同济大学弹性力学期末试卷.pdf

同济大学本科课程期终考试（考查）统一命题纸 A 卷 20062007 学年第 一 学期 课程名称：弹性力学 课号： 任课教师： 专业年级： 学号： 姓名： 考试（）考查（ ） 考试（查）日期： 2007 年 1 月 22 日 出考卷教师签名：朱合华、许强、王君杰、李遇春、陈尧舜、邹祖军、赖永瑾、 蔡永昌 教学管理室主任签名： 1 1是非题是非题（认为该题正确，在括号中打；该题错误，在括号中打。 ）(每小题 2 分) （1） 薄板小挠度弯曲时， 体力可以由薄板单位面积内的横向荷载 q 来等代。 ( ) （2） 对于常体力平面问题， 若应力函数),(yx满足双调和方程0 22 ， 那么由),(yx 确定的应力分量必然满足平衡微分方程。 （ ） （3）在求解弹性力学问题时，要谨慎选择逆解法和半逆解法，因为解的方式不同，解的结 果会有所差别。 （ ） （4）如果弹性体几何形状是轴对称时，就可以按轴对称问题进行求解。 （ ） （ 5 ） 无 论 是 对 于 单 连 通 杆 还 是 多 连 通 杆 ， 其 截 面 扭 矩 均 满 足 如 下 等 式 ： dxdyyxFM),(2,其中),(yxF为扭转应力函数。 （ ） （6）应变协调方程的几何意义是：物体在变形前是连续的，变形后也是连续的。 （ ） （7）平面应力问题和平面应变问题的应变协调方程相同，但应力协调方程不同。 （ ） （8）对于两种介质组成的弹性体，连续性假定不能满足。 ( ) （9）位移变分方程等价于以位移表示的平衡微分方程及以位移表示的静力边界条件。 （ ） （10） 三个主应力方向一定是两两垂直的。 ( ) 2 2填空题填空题（在每题的横线上填写必要的词语，以使该题句意完整。 ） （共 20 分，每小题 2 分） (1)弹性力学是研究弹性体受外界因素作用而产生的 的一门学科。 (2)平面应力问题的几何特征是： 。 (3)平衡微分方程则表示物体 的平衡，应力边界条件表示物体 的平衡。 (4) 在通过同一点的所有微分面中，最大正应力所在的平面一定是 。 (5)弹性力学求解过程中的逆解法和半逆解法的理论基础是： 。 (6)应力函数 4224 ,cyybxaxyx如果能作为应力函数，其cba,的关系应该 是 。 (7)轴对称的位移对应的 一定是轴对称的。 (8)瑞利里兹法的求解思路是： 首先选择一组带有待定系数的、 满足 的 位移分量，由位移求出应变、应力，得到弹性体的总势能，再对总势能取极值。 (9)克希霍夫的直法线假设是指：变形前垂直于薄板中面的直线段（法线）在变形后仍保持 为直线，并垂直于变形后的中面，且 。 (10)一般说来，经过简化后的平面问题的基本方程有 个，但其不为零的应力、应变和 位移分量有 个。 3 3 分析题分析题（共 20 分，每题 10 分） （1）曲梁的受力情况如图 1 所示，请写出其应力边界条件（固定端不必写） 。 e a b q P y x M 图图 1 （2）一点应力张量为 0 1 2 1 1 2 1 0 xxyxz yxyyzy zxzyz 已知在经过该点的某一平面上应力矢量为零，求 y 及该平面的单位法向矢量。 4计算题计算题（共 40 分） （1）图 2 中楔形体两侧受均布水平压力 q 作用，求其应力分量（体力为零） 。提示：设应 力函数为： 2( cos )rAB （10 分） 图 2 （2） 如图 3 所示的悬臂梁结构，在自由端作用集中力 P，不计体力，弹性模量为 E，泊松 比为 ，应力函数可取 323 DyCyBxyAxy，试求应力分量。 （15 分） 图 3 （3） 如图 4 所示，简支梁受均布荷载 0 p和跨中集中荷载p作用，试用瑞雷里兹法求解 跨中挠度。挠度函数表达式分别为：(1) L x aw sin； （2） L x b L x aw 3 sinsin。比 较两种挠度函数计算结果间的差异。 （15 分） 图 4 L/2 L 0 p P 同济大学本科课程期终考试（考查）统一命题纸 A 卷 标准答案 20062007 学年第 一 学期 1 1是非题是非题（认为该题正确，在括号中打；该题错误，在括号中打。 ）(每小题 2 分) （1） 薄板小挠度弯曲时， 体力可以由薄板单位面积内的横向荷载 q 来等代。 () （2） 对于常体力平面问题， 若应力函数),(yx满足双调和方程0 22 ， 那么由),(yx 确定的应力分量必然满足平衡微分方程。 （） （3）在求解弹性力学问题时，要谨慎选择逆解法和半逆解法，因为解的方式不同，解的结 果会有所差别。 （） （4）如果弹性体几何形状是轴对称时，就可以按轴对称问题进行求解。 （） （ 5 ） 无 论 是 对 于 单 连 通 杆 还 是 多 连 通 杆 ， 其 载 面 扭 矩 均 满 足 如 下 等 式 ： dxdyyxFM),(2,其中),(yxF为扭转应力函数。 （） （6）应变协调方程的几何意义是：物体在变形前是连续的，变形后也是连续的。 （） （7）平面应力问题和平面应变问题的应变协调方程相同，但应力协调方程不同。 （） （8）对于两种介质组成的弹性体，连续性假定不能满足。 () （9）位移变分方程等价于以位移表示的平衡微分方程及以位移表示的静力边界条件。 （） （10） 三个主应力方向一定是两两垂直的。 () 2 2填空题填空题（在每题的横线上填写必要的词语，以使该题句意完整。 ） （共 20 分，每小题 2 分） (1)弹性力学是研究弹性体受外界因素作用而产生的 应力、应变和位移应力、应变和位移 的一门学科。 (2)平面应力问题的几何特征是： 物体物体在在一个方向的一个方向的尺寸远小于另两个方向的尺寸尺寸远小于另两个方向的尺寸 。 (3)平衡微分方程则表示物体 内部内部 的平衡，应力边界条件表示物体 边界边界 的平衡。 (4) 在通过同一点的所有微分面中，最大正应力所在的平面一定是 主平面主平面 。 (5)弹性力学求解过程中的逆解法和半逆解法的理论基础是： 解的唯一性定律解的唯一性定律 。 (6)应力函数 4224 ,cyybxaxyx如果能作为应力函数，其cba,的关系应该是 033cba。 (7)轴对称的位移对应的几何形状和受力几何形状和受力 一定是轴对称的。 (8)瑞利里兹法的求解思路是： 首先选择一组带有待定系数的、 满足 位移边界条件位移边界条件或几何或几何 可能可能 的位移分量，由位移求出应变、应力，得到弹性体的总势能，再对总势能取极值。 (9)克希霍夫的直法线假设是指：变形前垂直于薄板中面的直线段（法线）在变形后仍保持 为直线，并垂直于变形后的中面，且 长度不变长度不变 。 (10)一般说来，经过简化后的平面问题的基本方程有 8 8 个，但其不为零的应力、应变和位移 分量有 9 9 个。 3 3 分析题分析题（共 20 分，每题 10 分） (1) 主要边界：q brrbrrarrarr , 0, 0, 0 次要边界： b a b a r b a MPerdr Pdr Pdr sin cos sin 0 0 0 (2) 一点的应力张量与该点的任意斜面上各应力分量的关系为： xxyxz yxyyz zxzyz Xlmn Ylmn Zlmn 及 222 1lmn 故有 20 0 20 y mn lmn lm 及 222 1lmn 解得： 2 , , 2(1)0 y mnlnn 2 1 0 , 6 1 y n 由此得： 321321 6 1 6 1 6 1 , 1eeenemelev y 4计算题计算题（共 40 分） (1) 解：极坐标下的应力分量为： 2 22 2 2 11 cos2 2(cos) 1 ()sin r r AB rrr AB r A r r 应力边界条件为： cos sin r q q 将应力分量代入边界条件，可解得： 1 ,cos 2 AqBq 所以应力分量解答为： (coscos ) (cos2cos ) sin r r q q q (2) 解：由题可知，体力 X=0，Y=0，且为弹性力学平面应力问题。 1） 、本题所设应力函数满足双调和方程： 0 22 (a) 2） 、应力分量为： 2 2 2 2 2 2 3 0 626 AyB yx Yy x DyCAxyXx y xy y x (b) 3)、用应力边界条件求待定常数 A、B、C、D： 应力边界条件，在上、下表面ay2处，必须精确满足： 0)( , 0)( 22 ayxyayy (c) 则有： 012 2 AaB (d) X=0 的左边界为次要边界，利用圣维南原理则有： X 方向力的等效：sin)( 2 2 0 Pdy a a xx ； 对 0 点的力矩等效：sin)( 2 2 0 Paydy a a xx ； Y 方向力的等效：cos)( 2 2 0 Pdy a a xxy 。 将式(b)代入上式得： cos164 sin32 sin8 3 3 PAaBa PaDa PCa (e) 联立式(d)和式(e)，解得： sin 32 ,sin 8 ,cos 8 3 ,cos 32 23 a P D a P C a P B a P A； (4)、应力分量为： ) 1 4 1 (cos 8 3 , 0 ), 4 3 1 (sin 4 cos 16 3 2 23 y aa P y aa P xy a P xyyx (3) 解： 1）挠度函数取为：(1) L x av sin 梁的总势能为 Paa L pa L EIL vPvdxxpdx dx vdEI LL 0 2 3 4 0 2 0 2 2 2 4 ) 2 ()()( 2 对总势能求驻值 P Lp a L EI a 0 3 4 2 2 0 得 EI PL EI Lp a 4 3 5 4 0 24 回代即得梁的挠度函数 L x EI PLPL v sin )2(2 5 0 3 令2lx ，则有跨中挠度 EI PL EI Lp a L v 4 3 5 4 0 24 ) 2 ( 2）挠度函数取为： L x b L x av 3 sinsin 梁的总势能为 baPba L pba L EI L vPvdxxpdx dx vdEI LL 3281 4 ) 2 ()()( 2 0 22 3 4 0 2 0 2 2 对总势能求驻值 0 2 2 0 3 4 P Lp a L EI a 0 3 2 81 2 0 3 4 P Lp b L EI b 得 EI PL EI Lp a 4 3 5 4 0 24 EI PL EI Lp b 4 3 5 4 0 81 2 243 4 回代并令2Lx ，即得梁的跨中挠度 EI PL EI Lp ba L v 4 3 5 4 0 81 164 243 968 ) 2 ( 两种挠度函数假定下相差为 b。 完毕 同济大学本科课程期终考试（考查）统一命题纸 B 卷 20062007 学年第 一 学期 课程名称：弹性力学 课号： 任课教师： 专业年级： 学号： 姓名： 考试（）考查（ ） 考试（查）日期： 2007 年 1 月 22 日 出考卷教师签名：朱合华、许强、王君杰、李遇春、陈尧舜、邹祖军、赖永瑾、 蔡永昌 教学管理室主任签名： 1、 图 1 中楔形体顶端受水平集中力 P 作用，求其应力分量（体力为零） 。提示：设应力函 数为：( cossin )rAB （20 分） 图 1 2、如图 2 所示的悬臂梁结构，在自由端有一个微小的垂直位移 ，不计体力，弹性模量为 E，泊松比为 ，应力函数可取BxyAxy 3 ，试求应力分量。 （20 分） 图 2 3、 图 3 所示悬臂梁，截面抗弯刚度 EI，梁长 L，竖向弹簧刚度 k；悬臂端受集中荷载 F 作 用。试用瑞雷李兹法求解悬臂端挠度和固定端弯矩。提示：梁的挠度函数可选为： l x Bv 2 cos1 1 （20 分） 图 3 4、图 4 所示材料密度为的三角形截面坝体，一侧受静水压力，水的密度为1， 另一侧自由。设坝中应力状态为平面应力状态： fyexdycxbyax xyyx , 请利用平衡方程和边界条件确定常数edcba,和f。（20 分） 5、如图 5 所示的半无限平面，证明应力 2 sin 2sin 2 1 2sin 2 1 A BA BA r r r 为本问题的解答。 （20 分） L EI k F 1gy y x 图 4 x y q 图 5 同济大学本科课程期终考试（考查）统一命题纸 B 卷 标准答案 20062007 学年第 一 学期 1、解：极坐标下的应力分量为： 2 22 2 2 112 (cossin ) 0 1 ()0 r r BA rrrr r r r 两斜面应力边界条件为： 0 0 r 自动满足 由隔离体平衡条件： 0:cos0 0:sin0 r r Xrd YrdP 将应力分量代入上面二式，可解得： ,0 2sin2 P AB 所以应力分量解答为： 2 sin ,0,0 (2sin2 ) rr P r 2、 解：由题可知，体力 X=0，Y=0， 0 0 )( y x v且为平面应力问题。 1） 、本题所设应力函数满足双调和方程： 0 22 (a) 2） 、应力分量为： 2 2 2 2 2 2 3 0 6 AyB yx Yy x AxyXx y xy y x (b) 3） 、由物理方程得应变分量为： 2 )1 (6)1 (2)1 (2 6 )( 1 6 )( 1 Ay E B EE xyA EE Axy EE xyxy xyy yxx (c) 4） 、由几何方程得出位移分量为： 2 )1 (6)1 (2 6 6 Ay E B Ex v y u xyA Ey v Axy Ex u xy y x (d) 由式(d)的前两式积分得： )( 3 )( 3 2 2 1 2 xfxyA E v yfyAx E u (e) 将上式(e)代入式(d)的第三式，整理得： B E Ay E yfAx E xf )1 (2)2(3 )( 3 )( 2 1 2 2 (f) 欲使上式恒等地成立，只能令 bAy E yf aAx E xf 2 1 2 2 )2(3 )( 3 )( (g) 其中，常数 a，b 满足 B E ba )1 (2 (h) 解式(g)得： 1 3 1 2 3 2 )2( )( 1 )( CbyAy E yf CaxAx E xf (i) 则位移分量为： 2 32 1 32 13 )2(3 CaxAx E xyA E v CbyAy E yAx E u (j) 5)、由应力边界条件和位移边界条件求待定常数 A、B、C1、C2和 a、b： 应力边界条件，在上、下表面 2 h y处，必须精确满足： 0)( , 0)( 22 h y xyh y y (k) 则有： 0 4 3 2 AhB (l) 位移边界条件， 0 0 )( y x v，0)( 0 y Lx u，0)( 0 y Lx v，0)( 0 y Lx x v 则有： 0 3 0 1 0 2 3 1 2 aAL E aLAL E C C (m) 联立解式(l)、式(h)和式(m)得： 21 3 222 3 2 3 , 0 , 4 )2( 3 , 2L 3 a , 8 3 , 2 CC L hhL b L Eh B L E A (n) 6） 、本题的应力分量： 应力分量为： 2 33 2 3 2 3 8 3 , 0 , 3 y L E L Eh xy L E xyyx (o) 3、 解： 总势能为 1 2 1 0 2 4 2 1 2 0 2 2 2 2 1 cos 222 1 2 FBkBdx l x l B EI