高一数学下学期期末考试 试题

北京师范大学附属中学2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题本试卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题（每小题4分，共32分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 若实数a，b满足ab，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 2. 对变量有观测数据理据，10），得散点图1：对变量有观测数据，10），得散点图2，由这两个散点图可以判断（ ）A. 变量x与y正相关，u与v正相关B. 变量x与y正相关，u与v负相关C. 变量x与y负相关，u与v正相关D. 变量x与y负相关，u与v负相关3. 从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示）。设甲乙两组数据的平均数分别为，中位数分别为，则（ ）A. B. C. D. 4. 执行下面的程序框图，如果输入a4，那么输出的n的值为（ ）A. 2 B. 3C. 4 D. 55. 公差不为零的等差数列的第1项、第6项、第21项恰好构成等比数列，则它的公比为（ ）A. B. C. 3D. 36. 下列命题中正确的是（ ）A. 若两条直线都平行于同一个平面，则这两条直线平行；B. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直；C. 若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面；D. 若两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线共面。7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）A. B. C. D. 28. 在ABC中，BC边上的高等于，则cosA（ ）A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共30分）9. 一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人，按男、女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是_。10. 若满足，则的最大值为_。11. 如图所示，在某路段检测点，对180辆汽车的车速进行检测，检测结果表示为如下频率分布直方图，则车速不小于90km/h的汽车约有_辆。12. 边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为_。13. 若不等式对任意实数x恒成立，则a的取值范围是_。14. 数列中，如果对任意都有（k为常数），则称为等差比数列，k称为公差比，现给出下列命题：等差比数列的公差比一定不为0；等差数列一定是等差比数列；若，则数列是等差比数列；若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比；其中正确的命题的序号为_。三、解答题（共38分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. （本小题12分）在ABC中，角。（）若，求；（）求的最大值。16. （本小题13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间。为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：手机编号12345A型待机时间（h）120125122124124B型待机时间（h）118123127120a已知A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等。（）求a的值；（）判断A，B两个型号被测试手机待机时间方差的大小（结论不要求证明）；（）从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率。17. （本小题13分）如图，在三棱柱中，底面ABC，BAC90，。M，N分别为BC和CC1的中点，P为侧棱上的动点。（）求证：平面APM平面；（）若P为线段的中点，求证：平面APM；（）试判断直线BC1与平面APM是否能够垂直，若能垂直，求PB的值；若不能垂直，请说明理由。四、填空题（每小题3分，共15分，请将答案填在题中的横线上）18. 记为区间的长度，已知函数，其值域为，则区间的长度的最小值是_。19. 设三棱柱的体积为10，点P，Q分别是侧棱、上的点，且，则四棱锥的体积为_。20. 设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（1，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有_种（用数字作答）。21. 函数在区间上的最大值是5，则实数a的取值范围是_。22. 设函数的最大值为M，最小值为m，则_。五、解答题（共35分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）23.（本小题11分）设，不等式的解集记为集合P。（）若，求m的值；（）当时，求集合P；（）若，求m的取值范围。24.（本小题12分）已知是递增的等差数列，为的前n项和，且成等差数列。（）求数列的通项公式；（）求的值；（）若集合中有且仅有2个元素，求实数的取值范围。25.（本小题12分）有限数列，同时满足下列两个条件：对于任意的；对于任意的三个数中至少有一个数是数列中的项。（）若，且，求a的值；（）证明：2，3，5不可能都是数列中的项；（）求n的最大值。【试题答案】一、选择题（每小题4分，共32分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）12345678DCBBCDAC二、填空题（每小题5分，共30分）9. 12 10. 9 11. 5412. 13. 14. 三、解答题（共38分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. 解：（）由余弦定理及题设，得。由正弦定理，得。（）由（）知AB，因为0A，所以当A，取得最大值1。16. 解：（），由，解得。（）设A，B两个型号被测试手机的待机时间的方差依次为，则。（）设A型号手机为；B型号手机为，“至少有1台的待机时间超过122小时”为事件C。从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，不同的抽取方法有25种。抽取的两台手机待机时间都不超过122小时的选法有：（A1，B1），（A1，B4），（A3，B1），（A3，B4），共4种。因此，所以，所以至少有1台的待机时间超过122小时的概率是。17. 解：（）由已知，M为BC中点，且ABAC，所以AMBC，又因为，且底面ABC，所以底面ABC。因为AM底面ABC，所以，又BCB，所以AM平面。又因为平面APM，所以平面APM平面。（）取中点D，连结由于D，M分别为的中点，所以DM，且，则四边形为平行四边形，所以AM。又平面APM，平面APM，所以平面APM。由于D，N分别为的中点，所以DN。又P，M分别为的中点，所以MPB1C。则DNMP，又平面APM，平面APM，所以DN平面APM。由于DND，所以平面平面APM，由于平面，所以平面APM。（）假设BC1与平面APM垂直，由平面APM，则BC1PM。设，当PM时，BPM，所以RtPBMRt，所以。由已知，所以，得，由于，因此直线与平面APM不能垂直。四、填空题（每小题3分，共15分，请将答案填在题中的横线上）18. 319. 10/320. 10种21. 22. 2解析：因为，所以，可构造，则的最大值为M1，最小值为。又因为是奇函数，所以，即。五、解答题（共35分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）23. 解：（）因为，所以方程的两根为1和2。将代入上述方程，得，解得。（）不等式可化为，当时，方程的两根为和2。当，即时，解得，当，即时，解得或，当，即时，解得或。综上，当时，；当时，；当时，。（）依题意，当时，不等式恒成立。当时，原不等式化为，即，适合题意。当时，由（）可得时，适合题意。当时，因为，所以。此时必有成立，解得。综上，若，则m的取值范围是。24. 解：（）设等差数列的首项为，公差为d。由，可得，由成等比数列，可得，所以解得（舍）或所以数列的通项公式为。（）解可得，所以数列中，其余各项均大于零，所以。（）设，令，得，所以又由，知，其余各项均大于零。在中，且计算得，所以，的取值范围是。25. 解：（）由，得，由，当时，12中至少有一个是数列1，2，a，6中的项，但，故，解得a。经检验，当时，符合题意。（）假设2，3，5是数列中的项，由可知：6，10，15中至少有一个是数列中的项，则有限数列的最后一项，且。由，对于数，由可知：；对于数，由可知：。所以，这与矛盾，所以2，3，5不可能是数列中的项。（）n的最大值为9，证明如下：（1）令，则符合、。（2）设符合、，则：（i）中至多有三项，其绝对值大于1，假设中至少有四项，其绝对值大于1，不妨设是中绝对值最大的四项，其中。则对有，故均不是数列中的项，即是数列中的项。同理：也是数列中的项。但，所以，所以，这与矛盾。（ii）中至多有三项，其绝对值大于0且小于1，假