (1)求Q10时的总成本、平均成本及边际成本； 边际成本即成本函数C(Q)对产量Q的导数， 解答 (2)当产量Q为多少时，平均成本最小？最小为多少？ 所以当产量Q为20时，平均成本最小，且平均成本的最小值是10. 解答 例3 一名工人上班后开始连续工作，生产的产品质量y(单位：g)是工作 时间x(单位：h)的函数，设这个函数为yf(x) (1)求x从1 h变到4 h时，y关于时间x的平均变化率，并解释它的实际意义 ； 类型三 在日常生活中的应用 解答 (2)求f(1)，f(4)，并解释它的意义. 解答 在不同的实际问题中导数的意义是不相同的，要结合具体问题进行 分析，在某一点处的导数的实际意义是当自变量在该点处的改变量 趋近于零时，平均变化率所趋近的值，问题不同有不同的意义. 反思与感悟 跟踪训练3 某年高考，某考生在参加数学科考试时，其解答完的题目数 量y(单位：道)与所用时间x(单位：分钟)近似地满足函数关系y (1)求x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平均变化率，并解释它的实际 意义；解答 (2)求f(64)，f(100)，并解释它的实际意义. 解答 当堂训练 1.某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是yf(x)，假设f(x)0恒成 立，且f(10)10，f(20)1，则这些数据说明第20天与第10天比较 A.公司已经亏损 B.公司的盈利在增加，且增加的幅度变大 C.公司在亏损且亏损幅度变小 D.公司的盈利在增加，但增加的幅度变小 23451 导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加的幅度变小了，但还 是增加的. 答案解析 2.某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数，即WW(t)， 则W(t0)表示 A.tt0时做的功 B.tt0时的速度 C.tt3时的位移 D.tt0时的功率 23451 W(t)表示t时刻的功率. 答案解析 Q(t)3t218t12，则Q(2)36， 由题意知10：00时，工人装配晶体管收音机的速度为36台/小时. 23451 3.某收音机制造厂的管理者通过对上午上班工人工作效率的研究表明： 一个中等技术水平的工人，从8：00开始工作，t小时后可装配晶体管收 音机的台数为Q(t)t39t212t，则Q(2)_，它的实际意 义是_. 答案解析 36台/小时 10：00时，工人装配晶体管收音机的速度为36台/小时 23451 4.某物体的运动速度与时间的关系为v(t)2t21，则t2时的加速度 为_. v(t)4t，v(2)8. 答案解析 8 当x从4变到8时，y关于x的平均变化率为 19.5( 万 元/吨)，它表示产量从4吨增加到8吨的过程中，每增加1吨产量，利润 平均增加19.5万元. 23451 5.某厂生产x吨产品获利y万元，y是x的函数，且函数为yf(x) x221x 100. (1)当x从4变到8时，y关于x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ 解答 f(84)表示当产量为84吨时，利润增加的速度为0， 也就是说当产量为84吨时，每多生产1吨产品， 利润增加为0，即利润不变. 23451 (2)求f(84)，并解释它的实际意义. 解答 1.解决实际问题的一般思路：实际问题转化为数学问题，数学问题的结论 回到实际问题的结论. 2.解决实际问题的一